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Les auteurs n'ont remarqué, entre ces neuf formules, que la première,

la quatrième et la septième qui conduisent aux développements des fonctions elliptiques en produits infinis, et la cinquième et la neuvième, qui sont analogues à la première.

lO. Troisième forme des valeurs de l{in), (j{nî), -j[hz). Dans les valeurs }.(y?c), p-(«£), y{m) entrent p,, p^, p^, p^. On peut exprimer ces trois fonctions au moyen de l'une seulement de ces quatre expressions. En appliquant aux égalités ainsi obtenues, les formules 25, 26 et 27 de l'introduction, on trouve une forme remarquable pour l{nt), [j{m)^ "■'{n^), qui n'a pas son analogue dans le cas de n pair.

Nous allons montrer, par un exemple, comment on arrive à ces formules. On a, d'après la formule 25 de l'introduction :

= ^nV,).(p. H-S).),(p,-S).

>2e À2(K'|/— 1 — p,) Par conséquent :

l{m) = i II ■ P '"' ~ ,— ■ =7, /i-^^^P • V^P, • P >.(Pi -H £) . ),(p, - £).

n )^2j„à2(k.'|/i pj n

ou, en remplaçant P X^p, par sa valeur :

>(ne) = (- i) ' k^ kPÀ(pj + £) Mp, - £)

que Ton peut encore écrire, sous la forme abrégée,

),(Hc) = (-']) ' A->A£P).(p. ±£).

On trouve ainsi les formules suivantes, où les valeurs d'une même fonction sont rangées dans une colonne verticale :

k^ P/(p,it£)= k^ A''-«Pa(p, ±£)= A:'-«Pv(p,=t£) =

v(p2±£) ^•'(po±£) ^(P2±£)

/(P,±S) Mp4±^) Mp4=t2)

11 est clair que, de ces douze relations, les neuf dernières peuvent être déduites des trois premières au moyen des formules 13-21 de l'introduction: les trois premières elles-mêmes peuvent encore être retrouvées en partant des formules du n° 9.

11. Quatrième forme des valeurs de l{ne), p-(«î), v(yn). On peut faire subir aux formules précédentes une légère transformation qui conduit à une forme remarquable pour les valeurs de )>(«£), ^-(hs), -j{iu).

On a:

P.,.., = P>.(f..)xP>.f-B^..)

sK -+- s'K'(/ — 1

Oxp>f--:^^^^)

s et s' recevant dans le second membre, toutes les valeurs paires de 2 à /i — 1 , Or on a, d'après (I, 6) :

\ Il / L ?i

/.sK — .s'Ki/^^ \ . r.s-K + (2»— sQKV^^

En tenant compte de ces formules, on trouve :

2aK-+-26K'i/— 1

/sP). (p . + £) ).(p , — £)==(— 1 ) PU ^ + e

a et 6 recevant dans le second membre toutes les valeurs de 0 h n — 1. On arrive ainsi à la valeur de a{iiî), et de même à celles de [j.{nz) et v{nz). Chacune des fonctions > (ne), p.(w£), ^(ne), peut se mettre sous quatre formes différentes. Voici les trois formules les plus remarquables :