CHAPITRE PREMIER

T H E 0 II E M E s F 0 1>' D A M ENTA U X .

22. La fonction y est impaire en x. Nous écrirons, au lieu de l'équation différentielle en y et x, la relation

dx ,, (*!/ du

. iVl l . ^

Jo\/{^—x'-){\—k^x^) Jq

p/(l y2)(i./y) jXous aurons :

i/i A%2 = V (c, A') = v£ = V |/irr/y = v/^ ^ , A

Pour abréger, nous poserons :

de sorte que, par exemple,

dl, 1 ,, . (fi, 1

-■=^>, pu,sq„e ^ = -

Si £ change de signe et devient — £, a; ou It devient l{ — 1) = — ).£, et

I £ devient — )>i£. Donc quand x se change en — x, y se change en — y. Par conséquent, y est une fonction impaire de x, que nous pouvons écrire sous l'une ou l'autre de ces formes :

y = '''''v{x'-W) ^"^ 2/ ='mx |/(1 -x') (1 - fe^) p^^,p,)

II résulte de là, que si on fait x = cc, on aura y = çc, ou y = 0, mais jamais y= une valeur finie.

23. Dans le cas où y est infini en même temps que x, y : x a une valeur

finie pour x infini. Considérons d'abord le cas où y est une fraction rationnelle, et supposons que l'on ait

e = K'^/ — 1 et par suite >,£ = jc=oo

- =2aL-+-(26-+- l)L'i/ — 1 et par suite l^z = ao

Le degré de P(x- — A^), ne sera pas inférieur au degré de P(x-— D^), puisque xj est infini en même temps que x; supposons qu'il le surpasse de g unités. La limite de ij : xiS'+S pour x=oo , sera une quantité finie; or

1 i m A = 1 im -— - = 1 i m M ^^ ^ \,^, = M (^ + 1 ) ^ . ^^ • i

D'après (I, 30), la limite de - • — est la quantité finie (— 1)" -, 5 pour que

le second membre ait une limite finie, il faut donc que \~'J soit fini ou que (/ soit égal à zéro. Donc ij : x 9. une limite finie pour x = oo, et cette limite est