Théorème. ~ Si t'o

pose en général

l'on aura, m étant w» nombre entier .- En effet, on a l'équation identique ;

D'autre pari, en s'aidant des deux égalités

on démontrera facilement que

(') Celte formule rcmarquabJe est due à H^ Schaar qui l'a àémoatrée dans le tome XII de l'Aeedémie de Belgique.

Par suite, on aura

En faisant successivement dans cette formule m ^ 1 , 2, 5, 4.... m, OD en tirera facilement

Et comme — \ ilogr : — i=w(a), on aura la formule

demandée.

24. Formule de Slirling. — On sait que les coefficienis A,, A,.. .. sont liés avec les nombres Bernoulliens B,, B, par la relation :

Si donc dans la valeur de ù(a] que nous venons de trouver, on remplace, les coeflicients At« par leur valeur a l'aide des nombres Bernoulliens, il viendra :

{im — iyim

"-IQ

Et par suUe

logr(f+a)-

-log2!TO + a(loga-

Pm-

-IjSnio--

Si dans cette formule, on néglige l'inté^le définie du second membre, on obtient la formule d'approximation connue sous le nom de formule de Stirling. De l'examen du terme sommatolre

IC^x^'dx 1

( — )}"-\ -, ^.logi v;, -- qu'il faut ajouter au second mem-

bre de la formule de Stirling pour la rendre exacte, ou qui en d'autres termes, représente l'erreur commise en s'arrétant à un terme quelconque du second membre, nous déduirons plusieurs conséquences remarquables. (*)

25. Du nombre de termes qu'il faut prendre dans la série de Stirling, pour qu'en négligeant le terme sommatoire, l'erreur soit la moindre possible.

L'intégrale définie \ ^ ï'^Sl — -^^,, rfa: étant positÎTe de sa

Jo — *~^

nature, nous ferons abstraction pour un instant du signe du terme sommatoire dont la valeur absolue sera par conséquent exprimée

1 ["^x^-dx , 1 . ,, ,

P"^ ~ I 'i~~ — i 8 • »~* lorsque 1 on prend m termes dans

h valeur de û(a). Si l'on avait pris un terme de moins, on aurait eu pour cette valeur absolue

i :'*>x^-^*dx, i

nous poserons

i [^ x*"*~' dx