IULT1PL1CAT10N PAR UN NOMBRE IMPAIR
I I. Formules fondamentales
4. Valeur de ).(«£). Nous savons que la valeur de i{7iz) peut être mise sous la forme
Nous allons chercher successivement la constante m,, les facteurs du numérateur, puis ceux du dénominateur.
(1) GuDERMANN admet sans démonstration que les facteurs sont simples; sur ce point comme sur beaucoup d'autres, il faut le compléter au moyen de la théorie des fonctions doublement périodiques. Les autres auteurs traitent du degré de multiplicité des facteurs seulement après les avoir trouvés. La méthode d'Abel est fondée sur la théorie des racines égales; la plupart des autres, s'appuyant sur la seconde démonsti'ation d'Abel du théorème premier, déterminent d'avance le degré du numérateui' et du dénominateur ; trouvant ensuite un nombre de facteurs du premier degré égal à ce degré, ils en concluent que chaque facteur est simple. Bkiot et Bouqi'et emploient le célèbre théorème de Liouville : Deux fonctions monodromes et nionogènes qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis, chacun au même degré de multiplicité sont égales à un facteur constant près. {Théorie^ § 39, p. ô9; Journal de Liouville, XX, 18S5, p. 203 sq.)
Pour plus de détails sur ces diverses méthodes et en général sur tout ce qui ne peut être comparé directement à ce que nous donnons dans le texte, consultez l'Introduction historique.
1° Déternniiadun de la constante m^. — Fesons s = K'j/^ — I, ),c et .Ç/is) deviendront infinis. Mais le l'iippoi't A^/te) : ),£ restera lîni. En effet :
iim ' == Iim
j-^{,iz)
\nz)
= - (I, n^ôO).
Le produit P().-ô — A-) contient donc le même nombre de facteurs du premier degré que P().^s — D^), et on a encore, pour e = K'j/ — 1,
\{nz) lim -- — =m.
Par conséquent m^ =
2° Détermination des facteurs du nu)nérateur. — La fonction l{m) ne s'annule que pour
m — 2c(k H- 26k' (/ — l ou e = ,
a et 6 étant des nombres entiers quelconques. Pour cette valeur de s, l'un
des facteurs du produit Pf/^î — A-) doit s'annuler; la forme générale de ces
facteurs est donc
/2aK-i- 26K'i/— A,
Pour trouver toutes les expressions distinctes contenues dans cette formule générale, nous allons montrer qu'il suffît de donner à a et b un nombre de valeurs très restreint. D'abord on peut supposer a et 6 plus petits que n en valeur absolue. Car soient : a' =^ pn -t- a", b' = qn 4- b", a" et b" étant inférieurs à n en valeur absolue ; on aura :
, /2o'K-+- 26'Ky— 4
= IH 2pK -+- ^qli'i/— 1 +
,./—r^ 2aK+26Ky-l
Le facteur correspondant à a' et b' est donc égal au facteur correspondant à a" et b", et, par conséquent, il n'y pas lieu de supposer a et b plus grands que n, en valeur absolue.
Soit a = 0. Dans ce cas
égalités d où résulte qu'il est inutile de supposer b négatif ou positif et
, n supérieur a — • Ainsi, quand "la =^ 0 , il sufïit de supposer '2b égal à
On prouve de même que, si 26 = 0, il suffit de supposer 2a égal à 2, 4, 6 n — 'l.
Soient enfin 2a et 26 difTércnts de 0. On peut toujours ajouter n à a sans altérer la valeur de r'(2aK -t- 26K'(/ — 1), car
, r2(a -t- pu) K + 26K'|/ ^^1 ] . , /^ ,, 2«K h- 26K' ]/~^l \
);2 ^ L-l L =^ 1-2 I 9pK H ^ j =
, ^ /2aK + 26Ky:^^'\ .
nous supposerons donc a positif. On peut de même retrancher n de a, et, par conséquent, supposer a plus petit que n. On peut aussi supposer 6 positif et inférieur h n.
Soit maintenant a' = n — a", 6' = u — 6" ; on aura (I, 6)
/2a^K + %'K'i/^ \ Y 2a'aC — %±'i/I~[\ ^/2a"K — WKy^ \
^, /2a-K-t-26-lV-l\ ^^ r ^ ^j^,^— 2a-K + 26-Kyi~l\ ,2 /2a"K H- 26"K'|/^\
D'après ces deux formules, on peut supposer que a reçoive seulement
des valeurs inférieures à -; en outre, on peut faire en sorte que 6 soit
n il
compris entre -4- - et — - . Autrement dit, si 2a = 2, 4, 6.... ou n — i,
Ji À
il suffit de supposer 26 égal à =fc 2, ±4.... ou ± (n — 1).
Les facteurs correspondants aux valeurs de a et 6 que nous venons d'indiquer sont tous différents. Car soit, s'il est possible :
.^ /2aK + 26K^ |/^^ ./^a^K h- 26'Ky^\
On devra avoir (I, 6) 2aK + 26K' |/^ ^2a'K -i- %'K' [/^^
c'est-à-dire
a = rb a' + yj?? , h = ±h' -\-qn,
>îP
ce qui est impossible, car «, a, 6, 6' sont inférieurs à - en valeur absolue.
Le numérateur de l{)iz) peut être écrit, à un facteur constant près, d'après ce qui précède :
où l'on suppose que a et h reçoivent les valeurs suivantes :
2a = 0 et 26 = 2,4,6... (» — '!)
26=0 et 2a=2, 4, 6... [n. — \)
2a = 2, 4... (n— 1), et 26 = ±2, ±4, ±6... ±{n — \).
0° Détermination des facteurs du dénominateur. — Une discussion analogue conduit à la valeur suivante pour le dénominateur :
y 2flK -t- (26 + 1 ) K' i/^^V
on suppose que a et 6 reçoivent les valeurs
2a =0 et 26 + 1 = 1,0,0,... « — 2 26-+-l--=« et 2fl =2,4,6,... n — i 2a =0,2,4,... (m — 1) et 26+1 =±1, ± 5,... ±(m— 2). On peut aussi arriver à ce résultat de la manière suivante. Les facteurs du dénominateur sont tous de la forme
Soit a' = %i — a", 26' + 1 = « — 26". On aura (I, 6, 4 5) 2a'K + (26'+ 1)KV^
r-{KV-i H^— )
y2a"K + 26"KV-
Pour obtenir toutes les valeurs distinctes de cette dernière expression,
il suffira de donner à a" et h" les valeurs que reçoivent a et h dans l'expression du numérateur. Toutefois on ne pourra pas faire «" = 0, 6" = 0, parce que le facteur correspondant est infini. Néanmoins ),(?is)= oo, car, dans ce cas, 2o" = 2«, 26' -t- 1 = n, £ = 2K -+- K'[/^^ et par conséquent tous les facteurs du numérateur et du dénominateur de ){nc) sont infinis; comme le numérateur en contient un de plus que le dénominateur, l'expression de \[nz) est donc infinie. Aux valeurs indiquées pour a'' et h" correspondent les valeurs assignées ci-dessus à 2o et 26 -t- 1, dans l'expression du dénominateur.
Il résulte encore de ce qui précède que Ton peut écrire pour le dénominateur :
/ , / 2aK + 26K'r/^^\
2a et 26 ayant les mêmes valeurs que dans le numérateur. 4° Expression de l[nz). — Nous aurons pour valeur de )>(»£)
En supposant que
sK + s'K'i/— 1 .sK -f- t'R'i/— 1 Pi=- ^- ' P^= ^r
.s et s' étant des nombres pairs ; t' un nombre impair ; s et s' reçoivent toutes les valeurs paires non supérieures à n; toutefois on ne doit jamais associer les valeurs, 0, 0 ou 0 et n; de plus s' et cr' ont le double signe chaque fois qu'ils ne sont ni égaux, ni associés à 0 ou n.
Dans la suite nous emploierons toujours s pour désigner un nombre pair, <T un nombre impair positif, et les mêmes lettres accentuées pour désigner un nombre pair ou impair qui peut être positif ou négatif dans certains cas(l).
On reconnaît aisément que le numérateur de ). (nî) est du degrés-, et
(1) Ces notations expressives sont une combinaison de celles qui sont employées par Sanio et GuDERMANN. Fautc de notations abrégées analogues, la lecture du chapitre de Broch sur la multiplication est rendue très-pénible. — On nous pardonnera l'emploi de l'expression impropre nombre nêçiali(\ en songeant (|ue l'on a déjà admis dans l'arithmétique supérieure, des nombres complexes et idéaux qui sont tout aussi peu des nombres que les nombres négatifs.
le dénominateur de degré n"^ — 1 en ),c, ce qui s'accorde avec le théorème du W 2, et avec la remarque faite à propos de la constante. On en conclut que les numérateurs de ')^^{nz), iJ^-{n£.), v'(m£), sont de degré n^ et le dénominateur de degré /t^ — l en >^£, p.^ô ou v'^c. Par conséquent ^.(mô) et v(nc) ont leur numérateur de degré n^ en f^e, i>s, leur dénominateur de degré n — 1, ce qui s'accorde avec le n° 2, et avec ce que nous allons voir dans la détermination de la constante de l'expression de y-{nz), v[iie).
5. Valeur de p-^is), ^{ns). Les valeurs de p(«ô), v(^i£) sont de la forme
y.{nc.)^m^y.z
ni.vi
Cherchons d'ahord la limite de y-{nz) : jj.z, v{nz) : vz pour £ = K'|/ — 1. On trouve (I, 51 et 52) :
y{nz) fx-iô ).£v£ )a{iiz)v(nz) . ,s"^'I
\\m— — ^ = lim-^- — -3=lim— -: lim — ^ ; , — i = (--l) -=?»„
hm -^ — ^ = hm — - — r= lim-4- : Iim — ' , — = ( — 1 ) -^ m.
v£ v-'(?j£) v-^£ ^j\nz) ^ ' n
La fonction p-(^/£) s'annule pour
si 2f6 -+- l = n — 2ft' et 26 ==^ 2>* — 2f/.
La fonction v(ȣ) s'annule pour
(2a-i-l)K-4-(26-+- 1)KV— ^ - -, / 2«'Iv-+-26'K'/^
= IV -f- Kl L/ 1 —
n si 2a+l = n — 2ft', 26 -+- 1 =n — 26'.
Enfin ces deux fonctions deviennent infinies pour les mêmes valeurs que ) (n£). On conclut de là, soit par un raisonnement direct, soit en faisant des remarques analogues à celles qui nous ont donné la seconde forme du dénominateur de /(hô), que, si
— oO —
v[m)=( — 1) -vsP— ^^ ={—\) ~vsP ^ L Li
"• ^'^— 'P4 ^i v2£v^(KVlIl-p,)
<T, s\ ff, pouvant recev.oir un certain nombre de valeurs d'après la règle indiquée à la fin du numéro précédent.
6. Expression de ^{m), p.(«£), v(«£) respectivement au moyen de (le et v£, ).£ et v£, ).£ et p£. On a, d'après la définition des fonctions p. et v,
IH — l^oc __ i— ^^£ — i+V^g 1 — itn^^s ,] ^ Jt-^À^a p2£ — fa. vH — v^a
Il résulte de là que l'on peut écrire de la manière suivante les formules trouvées jusqu'à présent.
\{nz)^r}z-
— p'Pi p^^2 — ^^Pi
— P'Pi '■'""S — ^^4
\>-{n^^ p "2 în.2p£ ^ V^£
-^-P2 pF£ -ÀV4 f^^s
-^^Va pP-^^
-PV5 pv^s--vy
,„.,£ ).% — àV, r£ — P-?4 ^'£ — '■'74
Dans ces formules, on peut remplacer p^ par K — p,, p. par
K + K'|/ — 1 — Pj, p^ par Iv'|/ — ! — Pj. On a trouvé pour les constantes les valeurs
(I) Aucun auteur, que nous sachions, n'a établi directement ces, formules, parce que tous ont déterminé les constantes par les procédés indiqués au § II au lieu d'employer
la valeur £ = K'^/ — I. Adel, toutefois dans l'expression de )^(n£), l^fwc), i'(«î), en sommes trouve les constantes par la valeur qui rend ces fonctions infinies, et cela tant dans son premier mémoire (I, XII § 25, p. 186 et sqq.) que dans le dernier (I, XXI, p. 397).
Dans la théorie de la transformation il emploie tantôt la valeur £ = K'j/ — I, tantôt d'autres valeurs (I, XII, p. 236, et I, XIII, 263).
Quant à la détermination des facteurs du numérateur et du dénominateur, tous les auteurs partent au fond de la double périodicité. La méthode suivie dans le texte est
I II. Fonntdes diverses déduites des formules fonda ni eut aies.
7. Autre méthode pour la détermination des constantes. — Nous avons trouvé les constantes m^, m^, m., en fesant s = K'|/ — 1, de manière que l{nt), p-(mî), v{n.s) deviennent infinies. Cette valeur de e est la seule par rapport à laquelle les trois fonctions se comportent de même. Mais il est évident que l'on peut déterminer m^, m.:,, m^ en donnant à s d'autres valeurs. On est conduit à des résultats remarquables en fesant dans les formules du numéro précédent £ = 0, £ = K, £ = K-i-K'[/ — I, valeurs qui annulent respectivement le, u.z, v;. On aura :
1° Pour £ = 0 :
absolument la même que celle de Sanio (dans le cas de n pair), de Gudermann (§ loO et suivants p. 28if) qui traite complètement la question, de Buiot et Bouquet qui esquissent seulement la détermination de ^(nç) sans chercher les constantes. Abel suit une méthode un peu plus générale qui s'applique d'ailleurs aussi au cas de n pair (I, Xlt, n" 11, p. 186). Plus loin (n»25, p. 186 et sqq.) il trouve en partant du même principe, la valeur de )>(«£) etc. sous une autre forme, d'où il déduit la première. Broch suit complètement Abel sur ce dernier point, et comme cette seconde méthode ne s'applique qu'au cas où n est pair, il est forcé de se borner aux formules se rapportant à n pair (§ 29, 30, 51, p. 58 et suivantes). U. H. Meyer {Archives de Grunert, t. XVI, p. 5(ii sq. § V) cherche par la
/ l^his) \ I y^(nZ) \ première méthode d'Abel l'expression de | I — — — 1 : I 1 — -rr: : *^6 1"' "c pre-
sente pas de difficultés. D'où en donnant à f, et £» des valeurs particulières ^^(ne) etc. (Voir l'introduction.)
Tous ces auteurs à l'exception de Meyer et Briot et Bouquet déterminent la valeur des constantes ; nous dirons par quel procédé dans les notes du § II.
— o!2 — 2o pour c= K :
lin, ïM = (,)^„^„,.p.^» = (,,)~ip(£P,. j,„, pfi.
3° pour £ = K -^ K'j/ — 1 :
^.±-1= -1 =^«.^P il= 1) P J^; d'où P -^
li„,±!)=(l) \,^.„^p4^ = (1) ' ip!;^;d0ÙP^ =
Les formules de la dernière colonne se résument dans les suivantes :
ÏL^= P ^i = P (^^ P f^^ P^^= P !!f
8. Valeur des jnoduits P/^p,, P/^p, •• Pi'^p4- — Lemme. Si k est positif et
phts petit que l'unité, le signe de P/^p, est celui de ( — I) ^ , tandis que Pp.^pj, Pv^p, sow^ positifs (i).
On a, d'après la valeur de p^,
(1) Ce lemme osl emprunté à Gudebmann (§ lîJâ, p. 304), (jui ne s'occupe guèie que des fonctions elliptiques à module posilii'et plus petit ((iic l'unité.
.s et s' prenant dans le second membre, toutes les valeurs paires de i à n~l. Le produit de facteurs positifs P^-| — J est positif; si
