MA
3Iais, d'après l'expression algébrique de y, on a :
lim - = m
Donc - = -.('I- (A)
Dans le cas où y est irrationnel, on trouve de la même manière
hm - = ( — 1 )" -7- = — mk , X /
donc ^ = (1W (B)
« Dans le cas où y est nul quand x = oo , yx a une valeur finie pour X = 00 . Soit
£ = K' |/ — 4 , X = As = 00 ,
Puisque V = 0 , ^^ = 2aL h- '^bL'iA^.
Considérons d'abord le cas où y est ratioiincl en x. L'expression yx^
aura nécessairement une limite finie si g est convenablement choisi. Or,
pour X = ce .
lim i/x» = lim — î- = — hm — a, v, — Ài—i.
Pour que la limite du second membre soit finie, il faut que g» = I . On a ensuite (I, 50)
lim ux = — lim — y.v, — = r^ •
L'expression algébrique de y donne d'ailleurs lim yx = ni; donc
Mw/c = (— 1)«. (C)
Dans le cas où y est irrationnel, on trouve de même que
lim yx = —7777^ ^^ ""^^ ^^^ 1 ■ ^^ "'^ '"^Ti"^ — '
donc MmA;2 = — (— 1)^ (1) (D)
Valeurs de [x^z: >,,s, v,£ : /^s, ou de (j.^e, y, s quand lz= «2 ; valeur de A^^ : As quand As = 0, Il est utile de chercher ces valeurs qui conduisent à des formules dont nous nous servirons en même temps que de (A), (B), (C), (D). On trouve, si AjS = 00 pour /s = 00 , d'après (I, oO, 51)
Li.e ,. A~'£ À'e a',£ / -,
lim p- = lim -L^ = l : -'-V= — |/— 1 — ^ ' E
Aj£ fjr-'£ MA;£ Mp.;£ K V / V /
lim J- = lim -i— = -4-: -4- = — |/— ^ (— 1)"+'^- (F) l.Z v-*£ M/:£ Mv7£ "^ ^ '
(1) Ces deux théorèmes, pour le cas où y est irrationel n'ont pas encore été remarqués, mais pour le cas ou y est rationel, on peut les déduire de ce théorème d'AsEL : que y est de la forme a;-»- fx, ou fx : x, fx étant une fonction de x finie pour te = 00 {OEuvres, I, XIII, p. 260 et p. 267). Jacobi (Fundranenla, § 10) démontre des théorèmes qui, au premier abord, pourraient être confondus avec les précédents : si y est une fraction rationelle dont le numérateur est une fonction impaire de degré 2« — I ou 2n-4-l, le dénominateur une fonction rationelle paire de degré 2h, il est pt^obable qu'une pareille valeur satisfera à l'équation différentielle donnée, car on aura pour déterminer les coefficients du numérateur et du dénominateur un nombre d'équations suffisant en générai. I\lais il ne prouve pas, comme Abel, que c'est la seule forme possible de la solution. Comparez S.4nio, § ^, p. 18 et KÔMOsnEROER, § ô, p. 8. On n'a pas signalé encore les relations (A), (B), (C), (D).
Si, au contraire 'k^^ = 0 pour As := oo , puisque — = 2«L + %L'[/ — 4
p.^ç^(i)a+!- (G) et v,£ = (— 1)'' (H)
Enfin, dans tous les cas, pour x = 0, y = 0 et en supposant s = 0
lim '^ = lim V- = ;rï ^-^— ^ = ^, (^
X Ae M p.£v£ M ■
24. To^^s les facteurs rationnels qui entrent dans l'expression de y, dont la partie rationnelle est supposée réduite à sa plus simple expression sont des facteurs simples. Aucun d'eux ne s'annule en même temps que [/ i — X ou j/ 1 — k^, sauf au dénominateur de y dans le cas oit cette fonction est irrationnelle en x{i).
Soit X — A, un facteur du numérateur de y. On a pour x = A
hm — ■-—■ = lim ^ — - = hm --^= =:^z== (\)
x-k, le— A, M A,e M|/('l — A^) (4 - FA;) ^^
valeur qui n'est pas nulle. Donc x — A est un facteur simple du numérateur de î/. On a ensuite
P(x2 — A^):(x — AJ /- ^p(x2 A-2):(x2— A,)
»'«^-^— iTTI^^^F^i^ -ou = mx[/{i-x^){l-k^-x^-) ^ ^,^J \,, '^-
Nous venons de voir que pour x = Aj ces expressions ne sont pas nulles ; d'autre part, elles ne sont pas infinies, puisque aucun facteur du dénominateur de y, qui est réduit à sa plus simple expression, ne peut être égal à X — Aj ; l'expression" (1) étant finie, on n'a pas
A, = dz I ou Aj =: ± — , k-
autrement dit, aucun facteur du numérateur ne s'annule en même temps
que [/ i — x^-, |/ 1 — k^x^.
On a ensuite pour x = D,,
l™ y(.-D.)=li,„^^-li„Mre^= -M»^" -°£'^' -'''°'> (2)
(I) On n'a pas encore, que nous sachions^ démontré ce théorème d'une manière générale avant d'avoir cherché les facteurs eux-mêmes. Nous dirons plus loin comment Abel et Jacobi évitent la considération du degré de multiplicité des facteurs du numérateur et du dénominateur de y, de 1 — y, etc. La plupart des autres auteurs n'ont guère réussi sur ce point aussi bien que ces illustres géomètres.
quantité qui n'est pas infinie. Tout facteur du dénominateur est donc un facteur simple. Soit de plus y rationnel en x', alors,
■^<^-°-' = ""p(.;'-mr(x-D.)-
Nous venons devoir que pour x^=D^ cette expression n'est pas infinie; elle
n'est pas nulle non plus, car le numérateur ne contient pas le facteur (x — D,),
puisque y est réduit à sa plus simple expression. L'expression (2) n'étant pas
nulle, on n'a pas
, 1 D, =±1, ou D^==t-,
autrement dit, aucun facteur du dénominateur ne s'annule en même temps
que \/\ —x\ ]/[ —k^x\
Il est facile de voir que cette dernière remarque ne peut être étendue au cas où y est irrationnel.
Nous verrons plus loin qu'il existe pour les fondions y \ — y'^, |/i — l^y'^ des propriétés analogues à celles qui sont démontrées ici pour y.
25. Classification des transformations. — Soit £ = 2K. On aura x = 0, î/ = 0 et
^^ = 2/>L -t- 2r/L'|/^ p et q étant des nombres entiers. Par suite :
K = M(pL -t- q\]y—\)
De même K'j/I^ = M(p'L + (^'L'/mT).
On déduit de là, en posant, n=pq' — p'q,
q'K — qK'i/—i , , pK'l/—i — p'K
ML == ^ i— il , ML'i/ — 1 == f- — ^ ^ — .
Dans les transformations que nous considérons, p, q, p', q', n'ont pas des valeurs quelconques : ces nombres doivent être tels, par exemple, que pour x=oo, y= oo, ou ty = 0 etc.; de là un moyen de classer les transformations d'après la parité ou l'imparité de p, q, p', q'.
Soit £ r=: K'i,/' — 1 =M{p'L -^ q'L'y" — 1); x = oo ; si //= oo, il faudi'a que l'on ait p pair, q' impair, et si y/ = 0, que p' et q' soient pairs (I, 9, 42).
Soit £ = K = M(pL + qL'l/ — 1); x==ï. Soit p pair, on aura y = ±l[qL'i/ — I)=3 0oii oo (I, 9, 12), selon que q est pair où impair. Donc a; :=^ i annule le numérateur ou le dénominateur de y. Mais d'après le n" 24 cela ne peut arriver que dans les transformations irrationelles. Donc, dans les transformations rationelles, on doit supposer j? impair. — D'autre part, dans une transformation irrationelle, si le facteur 1 — xn'est pas au dénominateur, y est nul pour e = K ou x ~ le = 1 , à cause du facteur [/ 1 — x^ du numérateur : on ne peut donc pas supposer p impair, car, si cela était, on aurait :
y = l{pL + qi'^/ZT) = ± /(L -H qV]/^^) = ±l ou ± l^'
selon que q est pair ou impair. Si 1 — x- est un facteur du dénominateur, ;(/ = 00 pour £=K ou x = 1 , et on démontre comme plus haut que p est pair. Les transformations rationelles sont donc caractérisées par p impair, les irrationelles par ^ pair.
Nous avons par conséquent à considérer quatre classes de transfojunations, d'après la parité ou l'imparité de p et de q' :
\° q' impair, p impair, n impair : transformations rationelles où y= oo pour X ==■ oo. 2" </' impair, p pair, n -pair : transformations irrationelles où y = <xi pour x= 00. ù° q' pair, p impair, n pair; transformations, rationelles où ,y = 0 pour x= oo. 4° ^' pair, p pair, n pair : transformations irrationelles où y = 0 pour x = oo.
Dans toutes ces transformations, p est pair, ce qui est digne de remarque, et on peut supposer q pair ou impair. Il est facile de s'assurer d'ailleurs, que, si e = K -t- K'j/ — 1 ou x = lr\ on n'a pas î/ == 0 ou y = 00, dans le cas des transformations rationelles, ce qui est d'accord avec le n" 24 ; que dans le cas des transformations irrationnelles on a toujours, au contraire, y=0, ou y = <x pour cette valeur de e, comme cela doit ètre(l).
Les relations entre K, K'j/— 1, L, L'|/ — i, prennent des formes simples, en supposant l'un de ces quatre nombres;), p', q, q' égal à l'unité
(1) Une classification des diverses transformations fondées sur la parité et l'imparité de Pj 'h P'-i 7' se trouve dans Briot et Bouquet, § 213, p. 2.!)0. Elle est applicable aussi aux transformation irrationelles.
et deux autres nuls. On trouve que cette hypothèse donne les relations suivantes entre K, K'(/ — 4, L, L'j/— 1.
