J est de la forme a + b [/ — 1 , Am y

est de la forme a — 6l/ — 1, de sorte que PA^( — )X

A-l ^ \ est positif, tnfin, on a (I, n° -i)

-.A'KV— ' /\ / n \ " / . , , ,.

/2/ y , li \ =(—1) — 1— ^, quantité négative.

Donc PA-2 ( ,/i- ) = (— 1) X quantité positive.

Ce produit donnant son signe à Pl^p^, il en résulte que celui-ci a le

même signe que ( — 1)

On démontre de la même manière que Pp.^p, et Pv^p^ sont toujours positifs.

Cela établi, nous pouvons passer à la détermination des produits PJ^^p, etc. Nous avons d'après le n" précédent et (I, 15), si m = n^—i :

„t ^ pi^ = p ^ih = p (A-^A^p J = k^^n^û^.

D'où à cause du lemme, si A- est positif et plus petit que l'unité :

Je dis que l'on ne peut avoir pour aucune valeur de k

En effet, soit d'abord k positif et plus grand que l'unité, et supposons,

s'il est possible, que l'on ait régalité (a). Pesons varier k d'une nmnièrc continue depuis cette \aleur plus grande que l'unité, jusqu'à une valeur inférieur k^. PA^pj,qui est toujours égal à ± nk-'^, ne s'annulera pas; d'ailleurs X^e étant une fonction continue de k, variera aussi d'une manière continue. Donc P 'k'^p^ ne pourra changer brusquement de signe, et si k devient égal à k^, on aura encore

ce qui est contraire au lemme. Donc l'égalité (1) est vraie aussi pour k positif et > 1 .

Soit maintenant k=Re ^~ , R étant le module de k. Supposons, si c'est possible, que l'on ait

Si nous fesons varier 0, depuis la valeur 0 jusqu'à la valeur zéro, le second membre variera d'une manière continue , et atteindra enfin la

valeur — {— 1) r^ , sans avoir passé par zéro. Le premier membre variant aussi d'une manière continue, on aurait pour la valeur R de k,

pxV,=-{-i) p,

résultat en contradiction avec ce que nous avons vu plus haut. La formule (i) subsiste donc dans tous les cas. On a ensuite d'après (I, 14, 15) et le numéro précédent :

n^ - p ^'P^ p ^'(^ + K- j/^ - p J p r AV.) ^,,,pA^

Ces formules combinées avec la formule (1) donnent PpVn P^^Piî d'où au moyen du lemme PfJ'-^Pi, P-'Vi» Enfin, les autres relations du

numéro précédent conduisent aux valeurs de tous les produits, de sorte que l'on peut former le tableau suivant :

PÀV, =(-1) Tj; Prp.

Pv^p,=

P Pp. =

r; PK^P5 =

On peut, en combinant ces formules entr'elles, en déduire un grand nombre d'autres. On peut trouver d'ailleurs beaucoup de relations entre les produits, P ).^p, etc. à cause des égalités

9. Seconde forme des valeurs de l{us), iJ.{nt), v(hô). En employant les valeurs trouvées dans le n° 7 pour m^, m^, m.^ on arrive aux neuf formules suivantes :

Uiu) Pp.

v. (me)

.{Ht)

Fi

Ah

= (— 1) VI p

i!i AV.

^'Pl