OBJET, ETENDUE ET DIVISION DE L.\ SECONDE PARTIE

20, Objet et division de la seconde partie. Abel, dans le mémoire célèbre où il a résumé et complété ses recherches sur les fonctions elliptiques, énonce le problème de la transformation de la manière suivante : « Soit un nombre quelconque de variables liées entr'clles par des équations algébriques. Trouver la relation linéaire la plus générale qui existe entre une fonction algébrique de ces variables, un nombre quelconque de logarithmes de fonctions algébriques de ces variables, et un nombre quelconque d'intégrales elliptiques des trois espèces contenant ces mêmes variables. » Il a ramené cette question générale à cette autre plus simple, résolue entièrement par lui-même et par Jacobi, « Cherchez une fonction y rationelle en x, de degré premier et satisfaisant à l'équation différentielle

^/(\-x^-){^-hv) /(i y«)(d-iy)

On suppose que y = 0, quand x = 0, et /et M sont des constantes à déterminer. » Enfin, en s'appuyant davantage sur la double périodicité, on est parvenu depuis lors à réduire le problème de l'intégration rationnelle de l'équation (4) aux cas très-simples désignés sous le nom de transformations

(les fonctions elliptiques pnr division d'une seule période; Jaco])i et Ahel avaient déjà traité avee soin ces derniers |)roblènics(').

Dans cet écrit, nous n'exposerons pas cette réduction de la ([ucstion générale à ses cas les plus particuliers. Au contraire, nous ferons voir que l'on peut trouver directement toutes les solutions de l'équation (1) de la forme

y = Fx ou y = [/{i — X-) (J — k^x')Fx, Fx étant une fonction rationelle en x, et la valeur y = 0 correspondant à x = 0, pourvu que l'on suppose qu'il n'existe aucun facteur commun aux quatre nombres entiers qui caractérisent chaque transformation (2).

Ces recherches sont divisées en cinq chapitres. Dans le premier, nous donnons divers théorèmes sur la forme de la solution et nous divisons, d'après ces principes, les transformations en quatre classes que nous étudions successivement dans les quatre chapitres suivants. Dans chacun de ceux-ci, nous cherchons d'abord les valeurs de y, [/i — y", [/i — i'JJ', indépendamment les unes des autres, en supposant le problème possible. Dans cette partie de notre travail, nous aurions dû peut-êti'c commencer par les cas particuliers les plus simples pour montrer les analogies du problème de la transformation avec celui de la multiplication, et nous élever ensuite aux cas généraux ; mais ces derniers ont une telle ressemblance avee les premiers quand on a démontré les théorèmes généraux du premier chapitre, que nous aurions dû, en suivant la marche simple dont nous venons de parler, établir deux fois pour ainsi dire les mêmes calculs et les mêmes raisonnements. Nous avons donc indiqué seulement comment ces cas simples peuvent se déduire des cas généraux. D'ailleurs tous, à l'exception d'un seul qui n'a pas été remarqué, ont été traités en détail par divers auteurs, tandis que plusieurs cas généraux n'ont jamais été examinés. — Les valeurs de y, [/ 1 — y'^, \/ \ — /**/^, une fois trouvées, nous montrons qu'elles peuvent se déduire les unes des autres; enfin nous prouvons qu'elles satisfont à l'équation différentielle.

(1) Voir surtout sur cette rédaction, Arel, I, XXI, cli. II, p. 5S0, ch. IV, p. 568; XIII, p. 257 et passim. Il l'annonce dès son premier mémoire, XII, n» -iO, p. 2^2 {Crelle, tome III) et un problème énoncé par lui dans le Journal de Crelle (II, cahier III), la suppose déjà. Comparez Biuot et Bouquet, Théorie, liv. V, ch. V, p. 2^3, ch. VII, p. 270; KoNiGSiiERGER, Die Trunsf., etc., §§ 2, 3, 6, 27, p. 2, 8, 19, 108 (voir l'introduction).

(2) Cette dernière restriction se présente d'elle-même, tant dans notre théorie que dans celle qui emploie les fonctions 9. Voir Konicsbergeu, ^ 20, p. Gi. On peut amener aisément tous les cas à ceux où les quatre nombres caractéristiques n'ont pas de facteur commun.

Dans la recherche des valeurs de y, \/ \ — y'^, |/'l — l^y'^^ nous procédons comme on le ferait dans la théorie générale des fonctions douhlement périodiques (I), mais en nous appuyant sur d'autres principes, beaucoup plus élémentaires; dans la déduction des valeurs de ?/, [/ \ — t/^, \/ \ — V-yles unes des autres, nous suivons une méthode propre, plus rigoureuse ou plus générale que celles qui ont été employées antérieurement; enfin pour la substitution de ces valeurs dans l'équation différentielle, nous nous servons de la méthode d'Abel ou de celle de Jacobi.

%\. Remarque. Nous aurions pu traiter, outre les cas indiqués plus haut, ceux où, à X = 0, correspond une valeur de y qui n'est pas nulle; ensuite ceux où y a l'une des formes :

y \ — X- Fx" j/'l — k-x- ¥x.

Mais ceux que nous examinons suffisent pour montrer la fécondité de la méthode dont le procédé principal est la recherche de la vraie valeur des

expressions qui prennent la forme - •

Nous n'avons pas traité la question de la multiplication complexe, c'est à dire la transformation dans le cas où l=^k ou — - k', M n'étant pas un nombre rationnel, parce que cette difficile question n'a pas encore été complètement élucidée par les géomètres et que d'ailleurs, elle ne fait pas naturellement partie de notre sujet.

Nous avons aussi laissé de côté toutes les questions qui se traitent de la même manière, quelle que soit la méthode employée pour arriver aux valeurs de y, [/ \ — y"', ]/ \ — l^y"'. Ainsi nous ne parlons pas des expressions de ces fonctions en sommes, ni de la transformation des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce, ni des transformations complémentaires et supplémentaires, ni de la solution du problème de la multiplication qu'on peut en déduire. Nous ne touchons pas non plus à la théorie des équations modulaires et des équations différentielles auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur de y (2). Pour tous ces points, nous renvoyons aux traités et auxméiïioires originaux.

(f) Nous disons comme on le ferait^ parce que jusqu'à présent ou n'a traite de cette manière que quelques particuliers (Briot et Boi;qciet; § 198, p. 235 etc.)

(2) Sur ces diverses questions, voir les notes bibliographiques de riutroductinii.