THÉORIE DE I.A HACHISR A VAPEUR. 2 A

vapeur dans la chaudière, a l’aire du cylindre, / la course du piston, et F la portion de cette course parcourue avant le commencement de la détente, et en se reportant d'ailleurs au calcul qui a été développé dans le paragraphe 2 de l’article 1" du chapitre ili, on aura, pour le travail exécuté par l’arrivée directe et par la détente de la vapeur dans le cylindre, l’expression suivante :

a(l -M (-+P; fr+7 + % — f j --al.

D’un autre côté, la résistance se compose alors de la charge r mesurée par unité de la surface du piston ; du frottement/’-]- Jr do la machine chargée de la résistance r, en appelant f le frottement de la machine non chargée, et t l’accroissement que subit ce frottement par unité de la charge ; du contre-poid9 que noua exprimerons par n. en le supposant réparti par unité de surface du piston; et enfin de la pression p subsistant sous le piston, en raison de la condensation imparfaite de la vapeur. Le travail exécuté pendant la course par l'ensemble de ces diverses résistances, sera donc

Par conséquent on aura la relation

<ï - f" c ) + p yi ~ l-f

et en écrivant, pour simplifier,

l’expression obtenue plus haut, deviendra

ou bien

Ce sera donc la première des relations cherchées entre les données et les inconnues du problème.

Pour avoir maintenant la relation pareille pour la course mon-

laute, il faut exprimer que la même égalité y existe entre le» quantité» d’action développées par la puissance et par la résistance.

Or la puissance est ici le contre-poids ; et la résistance »e compose d’abord de l’opposition exercée par la vapeur âpre» la fermeture de la soupape d'équilibre, et ensuite du frottement de la machine. Nous entendons ici. par frottement, la somme de toutes les résistances que doit surmonter la machine pour opérer sou mouvement : c’est-à-dire, non-seulement le frottement des divers joints du mécanisme, mais encore la résistance due à la pénétration du piston des pompes dans Feau d'épuisement, résistance qui n'a pas lieu dans la course montante. Le frottement de la machine non chargée, dans cette course, n’est donc pas exactement le meme que le frottement de la machine supposée non chargée dans la course descendante, et nous l’exprimerons en conséquence par/”, au lieu de f.

Cela posé, la quantité de travail développée par le contre-poids durant la course est

üal;

et celle développée par le frottement est

r'al.

Quant à celle qui est développée par la résistance de la vapeur, elle exige un court calcul, analogue à celui qui a été fait déjà pour la détente.

Pendant le mouvement ascendant du piston, et avant la fermeture de la soupape d'équilibre, la pression de la vapeur située audessus du piston est nécessairement un peu plus considérable que celle de la vapeur située au-dessous, ainsi que nous l’avons vu il y a un instant, à l’égard de la pression de la chaudière comparée a celle du cylindre. Cependant, comme la différence entre ces deux pressions peut être négligée sans erreur, nous supposerons ici que, jusqu’au moment de la fermeture de la soupape d’équilibre, le piston se trouve en équilibre dans la vapeur, c'est-à-dire se trouve pressé également sur scs deux faces.

Or, pendant tout le temps que la Soupape d'équilibre reste ouverte, les deux parties du cylindre se trouvent occupées par la vapeur qui a subi la détente dans la course descendante antérieure. Cette vapeur, au moment où elle est arrivée dans le cylindre,

avait la pression P, et elle oecapaitla longueur (/'— |-c) du cylindre. En ce montent, elle se trouve répandue dans toute la totalité du cylindre, y compris les deux espaces libres que ne parcourt pas le piston. Donc, d'après la relation (<•}, démontrée entre les volumes et les pressions d'un meme poids de vapeur pendant son action dans les machines (chapitre III, art. I er , § 2), la pression de la vapeur après sa dilatation dans les deux parties du cylindre, est devenue

rz =■

Cela posé, soit t ' la longueur déjà parcourue par le piston dans sa course montante, au moment où l'on ferme la soupape d'équilibre. A partir de ce point, Je piston continuant encore sou mouvement en vertu de sa vitesse acquise et de l'effort du contrepoids, la vapeur enfermée au-dessus et qui ne peut plus s’échapper, prend par la compression une force élastique de plus en plus grande ; et celle qui existe au-dessous en prend au contraire une ■le plus en plus petite.

Soit donc le piston parvenu à la distance X du commencement de sa course, et soit en ce point a la pression de la vapeur inférieure au pistun, et a" celle de la vapeur qui lui est snpéricure. Supposons alors que le piston parcoure de plus un espace élémentaire dx. le travail correspondant, produit par la résistance de la vapeur, sera

(o — o j ad*.

Mais comme les pressions a" et a', qui ont lieu dans les deux parties du cylindre, résultent des espaces respectivement occupés par In vapeur, soit au-dessus soit au-dessous du piston, et qu’a l'origine de cette compression et de cette dilatation de la vapeur, les deux portions considérées du cylindre étaient remplies de vapeur à la pression n , on aura encore, entre les pressions et les volumes respectivement occupés par In vapeur, la relation

ct = --j-o , r , — — •

Donc le travail élémentaire ci-dessus sera

Ou bien, eu mettant pour o sa valeur donnée plus haut, cette expression deviendra

(c ’ — a')adl=-u

(î+r)[ ( '- r + t, /-v+;- !r +'>iTî]'

Actuellement, comme cet cfTct de compression d’uu coté et de dilatation de l’autre, se produit depuis la longueur l" du cylindre jusqu'à la fin de la course, en prenant l’intégrale de cette expression entre les limites /" et /, on aura la quantité de travail total développée par la vapeur dans son action résistante contre le pistou, savoir :

P J [(/-/"-H icj/ °- (r+c) io g ji c j.

Mais si l’on fait, pour abréger,

k" = -- r P' C log

i—r -fc r-fc, /-j-c

■ — 7 ,üg ^+ C ’

• n pourra écrire l'expression précédemment obtenue, suus la forme k"

w Ji+*

Par conséquent, en se reportant à ce qu'on a dit plus haut du travail exécuté pendant la même course, par le contre-poids et le frottement de la machine, on trouvera que l’égalité entre l’action développée par la puissance et celle développée par la résistance, pendant la course montante du piston, produit l'équation

k"at -L|> * 7 4-/”nf=IUl/,