li)gr(o)i(o-log2.^-o(logo

Nous avons d'après le corollaire précédent

Prenant les logarithmes, et divisant tout par n, on aura ea employant une Dotation cotinue

:cr''°''''(0"^'°*""5^"**'""^«'°*"-

Si nous faisons converger n vers l'infini, en posant— =(ia, nous aurons

\ log T{a)da = ^ log 2».

D'autre part, on a identiquement :

log r(a)do = \ log r(a)da -h log l{a)da

h -'o Ji

= 5log2îr+ l logr{i + o)rfa.

2 Jo

Comme log r(l + a) = log a -t- log T(a), (1" propriété), il viendra \ logr(o)do=T-log2ff -+- \ logoda-H \ logr(a)ifa;

h ^ Jo Jo

d'où

log T(a)da = - log 2jr + a[log o - 1 ). (')

('} Cette JDtégrale définie assez remarquable a été donnée par U. RatlK de Zurich, diQS le tome XXV du journal de Crelle.

J4. Expression de ta dérivée de log T{a).

On a d'après la définition

r(6)= \ e-'ii^^dx,

et d'après l'équation (â) N» 10,

nà)m i

Si on applique k ces deux formules, la i" propriété r(6) = elles deviendront :

Retranchant membre à membre la 1" égalité de la 2™', il viendra r(.H-6)-r(a) r(l ^- b)

Cette formule étant vraie, quel que soit 6, pourvu qu'il reste positif,

faisons le lendre vers zéro, -i- j — tendra vers — —^ ou r'(a)

6 • da ^ '

qui est fini et limité pour toute valeur finie de a plus grande que

zéro, et rr convergera vers —— » le premier membre convergera donc vers la limite finie et déterminée -^ou — 2L W. Quand T{a) da

au second membre, il convergera vers \ ( g-' x-* ■ ] dx,

Jo V e'-ij

qui est fini et limité, comme il est facile de le prouver, en remarquant que

La (tremière de ces intégrales est finie et dëtermînée, les limites étant finies, et la fonctiao sous le signe d'inlégratioo ne devenant jamais infinie entre les limites; la seconde de ces intégrales converge vers zéro . vec n. Il viendra donc rigoureusement :

Scolie. — En partant des Tormnles

un aurait obtenu de la même manière :

A l'aide des suivantes (N<" 5 et 10)

on aurait eu

rflogr(a)

foré da Jd \x if-tj