DE LA FONCTION F APPLIQUÉE A LA THÉORIE DES SUITES
41. Lemme fondamental. — 1' Si X représente une fonclion de X, f[x, k) une fonction de x et de k, k ëlaot un nombre entier, et que l'on ait
\ Xf[x,k)dx = Bu\ Xf{x,0]dx (I)
Ja Ja
Bt étant une fonction conane de k, D'nutre part si l'on a rigoureusement pour a<Cx<^b, ainsi que pour les valeurs extrêmes x = a, X = 6, la série infinie
A,f{x,0)^A,f{x,i) + A,flx,^) ■ ■ = ?(x) (2)
l Xrf{x)dx
AX + A,B, +A,B, =tf (3)
( X/{x,(})dx
Il suffit pour le démontrer de multiplier les deux membres de rëquation (2) par Xdjc, et d'intégrer entre les limites a et 6, il viendra
( Xf(x)flx=A^ i Xf{xfi)dx + A, [ Xl\x,i)dx+A^ i X/îi.S) + - ■ ■ etc.
e, appliquant la formule (1), on en tir
le (3).
i dans le cas précédent, on s
,6 çb
\ Xf(x,k)dx=BA Xf{x,0]ilx.. .. (Ij
Et par suite, appliquant la formule (1), on en tirera immédiatement la formule (3).
2° Si comme dans le cas précédent, on s
— 107 ^ Si de plus la formule
A./î«,0) + A,/-(»,l) + l.fli.a) -,M (21
n'est rigoureuse que pour a < x <^ b, c'est-à-dire, si la série devient divergente pour une des valeurs extrêmes, ou pour ces deux valeurs, on aura encore
si la sërie du premier membre est convergeute, et si l'inlégraie
\ Xf{x)dx est finie et déterminée.
Jo
11 suffit pour le démontrer de multiplier les deux membres de l'cquatioa (S) par Xdx, et d'intégrer entre les limites a + E, et 6 — e,
si b est fini, et depuis a — e, jusqu'à -i si 6 est infini, puis de faire
convergef E vers zéro; on remarquera que sous les deux conditions que nous avons énoncées, les deux membres convergeront vers une limite finie et déterminée, d'où en passant à la limite, on tirera l'équation (3).
Ce Lemme fondamental étant ainsi démontré, nous remarquerons qu'il établit une relation entre une série in&nie et le rapport de deux intégrales définies. 11 pourra donc servir à trois usages dlEFérenls. [b
1* Si l'intégrale t Xf[x,0]dx, est une intégrale connue, nous
aurons une intégrale définie liée à une série infinie par une équation.
Cette équation donnera donc la série sous forme d'intégrale définie, ou réciproquement l'intégrale définie développée en série.
3° Si le rapport des deux intégrales du second membre est connu, la somme de la série sera connue.
5" Si au contraire, la somme de la série est connue, on aura le rapport des intégrales du second membre, et par conséquent l'inté-
grale définie V Xf(x)dx, si V Xf(x,0)dx est connue.
Or, en nous servant des propriétés connues de la fonction r, nous slloDS, en appliquant le Lenime précédent, arriver à la transformation de quelques suites, ou k la connaissance de quelques intégrales définies dignes de remarque; c'est ce qui fera l'objet des numéros suivants :
42, Prenons X^^' x'-' , flk,x) = ar*.
On a d'après une formule connue
pe-ï-+*-id:c = r{B+it) = «(<x-.-l) (a-l-fc-l)r(»),
Bi est donc, par conséquent égal i, a(a -h 4) (a + A — 1); si de
plus on a pour toute valeur finie de x
A„ -*- A,a: 4- A,x* ■+■ Aji* =^?(*)>
on aura d'après le Lemme fondamental
A,+aA.-.-a(«+l)A. + a(aH-i){a+2)A,-.-.- .==-1- re-X-M^)Jx.
Si la série du premier membre est convergente, et si l'inlégmlc du second membre est finie et déterminée.
Exemple. Posons iix = cos (26 [/x) , il vient
et l'on aura par conséquent
= -7-;l er'x'-'coB{^b\/x)dx.
la série du premier membre élant convergente ponr toute valeur Soie de 6, et l'intégrale du second membre étant unie et déterminée ainsi qu'on le démontrerait sans peine. Cette formule exprime donc la série du premier membre par une intégrale déânie, ou elle donne l'intégrale définie développée en série. Si nous donnons à a, la valeur
particulière it = â' notre égalité deviendra
Or, la somme de la série du premier membre est connue, c'est e~", nous aurons donc l'intégrale définie du second membre
Si dans cette intégrale, on remplace x par x*, elle devient [ er'* cos (26a:) dx = ^ e"" , ou
e-'' cos {2bx)dx = |/ir a"".
Si dans ces intégrales, on remplace x par oa;, et 6 par - , on obtiendra facilement
V e-"a; *cos(26i/:r)rfx = » / -e <*••
Ea appliquant le méine théorème au développement de
on arrivenut & l'inUgrale
à laquelle nous sommes déjli parvenus par une autre voie. 45. On a
pe-i-"»!?-" di — — !ÏÏL,.
(OH-t)P
D'où si nous posons
nous aurons le théorème suivant.
Si l'on a pour toutes les valeurs de u comprises entre et 1, .
Afl -H A,« -h A,w* ^ !p(u),
ou ce qui revient au même, pour x compris entre et 00 ,
Ao -*- A,e-' + A,r»'-h = ç(«-'),
on aura sous les conditions posées (41),
Si nous supposons, r étant <!,
/„\ rcosM — r*w ,^ rcosm— r'e--
l-2it.costo + r«u** **" *' J~i-2re-'cosM+r'e-^'
Le développement en série donne
f (e--) = r C03 <a + r*r--cosâu-H r^e^** cos 3u -i-
et par conséquent
rcosa r' cos 2m t'ccsSm [''*'c-~°'x^*(»'eos&» r*e-')
44. On déduit un théorème fort impoctant, en appliquant le Lemme fondamental â la formule connue
„(„.4.|)(„^2).....fot+fc-i)r(«)r(p-«)
Ao -t- A,x-+- A.a;» -t- A,a;* -h =. y(ïc).
pour toutes valeurs de x comprises entre Oi et 1, oa aura sous les conditions énoncées (41) ,
Exemple. Posons ? (x) = (1 — «x)-7 , où nous supposerons — 1 <Cm < + 1, on aura en développant f{x),
1 I '"il I '('*')'''■*') .,■ Tb-<-i)b*^}'i'-i-i)('-*-^)
La série élnnt toujours coavergente, si — 1 <; « <; 1, et l'intégrale étant toujours finie et déterminée avec lu même condition , on peut donner à y toutes les valeurs possibles. On a un cas particulier remarquable en posant 7^^, il vient alors
^-"I"-^ iT-"-" «.2.5 »*"
Or, la somme de la série du premier membre est connue, c'est (i — «)"^, nous aurons donc l'intégrale définie
(V.(.-.r.^(i-..,-.^=îi=2fc^^-i<.<..
Reprenons la s^rie (1), et faisons tendre u vers l'unltë, il s'agit de voir si les deux membres convergent tous deux vers une limite finie et déterminée. Quant au second membre, il converge vers
^ — t ««->(i-i);«-«-r< di.
rWr(p-.)
valeur finie et déterminée, si l'on a p — « — 7>0; cette valeur est alors
rmr(.)r(p-.-y) T(p)i(p - , - y) H.)r(|î-.)i(P-7) r(p-.)r(p-,)'
Or, je dis qu'il ea est de même du premier membre, car si nous supposons 7 positir, le terme général de U série
1,7", ;(yH-l)»(-^-l) îp'^ 1.2 p(p + l)
se mettra facilement sous la forme
1(7-1-") y r(' ■>■»)'») r(» + 1)1(7) r(P-i-n)rH'
Or, en ayant recours à la formule de Stirllng , comme nous l'avons déjà fait pour la formule de M' Binet, dous aurons
r(7 -«- n} < (/2Îr(7-t-«)ï+^î e-'l'+"' e^T*^' T(rt + )) > i/âiï (n + l)"+i e-<-+" ,
Et par suite
r(-^n)r(v-H.) / (.^„)(,-H„A -. (.-.„).(,^„)7 ,__.^ ,n^*gj^ . r(»-flW+n) ^ V(»^-l)(p+»)^ (p+«)f(»+l)
1 D'où si a et 7 sont plus petits que p, on aura en remarquant que
est cODStainment au-dessous de Vunit<! pour des valeurs assez grandes de n, et que
on aura pour le terme génital de k série
Or, la série dont le terme général est T, sera visiblement convergente, si p — tt — 7 > 0.
Si y était négatif, p étant encore supposé plus grand que a, la série sera visiblement convergente, car on trouve pour le rapport do deux termes consécutifs
y — na-\- n n -»- 1 p + »'
Si l'on suppose n^y, ce rapport sera négatif, et par conséquent les deux termes seront de signe contraire, et de plus ce rapport étant <C 1 > les termes iront en dëcroissant; il est visible d'ailleurs qu'ils décroissent sans limite, la série sera donc convergente, et l'on a toujours, sous les deux conditions ^ iP* i^i ^ ]]> 't + 7i
ip 1.2 p(p + l) ■•^r(p-«)r(p-7)'
Cette belle formule est due à Gauss. Si on y posey^l, on en déduit comme cas particulier
,,', «(»-!- 1) , mnp
4S. i)e 9tie/fue9 intégralet définies déduite! de ta formule de Game.
Reprenons la formule du numéro prtfcëdeut
k.-t-tx +î!î^4.-i- • î® — , ( i"-'(l— »)f— '»W*t-
' P • W+1) ' rWr(?~"))o
— H5 — les coefficients Âg, A,, A...... étant détermines par
<p(a:)=" Aj, -*- A,x-*- A^x* ■*• A^x* -t-
Remplaçons dans ces formules x par sin* z,. et posons d'abord
ip(ar) = eos 2pr,
on aura d'après on développement connu
co. Spi - 1 - ÊL(2 sin »)■ -^ ^')f^~/' (2 "in «)'
Et par suite
2rf8) fî
~ — V sin*«-*zeosM-*«-^2co8 262dz
r{a)r(p-a)Jo
Or, d'après la formule de Gauss, nous connaissons la valeur du second membre, c'est
nous aurons donc
r(5)r(5-"-i-p)rWr(P-«l
' sin *"-• cos «^î»-» z cos 2t-*«* ^^ ^- — -^ i—
Cetle formule se simplifie coDsidérablement k l'aide des propriëlës is de la fonction r ; en effet, on a
rWr (j * .^ 2*"*/â;r(S.),
Faisant usage de ces formules, on trouve facilement
f ' sin »«-' cos '^""-^ cos 2p3d2 ^ ''(2»)r(2p — 2a) ^^ ^ Posant Sa = p, et 2(^ — a) = f, nous aurons
On trouve d'une manière analogue l'intégrale
$* sin '^' z cos *^ z sin (p + ^jztiz.
En effet, en posant
p(a;)==y(siD«z) = sin%=!Ç(2sinz)'cosî— ^~^(2sini}*cos«H
la même formule nous donnera
ou d'après la série de Gauss,
A l'aide des mêmes transformations que plus haut haut, on aura
l'sin*-*zcos'^*— zsiD(2pz)dz= ^'^*'^j^^: ^'"\ ia<.K, 0<«<1,
i nous remplaçons ia. par p et [2^ — 2a) par q, nous aurons
(3) ('sin'-'2eo8'-'ï8in(p + ç)ïd2=î^|^^sin^pTr, 0<p<2, gyO.
Les formules (1) et (2) éUnt ainsi démontrées pour toute valeur positive de y, et pour p compris entre et 1 , pour la première ; et et "i, pour la seconde, il est facile de démontrer qu'elles sont générales. En effet, celle-ci nous donnera :
, ^ sin -Bit = Psin'-' cos*-** sin (p -+-0 + i—i)zdx
= — yna'zcmr-*zcoB{p-t-q ■+■ l)zdz ■'0
-♦- l*8in'~*«C08»x8in(p-t- q -t- i)xdt.
D'où l'oD tire
sinP2cos^*2GOs(p--»- 9~i- l}zd2
~ rl ^ "°âP"-^ J 7TSlD-B)r=-lî- ^'cOS-fO+ilTT.
Ce qui est la formule première dëmoatrëe quand p est compris entre i et S. De même à l'aide de celle-ci, on démontrerait la seconde , pour p compris entre 2 et 3 et ainsi de suite. On a donc généralement pour p et ^ positifs
'sin*^' z cos *-* z cos (p ■+■ q)xdz = ^ "' co8 - twr.
» siu»-' ï cos f-* z sin (p + q)zdx = ^^J^^ sin -p^.
La formule de Gauss fourait encore quelques autres intégrales Dans la formule dont nous sommes partie, posons
f{x) = f{Bin*z)^ cosyz, «^û
D'où en substituant,
Or, la somme de la sërie du second membre pouvaat élre exprimée d'après la série de Gaiiss, par
mm g^v
ant p par ? + 1> *' 7 | \ (cos z)'' cos ozaz = r r 7 r- •
trouverait de la même manière les deux intégrales \ (sia zy cos qzdz , et i {sia zy sin qzdz .
Jo •'o
a aura en remplaçant p par ^ + 1, et 7 par q.
mais on les déduit très facilement des suivantes
ri
(sin z}p BÎn qzdz = 0.
(siu zy cos {qz)dz =
(sins)Psîii(ça)rfï =
ir SÎD Ç^r(p -1- 1)
Nous nous bornerons h ces applications qui suffisent pour faire voir tout le parti qu'on peut tirer des propriétés connues de la fonction r dans la théorie des suites, et leur application à la recherche des intégrales définies. Nous ferons seulement remarquer que, hiea que les applications les plus remarquables, se trouvent en employant la fonction T pour des séries infinies, en peut néanmoins, en l'appliquant de la même manière à des séries finies, arriver quelquefois à des rcUtions assez intéressantes. Nous en doaaerons quelques exemples simples.
4G. Soit la suite finie
multiplions les deux membres par x»— ■-' (1 — xy~', a étant supposé >», et p positif, nous aurons en intégrant depuis x = jusqu'à X = i
iHr(fl r(.-l)r(p-i-t) r(— 2)r(p -i- 2) •r(. + p) • r(à + p) ■ r(. + p)
D'où l'on déduit facilement j^i!L^A ffi±ll^A W + ')tf + S)
1 A, /'^-^'"^*^' ff-^»-t) n^-'-pi f'
x''-'-'{l—x)^^3:)dx.
Exemples, 1° Supposons
nous aurons
L'on aura par conséquent
rWr{p)r(. + ?H-1)
: H (— 11- ni- ^ y— -ir ^ "I
S* POSODS
nous auroDS
et par suite
. p .,[»-l) W+O W-.-<)(Ph-2) (p-t-n-l l
■•(■'■<-Mr('-")rm (.H-|i-l)(.-.-p-2) [^4-p-»)
r(.)r(plr(.+p-») (.-l)(«-2) (a-»)
11 viendra
Et par conséquent
Si nous posODS p = n + 1 , nous aurons
«(n + l) (r.H-2Kin-l)n(.-l) 2(«-l) 2'1.2(.-l)(.-2)
— J23 — Or, riotégrale
£t par suite
On trouverait d'autres TorniuJes en partant primitiremeat d'autres suites finies.
47. Nous terminerons par une formule qui se déduit très simplement de la première propriété de la Tonctioa T envisagée de la manière la plus géniale , c'est-à-dire, l£lle qu'elle a été définie dans IeN°18, tant pour des valeurs positives de a que pour des valeurs négatives.
On a identiquement quelles que soient les valeurs positives ou négatives de a et de p
r(- + P+') r(«H-p) rl.-i-p)
r(-+<)r(P + l) i(«mp+i) l(. + l)r(P)
r(.-i-p-l) rÇa-t-p-l) r(-i.p-<)
Continuant de la même manière, on aura n étant un nombre entier
