THÉORÈMES FONDAMENTAUX
2. Théorème I. — Si n est impair, l(nz) : le, p.(«e : pî, v{ne) : vs et si n est pair, l{nz) : Xspsvs, p.(«ô), ^(ns) sont des fonctions rationnelles paires de
>.£, p.£ ou v£.
Ce théorème est vrai pour n = l et n = '2, comme il résulte des formules 22, 23, 24 de l'introduction. Nous allons montrer, en nous bornant à la fonction l, que s'il existe pour le nombre n, il existe aussi pour le nombre n -+- 1. Dans la démonstration suivante, Ijpe), 12(^2) etc. désignent des fonctions rationnelles impaires de )>£, J()^£) une fonction rationnelle paire de la même variable.
* D'après la formule (I, 22),
^ ^ i—k^lHl^{nz)
Soit n pair. On a alors par hypothèse :
),(n£) = I,().£)fy.£v£=I,(À£))/£,
fl^'où .,, , dl,(le)^,, , ^ „
n>\nz)-^-^):H-v\,i:,zYz,
D'après (1,2), !,(/£)>"£ est une fonction paire de /s; la dérivée d'une fonction impaire d'une variable étant toujours une fonction paire de cette variable,
rfl,()-s) rfl,(k)
dÇAz) dm ^' " ^
est aussi une fonction paire de a£. Donc
lel'{ns) = l,{le) et
^^^'^ -*- ^)' = i iknM^(/£).r^e - ^^^^■')-
Ainsi, quand l(iu) est de forme Ij(/£))/£, i{?i + !)£ est de la forme I,,(>£). Soit en second lieu, w in) pair. Par hypothèse
d'où
Ainsi, quand ).(«£) est de la forme l^Q-z), ) (« + 'l)^ est de la forme l^(n) ■ l'z. Il est clair d'ailleurs que, dans cette démonstration, les fonctions I^, Ig, J, I5 sont rationnelles comme I, et L d'où on les déduit (1).
(t) Ce théorème est dû à Abel, OEuvres, t. I, XH, n» 3, p. lÈiS. Sa démonstration est peut-être plus simple que la nôtre, mais celle-ci se présente plus naturellement à l'esprit. On peut voir le germe de la démonstration d'Abel dans un passage d'Euler (voir Introduction). GiiDERMANN, Théorie der Modular Functionen und der Modular Inlegrule (Berlin, Reimer, ^SU ou Journal de Crelle, t. 18, 19, 20, 21, 25, 2S), § l-iO, p. 292, a reproduit la démonstration d'Abel. — Abel, I, XXI, cbap. !<=■■, § 4-, p. 5^8, a donné une seconde démonstration du même théorème, beaucoup meilleure, parce qu'elle fournit la valeur de ),(«î^ sous forme de fraction rationnelle irréductible. On trouve cette démonstration dans les ouvrages suivants : Sanio, De funciionum eilipticarum tmilliplicalione el transformatione quae ad numenim iiarem pertinenl (Journal de Crelle, t. XIV, p. 1-SO, 1853), § 1, p. 6; U. H. 3Ieyer, Sur les fonctions ellipliques (Archives de Grunerl, 1851, t. XVI, p. 364-4.08); Briot et Bouquet, Théorie des fondions doublement jicriodiques et en particulier des fonctions elliptif/ties {Paris, Mallet-Bachelier, 1859),^ 180, p. 213; Brocii, Traité élémentaire des fondions ellipliques (Christiania, Mailing, 18G7), §26, p. i7 ; Kônigsuerger, Die Transformation, die Multiplication und die Modulargleichunf/en der elliptischen Functionen (Leipzig, Teubner, 1868), § 29, p, 119.
3. Théorème II. — Les fractions ratiomieltes qui donnent l{ns)ou l{nt) : l't, selon que n est impair ou pair, en fonction de le, p.(n£) en fonction de f^e, y{nz) en fonction de vz, ont leur numérateur et leur dénominateur égaux à des produits de facteurs simples, si on les suppose réduites à leur plus simple expression.
Nous allons donner la démonstration de cet important théorème pour la fonction l^m). Soit d'abord w impair. Nous savons par le numéro précédent que l'on peut écrire
m, A, D sont des constantes; P, placé devant un facteur, indique un produit de facteurs semblables, différant seulement entre eux par la valeur de la constante. Pour montrer qu'un facteur quelconque du numérateur ).£± A est simple, nous chercherons la limite de
l {m) ïë±J.
pour /£ = If A. Or, dans cette hypothèse, celte expression prend la forme - • Par conséquent, on a
l(ns) ,. nVlm) ,. u.(ne)v(m) hm — -^—^ = lim — ) — = lim n—^ — —^ — - -
>£ db A ),£ pt£ • v£
Les fonctions )., f/., v ne sont jamais nulles en même temps et sont toujours infinies à la fois. Il en résulte que le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente sont finies; la limite de l{m) : Çkz rt A) étant finie, il est clair que >£± A est un facteur simple du numérateur de >(«£). Cette démonstration s'applique au cas où A = 0, et par conséquent le est aussi un facteur simple du numérateur.
La limite de l{ne) (À£ d= D) est aussi finie pour A£= zp D et par conséquent le ± D est un facteur simple du dénominateur. En effet,
^ ,, , ^^ ,. ).£±D ,. l'e-l^hie)
hm ), {ne) (),£ i D = lim ^ .. . == — lim ^,/ / • ^ '^ ' l-\ne) ni' (lie)
D'après (I, 50) la limite de l'^[ne) : l'{ne) pour l{ne) =- «5 est finie; l'e=^ f-tevs
est fini, puisque )£ n'est pas infini. Donc la limite cherchée est finie.
Dans le cas où n est pair, on peut écrire
l [ne) = tnlefj.eve -4-; -' ;
la démonstration précédente est entièrement applicable. Nous montrerons
dans la suite qu'il ne se trouve ni au numérateur^ ni au dénominateur de facteur 1 — à'^ô =f/.'^c, ou 1 — A-^).2ô:=v-c, s'annulant en même temps que p.£vc. Ce théorème se démontre de la même manière pour les fonctions p.(y?£) et v{ne). Dans le cas où n est pair, on en conclut que tous les facteurs du numérateur et du dénominateur sont de la forme
P-^£ — B^ dans l'expression de p-(m£)
v^s — C^ dans l'expression de v(n£) B et C n'étant pas nuls. En effet, si on avait, par exemple, B = 0, on trouverait un facteur p.^£, ce qui serait contraire au théorème démontré dans ce numéro; ou un facteur ps, ce qui serait contraire au théorème premier (1).
