MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE PAIR
I I. Formules fondamentales.
12. Valeur de l{nz). Nous savons que la valeur de l{nc) est de la forme :
Nous allons montrer qu'aucun facteur du numérateur ou du dénominateur ne s'annule en même temps que f/.j et vs, puis nous déterminerons «jj, enfin nous chercherons les facteurs du numérateur et du dénominateur.
(1) Ce sont les dernières formules de ce numéro qu'AsEL trouve d'abord par la méthode dont nous avons parlé dans la note du n" 6. Il détermine les constantes en fesant
£=:0, £ = K, e = K-i- K'\/ — J , ce qui le conduit aux formules 1; 5, 9 du n» 9 ; il en déduit les formules 4 et 7. Abel ne s'occupe pas des produits P/^Pi. — Broch (§ 29, 50, 51, p. 58) suit Abel, sans donner aucune autre expression de ï{n£) etc., mais il arrive à quelques unes des formules sur les produits P)/^p, etc., au moyen de certaines relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur ordonné suivant les puissances de >-£. G UDERMAKN cherche aussi quelques uns de ces produits et, de la même •manière (§ 152 et 155, p. 502, 515), mais dans la recherche des expressions de ).(»i£) etc., il part de la seconde forme et non de la dernière; ce qui est préférable puisque cette marche peut être suivie dans le cas de n pair. Nous avons montré dans l'introduction (n" 10) que la méthode de Brocu et Gudermakn, pour trouver les produits P)>^Pi etc. ne diffère guère de celle que nous avons suivie. 3Iais celle-ci conduit simplement à la valeur des produits ^>-p, etc., tandis que l'autre enchevêtre deux recherches distinctes, celle des coefficients et celle des facteurs du numérateur et du dénominateur.
J" Aucun facteur du numérateur ou du dénominateur n'est nul en même temps que i).t et va. Soit p£ = 0 ou £ = (2a + 4) K-h 26K'(/'' — 4, on aura W£ = (2a -+- 4)îîK+ 2)!;«K'|/— 4 et par conséquant (I, G), \{nz\ = Q. Il résulte de là, que 4 — Y^z ou y.^s ne se trouve pas parmi les facteurs du dénominateur. Ensuite on a :
,. 'kim) ,. nu.(ne)v(m) . , ^ .
lim -^ — -■ = — lim - ■ — ^^ — ^= quantité nnie.
us Aîvs
Donc p£ n'est facteur qu'une seule fois au numérateur. La proposition énoncée est donc vraie pour p-s; on peut faire une démonstration analogue pour yî.
2° Détermination delà constante. Soit î = K'i/ — 4 dans l'égalité
, , uevt IhPCkh—A^)
Puisque n est pair, nz = nK'[/ — 4 est une valeur qui annule ),(«£) (I, 6); d'ailleui's )v£ = oo . Mais :
lim^^^ = — limy^p(>/£)v(y;s)X^'-j;(I, 7, 8, 40, 44, 50).
Donc : ^
n )MP(i^-.A^) — = m, { — k) lim ^^ -
L'expression du second membre devant être finie, il en résulte que le produit du dénominateur doit avoir quatre facteurs de plus que celui du numérateur; et de plus
-= — mJi- ou m, =-.
5" Facteurs dit numérateur et du dénominateur. On trouve ces facteurs avec la même facilité que dans le cas de n impair. On arrive à la formule suivante : •
sK H- s'K'i/^ sK -4- l'K'i/^^
,s est un nombre pair qui doit recevoir toutes les valeurs positives non supérieures à n; s' doit recevoir les mêmes valeurs avec le double signe sauf lorsqu'il est égal ou associé à 0 ou n; a' doit recevoir les valeurs positives et négatives impaires non supérieures à n. Nous voyons que les nombres s, 8 c' satisfont encore à la règle énoncée à la fin du n" 4.
Le nombre des facteurs du premier degré est n'^ — 1 au numérateur et de n- au dénominateur en regardant ps, vs comme deux facteurs de cette espèce. On en conclut de suite que le degré du numérateur et celui du dénominateur de i).[nz) et v(ns) en p.s et vi sera n- .
Remarque. Si nous avions déterminé d'abord les facteurs du numérateur
et du dénominateur il est clair que le 4° n'avait plus d'objet et que le
2° pouvait être simplifié. Nous avons suivi une autre marcbe afin de
montrer la fécondité de la méthode qui, dans toutes ces recherches, emploie
les expressions -.
13. Valeur de u.{m) et -j{ns). En fesant £ = K'(/ — 1, on trouve
p.(nK'/— i)={- '\f a(0) = (— \f et v(nK'(/— '!)=(— l)^ ,
d'où résulte que le numérateur et le dénominateur de p-(«e), v{m) sont de même degré, ce que nous savons déjà par le n" 12. Les facteurs se déterminent comme dans les cas précédents. On trouve :
^K -4- .s' K' /— 1 <r K-4- ff'KV— -I
s', rr, n\ satisfesant à la règle du n° 4(1).
14. Expressions de ^{nt), u{m), v{m) respectivement au moyen de p.£
(i) AnEL (il» 11, p. 165) détermine les facteurs par une autre méthode; U. II. Meyer (loc. cit.) y arrive à peu près de la même manière; Broc» ne s'occupe pas de ces facteurs dans le cas d'un nombre pair; Sanio, § I, p. 10 et Gudermann (§ lîJO, p. 294) trouvent les facteurs comme nous Pavons indique dans le texte.
et v£, /c et -Ji, 'j.z et ai. Des considérations analogues à celle du n" (i, conduisent à ces expressions que nous donnons avec les précédentes dans le tableau suivant :
H>^^) >i p ^''£ - '^''-j !i p '^'' - ^'^'i „/,-2 p^l!izil!!l
IH
p(îî£)
re — F- J'a / .^'-'n ^'^
Reniarc/ue. Soit r une quelconque des expressions r,, r^, r^ ou r^. Je dis que, dans les formules précédentes, on peut remplacer r par
Pour le montrer, considérons, par exemple, ).(K — r,) et h\. On aura
\ Il y \ n
Soit s différent de 0 et «; s recevra toutes les valeurs paires comprises entre 0 et n; il est clair qu'il en sera de même de n — s; si s est différent de 0 et de «, ,s' prendra toutes les valeurs positives et négatives qui, en valeur absolue, sont comprises entre 0 et n; il en sera de même de — s'. Donc, pour ces valeurs >(K — r,) sera égal à h\. Soit maintenant s = 0, .s' peut recevoir les valeurs positives comprises entre 0 et n; on aura :
,(K^fIiJ=i) = ,,(!!!i±i2V=i)
et par conséquent /(K — r,) prend les valeurs de h\ lorsque s = n. De même quand s = ii, À(K — r,) prend les valeurs de /r, quand ,s = 0 ; quand s' = 0, /(K — r,) prend les valeurs de ).7\ quand s'==0 et enlin quand s' = n, )v(K — r^) prend les valeurs de li\ quand s' = n. Par conséquent )r, et ),(K — ?j) prennent les mêmes valeurs, quand i\ prend toutes les valeurs dont il est susceptible.
Des démonstrations analogues peuvent se faire dans tous les autres eas, et par suite le théorème énoncé est démontré.
Ce théorème est, comme le veira au § II, la clef de toutes les différences qui existent entre la théorie de la multiplication par un nombre pair et la multiplication par un nombre impair (1).
§ II. Formules diverses déduites des formules fondamentales.
15. Autre méthode pour la détermination des eonstantes. — Nous ferons pour cela, comme dans le n" 7, £ =0, î = K, £ = K -t- K'^ — 1 . On trouve : 1" Pour £ = 0
lim -^= n--= — 7T P -^ d'où P ^ =. — là
Aile k' A-r, A-r,
{ne)=l^{~\fp]^ » pJZ^=.(1)
2" Pour G = K
>£>'£ ' ^ k^ k^ fl
v(n£)= \ =(!)' pJ^^ „ pÇ3==(4)
(1) Sanio ne signale que les substitutions K — r et ¥J\/ — 1 — r, en accordant, semble-t-il , une plus grande importance à la première. Cela vient probablement de la notation de Jacobi co)>£ pour ).(K — S), ou plutôt sincoamî^ pour sm «hi(K — e) qui peut faire croire que am (K — £) jouit de propriétés plus remarquables que d'autres amplitudes. En réalité, comme l'a très bien montré Lamé, c'est K.'\/ — 1 — £ qui jouit de propriétés spéciales ; d'ailleurs, K-(- K'i/ — 1 — £ est aussi remarquable que K — ^.
5" Pour £= R -4- K'j/ — 1
^ , =( — 1) -r-^ = — nk' P— — dou P-— ^=: — ( — J) -
16. Seconde forme des valeurs de ).(«£), p-(«£), v(n£). On déduit des formules précédentes et du n° 14(J).
I i!i ^ ' k^ }l^ ^ ' k'^ vH
j-iii j Ji!i i.^^^
À^j-, pt^r^ v^r
17. Les valeurs de l{ne), p•(;^£), v(>i£) î?e peuvent pas s'exprimer au moyen de produits de la forme P/(r, + £))>(?■, — £) etc. Remplaçons succes-
sivement
dans l'expression PM — ;^ j, où r désigne l'une des quatn
(1) Samo donne les formules seulement sous cette forme, en se bornant aux expressions en ), GuDERMAKN en donne quelques-unes de plus. L'un et l'autre cherchent les constantes par un procédé qui ne diffère pas au fond de celui qui est exposé au n" IS, sauf que le dernier emploie une série pour déterminer celle qui entre dans l{nS). Il trouve quelquesunes des relations du n" 13 au moyen de celles qui existent entre les coëlTicients du numérateur et du dénominateur de ),(«£), m(/)£), v(»£), comme dans le cas de n impair (voir § 135, p. 315).
expressions î\, i\, ?g, r^, r par K'|/— 1— r, K — r, K-t-K'j/ — 1 — r On trouvera (I, 15, 25, 19, 20, 20, 27)
fî'où P 1 — \~,\l = P>. {>• + s) ) (/• — £) = pr r. 4 — k-l-z).-r \ / \ /
d'où
Ces trois formules remarquables peuvent s'obtenir aussi au moyen de
la considération des produits P ( 1 — — ), P f 1 — v- )• Elles expriment
que les produits PA(r + £)À(y — z) etc. sont constants. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer l[m), ij.{nz), v{nz), qui sont variables avec e, au moyen de ces produits comme on l'a fait dans le cas de n impair. Cette propriété montre bien toute la différence qui existe entre la multiplication par un nombre pair et la multiplication par un nombre impair (').
18. Valeurs des produits Pl^r, Pu.'^r, Pv^r. On peut calculer directement la valeur de tous ces produits et par conséquent aussi celle de
(1) Cette propriété n'a pas encore été signalée, que nous sachions. Bnocn donne la première des formules démontrées dans le texte, mais il fait une singulière méprise à propos des deux autres. Il arrive, en suivant la même marche que dans le cas d'un nonihre impair, à la formule (voir § oO, p. 6ô sq. de son ouvrage)
d'où il a cru pouvoir tirer la valeur de y-{nt). iMais il n'a pas remarqué que les valeurs de r/', «', h', /■' sont telles que g' -. ii,' = a' : f , comme il résulte du § 28 p. 57, où ces valeurs sont données. L'égalité se réduit donc à r/' z^ nP. On peut faire la même ohservation touchant la formule qui contient j {uî).
PA(r-+- £)/'.(/■ — c) etc., en s'appuyant sur la propriété de r de pouvoir être remplacé par K'j/ — I — r, K — r, li-^li']/ — 1 — r, mais il est plus facile de faire cette recherche seulement pour PÀ-r^, Pp-'/j, P^'/'j, et de déduire les autres formules de celles du n" 15. Nous avons
nr, = PÀ AK + .,Ky:^\ ^ /.K-..K'i/~î\ 0- et Tj recevant les valeurs 1, 5, o... n — 1. Ensuite
P).(Ky— l-r,) = P).
= PÀ
-.JK'/-
-.,)ivy=
"dv
— dC + (/i + a,)K'/— 1
rK-(M + .jKV-l ^^,^, . "I
"di-h(H — ajK'i/^'
n — ffj recevant les mêmes valeurs que a-^ , il est clair que
On démontre de la même manière que
Vu.{K + Ky — 1 — r,) = (— 1)'2 Pp.r-, Pv(K — r.) = Pvr,. Mais on a, d'autre part (I, 15, 14, 15).
Donc, en faisant N = — , nombre pair, de sorte que ( — 1) = ( — 1)
Pvn
d'où P y-r. = k'^
Ces relations combinées avec celles de n" lo, nous permettent de former le tableau suivant (1) :
P Ih-^ = (— I ) 2 /, - A+2 ; p ^}r^ = Â;-N+2 A:'^-2 ; p^^,-^ = ( 1 ) 2 k'^-
P);2,-g= k-^ ; Prr-= A;-^'A:'« ; Pvh-^= k'^
P ).2 ,.^ = (— 1 ) ^ k-^ ; P p-^ r, = ( — 1 ) ^ Â:-^' /c''^' ; Pv^ r, = A:'^
19. Remarque. Pour traiter complètement le problème de la multiplication des fonctions elliptiques, sans recourir à la théorie de la transformation, ni aux propriétés des fonctions G, nous devrions déduire de ce qui précède les expressions de l{nz), (j{nz), v(ns) en sommes, puis la multiplication des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce. Il faudrait ensuite exposer la méthode directe de calcul des coefficients du numérateur et du dénominateur, les propriétés des équations différentielles auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur, les relations qui existent entre le problème de la multiplication et plusieurs questions de géométrie, etc. Mais notre but étant d'exposer, non une théorie complète de la multiplication, mais une méthode simple et naturelle d'arriver aux formules fondamentales, nous terminons ici cette esquisse. D'ailleurs, tous les auteurs traitent de la même manière les divers points que nous venons de rappeler, quelle que soit la voie suivie pour arriver aux formules qui leur servent de point de départ (2).
(1) Sakio, § 2, p. Hj cherche directement PA^rj, P).-?-^, mais hi première expression est donnée avec une faute de signe. Gudermann, § ISS, p. 515, trouve les mêmes expressions en employant les relations entre les coëHîcients du numérateur et du dénominateur.
(2) Sur tous ces points, voir l'Introduction particulièrement la note de la page 28, oîi l'on signale maintes recherches se rapportant tant à la multiplication qu'à la transformation. Sur le calcul des coefficients, voir surtout Brocii, § 28^ p. S5. La considération des sommes est due à Abel, OEuvres^ XII, § 25, p. 186 et pnssiin.
