DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION V
• i. Définition. — Quand dans une intégralir défioie relative à une certaine variable, la fonction sous le signe d'intégration contient une quantité dont la valeur constante pendant l'intégration, reste néanmoins arbitraire, on peut considérer l'intégrale définie comme iino fonction de cette quantité. Aînsi, a étant supposé réel et positif,
intégrale \ e-'x"
Jo
-'x''-*dx, est une fonction de a, que nous désignerons par la lettre r, et nous poserons :
Jo
3. r(a} est une fonction finie et déterminée. — Nous allons faire voir que pour toute valeur finie 4e a, plus grande que 0, r(a) est fini et déterminé.
Pour cela décomposons l'intégrale \ e^'x^'^dx, en trois parties JO comme suit :
r(o) = i e-'a:"-' ie + i e-'x"-' rfi -i- \ e-'x"-' rfx, Jo h Jn
c élant une quantité finie différente de 0, mais qui pourra s'en rapprocher autant que l'on voudra, n étant un nombre plus grand que a -t- 1 , et satisfaisant à l'inégalité
ce nombre n pouvant d'ailleurs croître autant que l'on voudra.
Les deux iacteurs e~' et x""* étant toujours positifs, entre les limites de l'intégration, on aura, si a^O, x,-4t'<»' compris entre y et E
Od voit que je puis prendre e assez petit pour que l'intégrale \ «-* ï"-' rfat , soit inférieure à toute limite donnée.
La seconde intégrale \ e^x'-*dx, les limites étant finies, et la •'s différentielle ne devenant jamais infinie entre les limites, est fiuie et dclerminée.
Reste la 5™ ; op, si les deux conditions que nous avoas posées pour n sont satisfaites, on aura constamment pour ir= ou > n,
e' > a;"+' ('), ou e~' ■^~^' P^' conséquent :
(iimmunl positif, et psr conséquent y va toujours en croissant. Jonc n élont supyKié plusgraiiil q>ic «-*-!, et tel que n— )o -l- I) logn> 0, ou e" > n*+t, ou aura constamment x élaiil ôgfti à » ou plus granJ que «, w — (o-*- tjlogi^O,
Jn "
Je puis donc prendre n assez grand pour que l'intégrale L e~' r*~* dx,
devienne iDférieure è toute limite donnée. Ainsi , nous aurons :
fti ^n s- i
l e—x-^'âx <r(a) < \ e-^x°-^dx-t 1
La somme — i-- pouvant devenir aussi petite qu'on )e voudra, en
prenant s et - suffisamment petits, il en résulte que l'on peut toujours fixer deux limites finies et dctcrminces, aussi rapprochées qu'on le voudra, entre lesquelles se trouve compris l'{a]. r(o) est donc fini et déterminé, pour toute valeui' finie de a plus grande que 0.
11 est évidi^nt de plus que cette fonction est toujours positive, puisque la différentielle e~'a;"~' l'est toujours, et de plus, comme celte diS'érentielle n'est jamais nulle x étant compris entre e etn, il en résulte que la fonction r[a] elle-même n'est jamais égale à zéro.
3. L'intégrale définie \ e~'x°~'dx, devient infinie, s(«=0, ou si a est négatif.
En posant r(a) ^^ l e~'x''~^dx, nous avons mis pour condition
que a devait être fini et plus grand que 0, il est en effet très facile de prouver que cette intégrale devient infinie pour a^=0, et pour a < 0.
En effet, pour a = 0, noue aurons :
— di= \ — dx +■ \ — dx,
f, X }q X Jj X
ou en représentant par x,, une quantité comprise cuire et è, et x, une quantité comprise entre e et oo
\ — 'dx = e-'"V f l e -•'/x = e-" log- H
io X ]qx .xJj "O X,
Or, î élaDt une quantité finie, est fini, tandis que C- log-
UD a donc
Jo
Si a est négatif, en faisant a ^ — a', nous aurons :
)o )o ^"^ Jo ^^' Jî ^^'
[^ dx If*,
X, et X, étant compris dans les mêmes limites que dans le cas précédent.
Sous cette forme, il est facile de reconnaître que la 2* des intégrales est finie et déterminée, tandis que la 1" est infinie. On n donc :
l g-' x"^* dx = » , o < 0.
On conçoit dune que la définition de T{a) que nous avons donnée, ne s'applique qu'ft des valeurs de a positives, et il faudra se placer à un autre point de vue, lorsqu'on voudra déterminer r(a) pour des valeurs négatives de a.
4. r(a) est une fonction continue. — Nous avons vu que si 71 > a -1- 1 , et e" > n°+' , l'on a
( r-'x'-'rfx <r(a) < \ e-* x"-' dx -t- — H
Je Je an
Supposons que, h' désignant une quantité positive déterminée, ou ail ustreint n aux conditions
n<.a-i-h' + i, et e>>n-+"+', un aura évidemment pour toute valeur de A comprise entre et A',
l (,— a;.+i,-t rfjc <; r(a -1- ft)< i e-* x-+*-' dx ■+■ r -t
Si Dous représèntoDs por [»,p',ï',ï des coefficients variables , toujours compris entre el ruotlé, on aura :
e~* x^* dx -y--
r(a -t- Jfc) = l er'x'+^-t dx -t- - — 't- Jj a-t-ft
Or, si nous iMsignons par x, une quantité comprise entre e et n, on a :
,fl en
i e-'iC"+*-' dj = X,* J e-'a*-* (te,
d'où
^ Je a + A n
et par suite :
j o-Hft a n
Or, Ri dans cette relation, nous faisons tendre h vers zéro, x,, p' et »' varieront, mais en restant néanmoins dans les limites que nous leur avons assignées; (x,* — 1) convergera donc vers zéro pour des valeurs suffisamment petites de A, et par conséquent il en sera de même de
{x/ — 1) \ e-'x"-'<ix; quant aux autres termes, on sait qu'ils de-
viennent séparément aussi petits qu'on le voudra en prenant des
valeurs suffisamment petites de c et - ■ Il est donc démontré que la
différence r(a + h] — r(o) peut devenir inrérieure ii toute limite dounée, en prenant h suffisamment petit, et par conséquent, T(a] est une fonction continue.
5. Autre forme de la fonction T. — On peut transformer l'inlé-
grale définie V e-'.T°-*dx, en une autre, en posant e~' = y.
d'où e-*dx=' — dy, x = \og-t et ies limites et s respundanl à 1 et pour y, on aura immëdiatement :
ie~' x'-^ dx —
Et par conséquent, on peut poser indifTéremment :
So"-- ''-SX'"^)"''"-
6. Valeurs particulières de r(l) et de r(2). — Les valeurs de T(a] pour a = l et a'=% s'obtiennent facilement, car si l'on remplace a par ces deux valeurs dans la reintion prccédentc ,
r,«,= (;(Hl)".,.
r(2)— l lofsdy — l.
7. r(al a wft sewi minimum compris entre a = l et « = 2. — L'égalité des valeurs de r(l) el de r(2) va nous conduire à une consëqueace fort importante rolattvenicnt à la marehe de ia fonction r.
Remarquons d'al>urd que l'intégrale i ir' x^-* l{x)dx t est finie el
Jo
déterminée pour toute valeur finie de a, plus grande que 0. Eu effet, n étant soumis aux conditions
«>o*i, et «■>»"',
et £ étant compris entre et I, nous aurons :
-90 J.E rn ,»
l e-'x'-'l{i)dx= \ ^'x--*lix)dx+ \ e-'x—^l(x]dx-*- \ e-''x^l[x)dx.
que
( a:— < l{x)dx
En se souvenaut que
Je— x"-* l{x)dx = €''• \ x^H{x)dx=^e-' Jo
■\ er-x"^l{x)dx<:~l(n)—^- Jm . « n
Et par suite fi et v représentant des coefBcients compris entre et 1 , nous aurons :
-^l{x)dx=\
Et il est visible que l'intégrale i e-" x"-* l(x]dx étant finie et déterminée, et les autres termes du second membre pouvant décroître indéfiniment en faisant e et — suffisamment petits, l'intégrale
\ r"' a:""' l{x)dx est elle-même finie et déterminée pour toute valeur
finie de a plus grande que zéro. Or, cette intégrale représente la dérivée de \ e~'x^~^ dx par rapport à a, on aura donc :
On en déduit facilement
r'(a) = J e-' r~' l{x)dx - ( (T- a--W {-\ dx.
Sous cette forme, on remarquera que T'(a) se compose de la diff-é rcnce de deux intégrales qui sont essentiellement positives par elles-mêmes, et que de plus, tout accroissement donné à a, a pour elTet d'augmenter la première et de diminuer la seconde, en effet on a constamment
j-i+*-i y ^-^ si a: > 1 , et
a^+»-4 ^ j.o-1 ^ si < X < 1 .
On en conclut :
1° Quer'(a) va toujours en croissant;
2° Que s'il existe une valeur de o qui donne T'{a] = 0, celte valeur est unique et correspond au minimum de r[a) ;
5* Qu'en deçà de ce minimum, r'(a) est constamment négative, qu'au delà elle est constamment positive.
Or, nous avons trouvé r(l}^r(2)^ 1. Quand une fonctiou continue a deux valeurs égales, c'est qu'entre ces deux valeurs, la fonction a atteint un maximum ou un minimum, et par conséquent que la dérivée a passé par zéro ou l'infini. Puisque T'{a) ne devient pas infinie, il est démontré qu'elle a du passer par ïéro.
On en conclut :
i ° Que T(a) a un minimum et o'cn a qu'un seul ;
i" Que ce minimum est situé eatre a = 1 et a = 2 ;
3° Que la valeur de T{a] qui correspond à ce minimum, est comprise entre et 1 ;
4° Qu'eu deçà et au-delà du minimum, r(a) croit sans limites.
Ces préliminaires étant établis, nous allons aborder l'élude des propriétés de la fonction r, en démontrant une formule de la plus Iiaute importance.
8. Lemme 1", k représentant une guatitilé positive, qui n'est ni nulle ni infinie, on a
[ e-'" x°~^ f/sc ^ — 1 f'' x"'~* dx'.
Il suffit pour le démontrer de poser dans la ppcmière intégrale /(x=a:', et de voir ce que deviennent les limites.
Si a^so, 6=390, on a
e-'' x'"-' dx' =
rW
9. Lemme 2"". — a et 6 représentant des quanlitcs finies plus grandes que 0, l'intégrale définie \ ~ r-nrest finie et déter-
minée. En effet, nous aurons :
(" ^°~''^ (^ a:°-^ dx r» j'-' dx
t-'dji
loi
L'intégrale définie du second membre est finie et déterminée, et la somme des deux autres termes pouvant devenir inférieure ù toute
limite donnée pour des valeurs suffisamment petites de e et -, il est
visible qu'on peut toujours assigner deux limites finies et déterminées, aussi rapprochées qu'on le voudra, entre lesquelles se trouve
comprise la valeur de l'intégrale définie \ — —, qui est par
conséquent finie et déterminée.
Dimonstration, — e désignant une quantité finie plus grande que zéro, on a rigoureusement :
Si l'on remarque que z variant entre les limites s et — > on a
\ e-"x^' dx=-\ e-"x^' dx — \ ^-"x^* dx — 1 c-"x"-' dx,
h jo Jo ■'i
et d'après le Lemme 1",
*Ê jia) [^ (•<»
i e-"x^'dx=~^-~i-—\ e--'x'-*dx~\,e-"x'^*dx
Que d'autre part, x variant entre les limites z et -, on a de la même manière
on donnera facilement k l'égalité primitive (1} la forme suivante.
{') Celle bella formule est due k Eu 1er, et Poisson est le premier qui l'ait démontrée k l'aide des iulégriiles doubles. On trouvera sans doute que j'ai wnsidérableinent altéré l'élégiDle simplicité avec laquelle cette démonstratioa est ordïnairemeDt présentée, cela tienlà coque je n'ai voulu employer la formule du Lemme 1"
e-l^ x'-i dx t=
et que dans le cas où elle est rigoureusement démontrée, c'es(-ï-dire, pour A fini, et plus grand qae 0, sans l'étendre par induction au casoû A=0, et A=co.
T{a) \ e-'x>-* dz—î 6"= 3-+*-' dz f e-"a:--' dx
Je ■'s
= r(o -t- 6) ( î!Iîi^ f j^+i d^ f e-^i.+.i y+i-. (il Jï{l -t-zf-'* Je Jo .
Or, noiis allons cherchera donner une forme simple aux quatre intégrales doubles quicntrent dans cette égalité. 1° On a
< [ e-" x'-* dx <i\ se*-' dx
Jo Jo
ou
< f e-"x°-*dx <->
Jo «
d'où
0<\ e-'î-+'-<dz( e-''x"-<dx<— \ e-z-'+'^'t/z <-r(a-H 6). ^Je Jo ah «
Donc :
f ^.ja+i^i ^2 f e^^x--' dx=— r(o + 6), < pi < Je Jo "
C'est la 1" intégrale double du 1" membre.
2° On a
< \ e-'i<+')ï"+i-i dz < l ?■+*-' dz.
iO. Théorème fondamental. ^-^^=[ , '^'^. .Q
Démonstration. — s désignant une quantité finie plus grande que zéro, on a rigoureusement :
Si l'on remarque que z variant entre les limites e et — i on a
$e-''x^' dx= \ r-"x*^* dx — \ «-"x"-* dx — \ e~"x'-^ dx, E jo Jo ■'i
et d'après le Lemme i",
l r~"!ir-'dx=-^-^—\ e-^x'-*dx—\,e-"x--'dx
Que d'duire part, x variant entre les limites s. et -j on a de la même manière
on donnera facilement à l'égalité primitive (1 ] la forme suivante,
O Celle belle formule est due i Eu 1er, et Poisson est le premier qu! l'ait démaotrëe à l'aide des inlëgralss doubles. On trouvera sans doute que j'ai coitsliilérableraenl altéré l'ëlëgaDte simpticilë avec laquelle cette démonstratioD est ordinairement présentée, i;ela tient à ce que je n'ai voulu employer la formule du Lentme 1"
et que dans le cas où elle est rigoureuse oient démontrée, c'est-à-dire, pour h Gni, et plus grand qaeO, sans l'élendre par induction au cas ou A^O, et h = fXi.
T(a) \ e--- î*-* dz — \ e— s"-)-'^* dz l e"" a:"-* dx
e--*«"+'^<dî \ e-"»^-' rfx,
j£(-( +a;)''-i» Je Jq
Je h
z"+'-^rfz.
Or, nous allons chercher à donner une forme simple aux quatre intégrales doubles qui entrent dans cette égalité. 1° On a
< ( e-" X--' rfx < ( r^' rfx
< \ e-"x"-'rfx <-i
Jo *
d'où
0<\ e-'!C^>--'dz{ e-''a:--'rfx<— i e-'r'+'"'(/z < -r{a + 6). Je Jo o j£ a
Donc :
t e-'z-+'-id!s( t
^«ar-'rfx=5=-r(a + 6), <(.<!.
C'est lai" intégrale double du 1" nicnibre.
2" On a
< \ «-'('+" 2"+'-' dî < \ 2"+'-' rfî.
Par suite
< V r--' di l e-.(H-»iï«+*-t dj ^ \ ^-t g^. ^
Et par conséquent
( X--' rfx [ e-«'+" Î-+'-' dï = — '-^-77' < " < 1. Je Jo a(a -*-b)
C'est la f* mtëgrale double du second membre.
3° D'après le Lemme 1", x variant entre e et-t on aura
Ji (* + 3;)"+* Ji+,
Si l'on suppose que ë vérifie les conditions
->a+6 + l, et <'£>(^-j
< l «-■»+-' y^-^' riz <- \ e-^ z'--^'-' dz- <
^dz:
C'est la 3"' intégrale double du second membre.
— 19 ^ 4" Resle la 2"" intégrale double du i" membre
C e-=j«+*-. ,jjf e-"a
■' dx = [ tr- s"**-! dz \ fT" xf-' dx
-V l e-' z'^*^ dz \ e"* a;"-' dx.
Quant à la 1" de ces deux intégrales doubles, remarquonii que z étant compris entre s et -■, on a évidemment
Par suite, il viendra
< [ e-'î-+'-'dz J e-" X'-* dx <l{a) t er'z'^Uh<~~-
Quant à la 2*"°, remarquons que si z varie entre les limites e' et - i
on a :
et si l'on suppose que l'on ait
et par conséquent, on aura
0<( t-z-*^'dz\ r-«-'ifa<j(°r-j'-'<fc<i
rm.
En représentant donc par p et p^ des coefficients compris entre et l'unitë, on aura
A l'aide de toutes ces valeurs, l'égalité (2) deviendra
- ^(« ^ "1 )^ (1 H- ^)^» a(a + 6) '^ )^ (1 + xr**
Sous les conditions que nous avons posées pour £ et -■
Or , sous celte forme , il est visible que si je fais décroître à la fois s' et —i (e décroissant alors de lui-même), les deux membres convergeront tous deux vers une limite fixe et déterminée qui est pour le
premier r(a)r{6) et pour le second T{a-t-b] \ -ji m.> "" ^""^
donc rigoureusement
rMr((.) = r(a+6)
îW£m
lo (1 *«)•*"
ce qui est le tbéorème.
Scotie. — L'intégrale du second membre est désignée sous le nom d'intégrale Eiilérienne de [iremière espèce. On donne souvent à la fonction r, le nom d'intégrale Eulerienne de 2™° espèce.
L'intégrale Eulérienne de 1" espèce peut être mise sous plusieurs formes différentes, 11 est évident d'abord que le premier membre dans ta formule que nous venons de démontrer, ne changeant point quand on change a en b, et 6 en a, il doit en être de luê me du second, et par eooséquenl, on a
T{a)T{b) ç'^ x'-^dx f°° x'^dx
Ce dont on peut s'assurer directement, car la seconde intégrale résulte de la première en y changeant x en — •
Si au contraire, on y pose jc = e' — I, on aura
Ces formes sont remarquables et nous y aurons recours.
Du théorème que nous venons de démontrer, on déduit immédiatement les deux premières propriétés de la fonction r.
H. Première propriété de la fonction T. — Si dans l'équation (a) du numéro précédent, on pose 6 = 1, en se rappelant que 1(1)=^ 1, on aura
r(a) f * x'-'dx f °° dx i
d'où
C'fMt la 1" propriélti de la foDction r. Elle sursit pu se démontrer
directement, soit «n intégrant par pdrlies l'intégrale \ ir' x^~* dx,
Jo
soit en dérivant par rapport à h, la formule démontrée (ri° 8)
Jo *
et posant ensuite h^= i.
De la formule T[a + 1) = ol'(a), on en déduit une autre qui présente la même propriété sous une forme plus générale. En effet, en
y remplaçant successivement a par a, a-t-l, a + 2, a-^■ 3 ,
a -*■ n — 1, n étant un nombre entier positif, il viendra
ar(«)
Mullipliant toutes ces égalités membre h membre, puis faisant disparaître des deux parts le facteur commun r(a -t- 1]T(a + 2) r(a -t- 5}....r(a + n — 1} qui ne peut jamais devenir ni nul ni infini, on aura
Seolie. — Cette formule fait dépendre la valeur de T[a -h n), de la valeur de r(a), et réciproquement; il en résulte que la connaissance de la fonction r dans ce que nous appellerons une période, c'est-àdire, entre deux nombres entiers consécutifs, équivaudra à la connaissance entière delà fonction. Ainsi, la fonction r étant calculée par exemple pour toutes les valeurs de a comprises entre 5 et 6, on calculera immédiatement T(a) pour des valeurs de a comprises entre 2 et 3, par la formule
et T{a) pour des valeurs de a comprises entre 9 et 10, à l'aide de ; r(a' + 4) = o'K + ))(»' + 2)K + 3)rK). j; < o' < 6.
Corollaire. — Si dans ta formule (2), on pose a ^ 1 , «a eD déduit immédiaiement à cause de T(t) = 1,
qui donne la valeur de T{a) pour toute valeur entière de a.
1 â. Deuxième propriété de la fonction T.
Si dans la formule (a) N' 10; nous faisons a •*- h = l, nous aurons en remplaçant b par 1 — a,
* dx=\ dx. 0<«<1.
L'intégrale définie \
égale â ~. (*). On a donc :
sm ojt ' '
(.) TiaW^a]-^ 0<«<l.
C'est la seconde propriété de la fonction F; on lui donne quelquefois une forme pins générale en se servant de la première propriété. Car si nous supposons a <^ 1, la formule (2) 1*1° 11, donnera
r(a + n) = fl(a+ l)(o + 3) (a + n — l)r(a),
et
multipliant membre à membre et remplaçant r(a)r(l — a) par -: *
nous aurons
[(„l)»atj(„o):,
où n a une valeur entière quelconque.
Scolie. — Ces formules (1) et (2) font dépendre la valeur de
(*) Voir ta note première.
r(n -t- 1 — a) de celle de r(o ■+■ n], n pouvant être 0, 1,2, 5, 4 ;
CD d'autres termes n et n + 1 étant considérés comme les extrémités d'une période, elles établissent une relation entre les valeurs de la fonctioa T b égale distance des extrémités de la période. Il en résulte que la connaissance d'une demie période équivaudra à la connaissance d'une période entière, et par conséquent, d'après le Scolie du numéro précédent, à la connaissance entière de la fonction. 13. Corollaires de la seconde propriété.
Si dans la formule r(a}r(1 — 0)=-: , on fait a =-1 on aura
Et comme r(a] est toujours positif, Si dans cette même formule, on fait successivement, n étant un
\ / \' y smn
f. \ / \ -^ sin —
('}.l.ti 1» et la 2>"' propriété de la fonction r, sont dnes i Euler, ainsi que les coniéqiieDces que noQS en avons tirées jusqu'à celle-ci.
D'où iDUltipliaot entre elles toutes ces égalités, nous aurons en remarquant que dans le l" membre, cliaque facteur se trouve répété dcuK fois
rw'w >. » J
Or,l
l'on a d'après une formule d'Euler : {')
sin-sic— sm — sin
Donc
Et puisque r(a) est toujours positif
l") Voir la noie première.
