Corollaires du théorème préMent

i' Nous avons

De même

rfiogr(6}

:s soustrayons ces deux égalités membre k membre, il viendra :

dlogr(o) dlogr(b)

En partant des autres formes du théorème précédent, on aurait c de même

d\o%v{a) dlogr(6)

)gr(6) f*l/ 1 i \

2* Si dans les formules précédentes, on pose 6=1, et qu'on représente par — C, la valeur de ^7 — ou —~- pour 6=1, {nous

représentons cette valeur par — C, parce qu'il résulte de ce qui a élé dit N" 7 que r'(l) est négatif), nous aurons :

ou bien

dlagHt

da Jq x\i -h X {i -t- x)'J

di. (3)

La valeur de la consunte C qui est d'ailleurs égale d'après la valeur

déterminée par Euler qui a (rauvé

C = 0, S77âl 5664901 33

3* En intégrant par rapport à a, depuis 1 jusqu'à a les formules

trouvées dans le N" 14, pour 1--— * on obtient logr(a) sous

da forme d'intégrale définie, et l'on a :

(S) \olt{'')-Ç\u-i)e-. ! + î ^l*f,

Jo L (i+i)log(l-.-it)*(l-,-i)-Jog(l + j:)Ji'

16. Troisième propriété de la fonction r. Théorème de Gauss. Nous avons obtenu [1S, 1°) :

da db Jq e* ■— 1 ^ ■*

Si dans cette formule, nous faisons successivement, n étant un nombre entier

nous aurons eo ajoutant toutes les équations résultantes et supposant

ndlogl{na]

ïi'"»8 içsj

létermi

L'intégrale du second membre étant finie et déterminée est égale & la limite vers laquelle converge

quand E converge vers zéro.

On aura donc

inii / ■: \da;=Iim / \ (tr— \ dx,\

) I \~e-' i, 1 M i—ir- ) ^L. I

Si daos rÎDtégrale 1 dx, on remplace x par nx, elle

^ I— e~'' deviendra : \ dx; donc :

Les facteurs e~"" et — -^ étant toujours positifs dans les limites

de l'intégration, on aura, en représentant par £,, nnt^ qnantité comprise entre - et s

Or \ = log— : donc

f* /tire-*" e-" \ , ,. / e3 4\

Or, si nous faisons converger e vers zéro, e-"°^i convergera vers l'unité, et log~j convergera vers logn, on aura donc rigou-

reusement

-et par suite

—dlog i 1 i —i- i ^=— niogn.

D'où l'oD lire en intégrant et passant des logarithmes aux nombres :

r(»io) Pour déterminer la constante, faisons a = — i il viendra

Et la valeur du second membre étant connue (13, 2°), on aura

D'où en remplaçant, r(a)r(„ -. 1) r (.. !)....r(«^ n=i)=(2,)V„è-,(„,,.

C'est la troisième propriété de la fonction T. Elle est dut à Gauss.

Corollaire. — En posant successivement dans la formule de Gauss n = % fl = 3, n = 5,.... etc., on en déduit comme cas particuliers les formules suivantes :

rWl(«*0 = (2')'2'"*r(««).

.(.,(,.!)r(„.|)r(..!)r(..0=,.)-»'-rW,

Seolie. — La formule de Gauss a été dëmontrée d'un grsnd Dombre de manières; on peut eoasulter h ce sujet : Legendbe, Exercices de Calcul Intégral et Traité des fonctions elliptiques; Cadgbv, Exercices de mathématiques, 1827,- Exercices d'analyse, tome II, 1841 ; Lejeuhe Dirichlet, tome ib du Journal de Crelle et les tomes XXII et XXIII des Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique, où l'on trouvera, outre la démonstration que nous avons donnée, deux autres déduites de formules générales, par M' Schaih. Tout récemineot encore, M' Liocville a démontré dans son journal, cette célèbre formule par l'emploi des intégrales multiples. On pourrait ajouter encore la démonstration de M' Bihet, Journal de l'école polytechnique, tome XVI, mais elle est sujette à une observation importante qui sera faite plus loin.

17. Les trois propriétés delà fonction T prises ensemble, déter' minent entièrement cette fonction.

Après avoir reconnu que la fonction r jouit des trois propriétés suivantes

()) r(a + l) = or(o),

il est intéressant de rechercher si ces propriétés suffisent h sa détermination, c'est-b-dire, examiner la question de savoir si une fonction finie et continue qui serait assujettie à satisfaire soit une, soit deux, soit les trois équations énoncées, serait par cela même entièrement déterminée pour toute valeur positive de l'argument. Or, il est facile de voir que

1" Les équations (1) et (2) prises ensemble laissent r(a) entièrement arbitraire dans une demie période, par exemple depuis

jusquà--

2** Les équations (1) et (5) sont satisfaites par une fonction de la forme (4 sin' aK)' T(a) , a étant un exposant positif arbitraire.

5' Enfin que une fonction de la forme 6'~«r(o), 6 étant h voloDtë vérifie les équations (2) et (3).

Il en résulte que deux quelconques des propriétés prises ensemble sont insuffisantes pour déterminer la fonction r. A plus forte raison, une seule n'y peut-elle suffire, mais il n'en est pas de mémo des trois propriétés prises ensemble.

Soit en effet, a étant > 0, r(a) une fonction finie et continue assujettie aux trois équations énoncées.

1° L'équation (1) combinée avec l'équation (S) donne facilement

Faisant converger a vers l'unité dans les deux membres, on aura à la limite r*(l) = i, ou r[1) = ± 1 , le signe restant jusqu'ici arbitraire. En tout cas cette valeur de r[l) combinée avec l'équation (\] fera voir que r(a) ne s'évanouit pour aucune valeur entière de a.

2" r(a) ne s'évanouit pas non plus pour aucune valeur de a plus grande que et plus petite que l'unité, ce qui résulte immédiatement de la formule

mHi-a}=~ 0<a<l.

jointe à l'hypothèse que r(a) reste constamment fini. A l'aide de l'équation (1), on en déduit que r(a) ne s'évanouit pour aucune valeur de a.

3» Une fonction finie et continue, ne changeant de signe qu'après avoir passé par 0, il résulte de ce que nous venons de dire que r(o) sera constamment positif ou négatif. Or, l'équation (3) donne pour

ou comme r(l) ne s'évanouit point r(a) est donc constamment positif.

4° Tout ceci ëtant posé, logT(a) sera une fonction finie et continue. Dans la formule (5), prenons les logarithmes des deus membres, nous aurons en dérivant par rapport k a, et employant une notation connue

r = n-i < ''°^^(-0 ,io,x,

■(na)

niogn.

Appliquant h tous les T contenus dans cette équation, la formule (1), et divisant tout par n, il vient

r=0 « ''« r=0 an -t- r

dIogr[na-^i) 1

d{na} an "^ '

D'où supprimant dans les deux membres et remplaçant an

an par a',

da (floKr(a'-+-l)

logM

D'autre part, nous avons vu (16) que

~ 37 — ou en Taisant a=i,

$0 (?^"'7j~iÂ V — '"6»

A l'aide de ces relations, notre égalité deviendra

! soit la valeur

e-^"-'"(e--'"--i) \ ^ dlogr(a-+t)

Cette relation étant vraie quelle que soit la valeur entière de n , si nous le faisons converger vers l'infini ,

convergera vers

puisque o= — ■

Quant à l'intégrale définie, on reconnaît facilement qu'elle oonverge vers la limite finie et déterminée l ( -— 1 rfx: le

second membre restant constant, on aura rigoureusement :

rflogr(a'+i)

et déterminant la constante, par la c

OU en intégrant, et déterminant la constante, par la condition que r(l) = J, on aura :

dont on voit racileracnt l'identité avec une rormiile tl^jà trouvée (t 5,5°). Il est donc démontré que les trois propriétés de la fonction r, prises ensemble, écguivalent h sa définition.

11 en résulte que si l'on pouvait démonircr l'équatioD (3) en n'employant que les deui premières équations, ces deux premières équations suQiraicnt à définir la fonction elle-même : ee qui est impossible d'après ce que nous avons vu {1"). Or, c'est ce que M. Binet a fait dans le mémoire déjà eité. 11 a démontré la formule de Gauss, en

n'employant que l'équalion [1] el les valeurs particulières r

T(1) qui résultent toutes deux au signe près des deux premières équations, ta déraonslration doit donc être vicieuse. L'erreur provient de ce qu'en intégrant une équation aux différences finies, H. Binet n'a point supposé à la constante arbitraire, la généralité qu'elle doit avoir dans ces sortes d'intégration.

18. Dé/inition de la fonction r(o) quand a est négatif. — Nous n'avons défini jusqu'ici la fonction r(a), que pour des valeurs positives de a. Pour la déterminer quand a est négalif, nous donnerons toute la généralité possible à la seconde propriété de cette fonction, et nous poserons pour toute valeur réelle de a,

Si la valeur absolue de a est supérieure à l'unité, des deux quantités a et 1 — a, l'une sera nécessairement négative et l'autre positive, et nous pourrons calculer r{a) pour des valeurs négatives, si nous le connaissons pour des valeurs positives. 11 résulte Immédiatement de cette formule que r(a) est infini et par conséquent discontinu pour des valeurs entières et négatives de a, ainsi que pour a = 0; il est au contraire fini, déterminé et continu pour toutes autres valeurs.

Or, il est remarquable que la fonction r(o) étant ainsi déterminée pour des valeurs négatives, elle jouit encore des propriétés {)} et (5) qni deviennent par conséquent générales.

En effet, supposons a une quantité positive, et changeons dans la lormule

<i en o -1- 1, nous aurons :

ce qui est la 1" propriété pour des valeurs oëgatives de l'argument. D'autre part, la formule (5) donnera facilement :

Or, on a d'après une formule d'Euler(*)

sinait sraj a -*- - Jk sinl a h 1 jr

Combinant ces deux formules, il vient

T{a) sin arc

D'où si l'on applique k tous les r, la propriété (2) qui est supposée générale, on aura :

r(l a)r^-a-4-^Y -r('-a^i') = (ar)^n'^°"'r(l-H,

ou comme r(l — 0)=. — ar{— o) et r(l —na) = — naT( — na),

r(— a)r('— o+l") r(-«-+-^^^=-t-(2jr)^»''^"r(— na),

ce qui est la 3'~<> propriété pour des valeurs négalives de l'argument.

(') Voir la note première.

I>fi toA et de ee que nous at oos dit dans le paragraphe précédent, il résulte qoe l'on pourrait définir d'une manière géaérale la fonctioo r(<i} :

Une fonction finie et continue pour tontes les ralears posîtiics de a, et assujettie à vérifier constauMucnt les troii équations : r(i -«-«) = iir(a),

iWr^-*^) r^.+^)=(2.)=?»î~r(«.).

19. Définition de Gatus. — Dans ses recherches très fécondes sor In fonction r, Gauâs posait :

Cette expression ayant l'avantage d'être applicable également aux valeurs positives comme aux valeurs négatives de a. On la déduit facilement dans le cas de a positif, d'une formule h laquelle dous s arrives. En effet, l'on a eu (17, i°)

rflogr(a'+l)

,^ dlogr(a.-<^:) ^^^,

En luisant converger n vers l'infini, on a :

2 L i = lim(logrt— S -; I, n = «.

da' y %i a-^rj

D'où int^Faot, et détermiuaat la coDstaote par la condition que logr(l) = 0, on obtiendra immédiatement :

dont on voit facilement l'itlcntîté avec la définition de Gauss.

En s'aidant d'autre part de la formule de Jeaa Bernoulli ,

sm oV "

On verra ImmédiatemenE que la forme de la fonction T{a) reste la même quand a est négatif.

Lorsqu'on prend la formule

pour définition de la fonction r, les trois propriétés se démontrent d'une manière générale avec une remarquable facilité ; mois comme nous nous plaçons à un autre point de vue, nous ne nous y arrêterons pas, et nous aborderons le calcul approximatif de l(a), a étant supposé positif, puisque r( — a) peut se déduire immédiatement de la valeur de r(-f- a).