r-f f /-/"-fc r+c, i + e

K log -

5 5. De la vitesse de la machine , avec une charge donnée.

Les équations (A), (B), (I), (2), (8) et (A) résolvent tous les problèmes relatifs au calcul des machines de Watt à simple effet. Cependant, comme la nature des expressions que nous avons représentées par k! et k" dans les équations (A) et (B), ne permet pas d'effectuer une élimination entre ces équations et l'équation (1); et qu'ainsi on ne peut arriver à une expression directe de la vitesse en fonction de la charge, ou de la charge en fonction de la vitesse, comme nous avons pu le faire dans les formules des machines rotatives, nous devons nous arrêter un instant sur le mode de calcul qu’il convient de suivre pour arriver à la solution des divers pro blêmes qui peuvent se présenter.

Supposons qu’il s’agisse de déterminer la vitesse à laquelle une machine, entièrement connue du reste, mettra en mouvement une charge donnée r.

On commencera par introduire la valeur donnée de r dans l’équation (A),

On aura ainsi la valeur de k'. En cherchant alors dans la première des deux tables que nous donnerons un peu plus loin, on y trouvera immédiatement et sans calcul la valeur correspondante

On introduira alors cette valeur de - dans l’équation (R),

Le résultat donnera la valeur de k", et par conséquent en cherchant cette valeur dans la seconde des deux tables mentionnées,

on y trouvera inscrite la valeur correspondante de

Enfin, les deux valeurs de j et^- ainsi trouvées, seront substi-

tuées dans l'équation (1)

. l"-\- c c a ' n -j- çP’

et cette opération fera définitivement connaître la vitesse cherchée.

5 4. ne la charge de la machine, avec une vitesse donnée.

Supposons que l’on donne la vitesse de la machine, et que l'on cherche la charge qu’elle pourra mettre en mouvement à cette vitesse.

On observera qu’en tirant de l'équation (B), la valeur de

et la substituant dans l’équation (1), celle-ci devient

T-fc’

ou bien

■ que.

C'est donc la relation propre à donner la valeur de k" . En y substituant pour v la vitesse donnée, on trouvera le nombre qui représente l'expression

et en cherchant ce nombre dans la table n° II, on y trouvera immédiatement la valeur correspondante de ^ et celle de A”.

La valeur de y étant connue, il faudra calculer y Pour cela,

l'équation (B) fournira la relation

thSosii os la xacrisk a V AP AV a.

Comme on connaît la valeur de k" au moyen (le la recherche précédente. en la substituant dans l’équation qu’on vient de donner,

on en conclura et par suite k' au moyen de la table n° I. Par

conséquent, enfin, en mettant la valeur de k' dans l'équation (2)

or= i ^*'(i+ p )-r+-,(i+ p +^+ n )’

on obtiendra définitivement la charge ar, correspondante à la vitesse v.

§ 5. De la vaporisation nécessaire pour produire des effets

voulus.

Supposons que l’on cherche la vaporisation que doit avoir la machine pour mettre en mouvement une charge donnée à une vitesse voulue.

On calculera au moyen des deux formules (A) et (B), les valeurs

de - et - , et en les substituant, avec la vitesse e, dans l’équation (8)

t ’l-j-ic

ar(n

on en conclura la vaporisation cherchée.

§ 6. Des effets utiles de la machine.

Supposons que l’on cherche l’effet utile que peut produire la machine avec une charge donnée.

On cherchera d’abord la vitesse correspondante à cette charge, par le procédé indiqué plus haut; puis, en multipliant cette vitesse par la charge donnée, on obtiendra l’effet utile correspondant, savoir :

E.* - — are.

Si la vifesse était donnée au lieu de la charge, on chercherait la charge correspondante à cette vitesse, et le produit arv, de cette charge par la vitesse donnée, serait l’effet utile cherché.

Toutes les diverses expressions de l’effet utile se concluront de

la connaissance du produit arc, par les formules déjà dounées dans le § 5 de l’article I» du chapitre 111.

§ 7. De la charge et de la vitesse qui correspondent à une détente donnée.

Enfiu, comme dans ces machines la détente est essentiellement liée à la charge, de telle sorte que l'une étant donnée, l'autre s'ensuit nécessairement; il peut arriver qu’on ait fixé d'avance la détente à laquelle on veut faire travailler la machine, et qu’on cherche d'abord quelle charge elle pourra mettre en mouvement avec cette détente, et ensuite quelle vitesse elle prendra avec cette charge.

Alors la quantité ^ sera donnée à priori, et par conséquent on

aura aussi la valeur correspondante de k', que l'on trouvera à simple vue dans la table n° f. Cela posé, l’équation (3), savoir :

ar = r+-> * (i +p ) ($+*•+/’ + n )

fera immédiatement connaître la charge r; et celle-ci une fois connue, on en déduira la vitesse correspondante, comme dans Je premier problème que nons avons traité plus haut, § 3.

Ainsi l’on voit que les diverses questions qui peuvent se présenter dans le calcul des machines à simple effet, se résoudront d'une manière moins directe, il est vrai, mais néanmoins à peu près aussi simple que ceux qui concernent les machines rotatives ou à double effet.

§ 8. Détermination du frottement de la machine non chargée , et de son frottement additionnel par unité de la charge.

L’emploi des formules que nous venons de présenter suppose que l'on connaît, ou du moins que l'on est en état d’évaluer le frottement f de la machine non chargée dans la course descendante, le surplus S , que subit ce frottement par unité de la charge imposée à la machine, et enfin le frottement f de la machine

dam la course montante. Il reste donc à donner les moyens de déterminer ces trois quantités.

Pour cela, on observera que l’équation (A) est générale, ou qu'on a toujours la relation

Cette relation existera par conséquent aussi quand la charge de la machine sera nulle, c’est-à-dire quand un aura r=o. Ainsi, pour ce cas, on aura

qui donne

Cette équation déterminera donc la quantité /’ , dès que l’on connaîtra les quantités P, p, n et k'.

Or, il est facile de connaître ces quantités par une expérience directe. Supposons, en effet, qu’on ait mis la machine en expérience sans lui donner aucune charge, et qu'en admettant avec précaution une très-petite quantité seulement de vapeur à chaque eoup de piston dans le cylindre, on soit parvenu à trouver par tàf

tonnement la portion ^ de la course du piston, où l'on doit arrêter

l'arrivée de la vapeur dans le cylindre, pour que le piston soit conduit juste au bout de sa course par la détente de cette vapeur.

On aura ainsi, par expérience, la quantité y, et par conséquent,

en recourant à la table n° I, ou à l’expression développée de k, savoir :

il sera facile de connaître la valeur de k’ qui correspond à celle observée de y

D’un autre côté, on connaît le contre-poids n, et l’on peut mesurer avec un manomètre et avec l'indicateur de Watt, les pressions P et p qui existent dans la chaudière et dans le cylindre à vapeur après condensation imparfaite. On possédera donc tous les

éléments du calcul, et par conséquent, en les substituant dans l'équation précédente

on en déduira sans difficulté la quantité/', ou le frottement de la machine sans charge dans sa course descendante.

Pour connaître ensuite la quantités, il suffit de faire fonctionner la machine avec une charge connue, et de régler par tâtonnement, comme on le fait dans la pratique, la portion de course qu’il faut laisser parcourir au piston, avant d'arrêter l’arrivée de la vapeur dans le cylindre. On aura alors, par expérience, la

quantité y qui convient à la charge r. Ensuite, en examinant le

contre-poids et mesurant la pression dans la chaudière, ainsi que celle qui subsiste dans le cylindre après condensation imparfaite de la vapeur, on aura de même par observation directe les quantités P, p et n.

Or, on a toujours la relation (A), savoir :

qui donne

Il sera donc facile d’en déduire S, car - étant connu, comme on

l’a dit plus haut, la table déjà indiquée permettra d’en conclure immédiatement A', et comme le frottement f est également connu par la recherche précédente, on aura tous les éléments de la valeur de i.

Enfin, pour avoir le frottement f" de la course montante, Péquation (B) donne

La machine étant donc toujours supposée réglée par tâtonnement avec une charge quelconque, on mesurera simultanément

sur la machine les deux quantités j et la pression P. Alors, en

recourant à la table n“ II, ou à l'expression développée de A", savoir :

ln /— r+ c

' — r~ og rip?

ou connaîtra la valeur de A-"qui correspond à celle observée de

On a d'ailleurs, par observation directe, celle de ainsi, en in-

troduisant ces valeurs dans l’équation que l'on vient de donner, on en conclura la valeur de f.

Nous ferons cependant remarquer, à l’égard do la détermination de f, que dans les machines employées à l’épuisement, ce frottement n’est pas strictement une quantité constante. En effet, il comprend la résistance opposée par l’eau d’épuisement à la pénétration du piston des pompes, et cette résistance varie en raison du carré de la vitesse du mouvement. Mais comme la vitesse du piston varie peu dans ces machines, on pourra se contenter de déterminer la valeur de f' pour la vitesse ordinaire, et cette valeur pourra ensuite être considérée comme une moyenne applicable a tous les cas.

On pourra donc toujours, d’après ce qui précède, déterminer le frottement de la machine dans chaque course, et le frottement additionnel de la course descendante par unité de la charge imposée à la machine. Après avoir mesuré ces frottements dans plusieurs machines, on en déduira une moyenne qui servira à évaluer le frottement des machines avant leur construction.

§ 9. Tables pour la solution numérique des formules, pour les machines à simple effet.

Les formules (A) et (B), que nous avons données dans le paragraphe précédent, n’étant pas susceptibles d'une solution directe, et leur usage intervenant cependant dans tous les problèmes relatifs aux effels des machines, nous joignons ici deux tables qui en donneront la solution sans calcul.

La première de ces tables est relative a la course descendante du piston, et la seconde à la course montante. Les correspondances entre les nombres des diverses colonnes feront immédiatement

connaître, soit la valeur de A' quand celle de -- sera donnée, soit au

. contraire la valeur de y quand ce sera k' qui sera connu. Il en sera

de même relativement à -j et k" dans la seconde table.

Lorsque le rapport ^sera déterminé, on en conclura aussitôt le

rapport

puisque ce rapport n’est autre chose que

et que l’on connaît dans chaque machine la liberté c du cylindre. Lorsque les équations contiendront le terme /- f 2c /'+ c’

sa valeur se conclura du rapport entre les deux suivants :

et L±î II'

qui sont tous deux connus d’après les valeurs de j et

Ainsi, dans aucun cas, il ne pourra se présenter de difficulté dans la solution numérique des formules.

Dans les tables que nous allons donner, nous avons supposé c = 0.1 1; c’est-à-dire que nous avons pris la liberté du cylindre, passages aboutissants compris, comme égale au dixième de la course utile du piston. Cette proportion est effectivement adoptée dans les machines à simple effet, afin d’éviter les accidents qui pourraient arriver si le piston, en continuant sa course un peu trop loin, venait à frapper le fond du cylindre.

Nous devons rappeler ici que les quantités /' et l" sont les longueurs parcourues par le piston, au moment où l’on intercepte les communications de la vapeur ; et par conséquent, que ces longueurs sont supposées mesurées à compter du point de départ effectif du piston dans le cylindre, et non à compter de l’extrémité même du cylindre.

TABLE

pou» LA SOLITION MTMÉRIQLE DES FORMULES (MACHINES A SIMPLE EFFET).