I-"" classe : p = n impair ou q' = n impair

K = M«L et K'|/^^ --= ML'/^^l ou K = ML et K'/— ^=M«L'|/— ^•

â"^" classe ; p = n pair

K = MwL et K ' /^^ = ML' |/^^. 5'"'' c/fl-sse : g' = n pair

K = ML et K ' (/^^^ = MnV j/^HT. 4""= classe : p' = n pair

K = ML'/^^ et K ' [/^ = «ML .

Les cas particuliers où n = 2 sont remarquahlcs, parce qu'ils conduisent à la plus ancienne transformation connue, dont les travaux de Richclot ont montré toute l'importance (1).

S6. 3Iocle de détermination des valeurs de y, p/l — if, \/l — l^y^. On a y =0 pour £, = M(2ftL + %L'i^'^\) (,/4— 2/2 = 0 pour £2 = M [(2a + 4 ) L -V- 26L' /^^] |/d — lY = 0 pour £. = M [(2a + i )L 4- (26 -h 1 )L'^/^^] y^ l/l—y\ i/l—iy- ■= 00 pour £, = M [2aL -»- (26 + 1)L'/^]

Les valeurs £j, £3, £5, £^ peuvent s'exprimer au moyen de K et K'y — 4, grâce aux relations

K = M (joL H- q\.y^^) K' /^=^ = M [p'h + 7'L' J/'^^)

11 en résulte que l'on aura, si le problème de la transformation est possible ,

(1) Voir rhitroduction, p. 15, note 2. La transformation simple de quatrième classe correspondant à K = ML'|/— \ , et K'\/—i = iùïL n'a pas encore été étudiée spécialement.

On examine dans chaque cas particulier de combien de valeurs distinctes sont susceptibles les expressions /'^Sj, A'^c,, A'^c., A'^ô^, lorsque a et b reçoivent toutes les valeurs possibles; ensuite au moyen de la théorie des fonctions qui prennent la forme -, on détermine les exposants h^ et h^. Pour

trouver m, 1n^ , m,-,, on donne à s des valeurs particulières. Dans plusieurs cas, on pourra trouver de la même manière les valeurs de I ±1/, \±ly. Quand il s'agit des transformations simples dont il est parlé au numéro précédent, on est conduit, en opérant ainsi, d'une manière très naturelle à la valeur de ?/, de j/l — y^, et de (/l — Py'^. La détermination des valeurs distinctes de lz^, }e.,^, As^, Is^ est même plus simple que dans le problème de la multiplication. Cela provient de ce que toutes les valeurs de £j , Sg, £3, s^, que l'on doit considérer, sont des multiples de l'une

d'elle aux constantes près K, K-hK'j/ — i, K'(/ — 1.

Les transformations générales jouissent d'une propriété correspondante qui repose sur un théorème d'arithmétique que nous allons maintenant démontrer (1).

27. Démonstration d'un théorème d'arithmétique. — Si les quatre nombres p, q,p', q' n'ont pas de diviseur commun, l'on peut trouver un nombre R, tel que, si Von pose

Z=p —qR Z'^p'—q'R les nombres Z et Z' soient ])remiers entre eux.

Supposons que, pour une certaine valeur de R, Z et Z' aient un diviseur commun d^ , et soient

Z=p — qR = iid, Z' = p' -^ q'R = f/'rf, (1 )

(1) Jacori Fundamenta, § 20, p. 56 et Abel I, XII, n» 42, p. 251 ont donné cette propriété pour les transformations de la première classe ; Sanio l'a étendue à celle de seconde et de troisième classe. Comparez aussi Abel, I, XIII passim, XXI ch. IV; § 7, p. 590. Mais ces géomètres ne s'occupent guère, d'une manière générale, des relations qui existent entre les périodes de x et de y. Kônigsberger, die Transf., § 22, p. 68, envisage au contraire la question sous ce point de vue, comme cela était nécessaire dans un exposé de la théorie de la transformation par les fonctions 9. C'est à cet auteur, § 21, p. 6S, que nous empruntons l'important théorème du n° 27.

on tire do là :

Zr/' — ZV/ = pq' — p'q --= n = d^ {(J.q' — u.'(j) ;

n est donc divisible par d^. Tous les nombres Z et Z' qai ont ainsi un diviseur commun rf, , seront dits appartenir à la classe 1. Si les diviseurs premiers de n sont (/,, d^... du, on peut imaginer h classes correspondantes de nombres Z, Z' non premiers entr'eux; on place dans une seule classe ceux qui auraient deux ou plusieurs diviseurs premiers communs."

Si deux nombres Z et Z' appartiennent à la classe \, on ne peut pas supposer que q et q' soient divisibles à la fois par d^, car des équations (1) résulterait que p et p' seraient aussi divisibles par t/j, ce qui est contraire à l'hypothèse que les quatre nombres entiers p, q, p' , q' n'ont pas de facteur commun. Supposons donc que l'un des deux nombres q ou q', q par exemple, ne soit pas divisible par//, et considérons deux nombres Z, et Z, appartenant à la classe \ ; on aura

Z, = p — </R, = p-i^j Z^=p — f/R, = uj,

Z,-Z,=Vy(R,-RJ = (p-, — p.,]f/,

la différence R^ — R, doit donc être divisible par d^. Ainsi tous les nombres R relatifs à une même classe 1 satisfont à la congruence :

R = Rj (module rfj

R, étant l'un de ces nombres, si q n'est pas divisible par r/,. Si c'est q' qui n'est pas divisible par d^, en partant des égalités :

Z', =;/ — r/R, =f/'//, Z'^=p' — q% = iJ.'J^

on arrivera à la même conclusion.

Il résulte de là que tous les nombres R donnant des nombres Z et Z' non premiers entr'eux sont déterminés par les h congruences :

R = R, (mod. f/,) R = Rg (mod. rfg)

R = R/. (mod. rf/i)

Il suffit de trouver un nombre R qui ne soit compris dans aucune de ces classes pour que, substitué dans p — qli{, p' — ^'R, il donne deux nombres premiers entr'eux. Il en sera évidemment ainsi du nombre R

satisfesant aux h congruences suivantes, incompatibles avec les précédentes R = R, H- 1 (mod. d,) R = R2+1 (mod. rfj

R = R/. -1-4 (mod. ch]

Il est clair que l'on peut toujours trouver un nombre R satisfesant en effet à ces h congruences. Le théorème est donc démontré. — On peut démontrer un théorème analogue sur les formes pR — ç, p'R — q'.

Lorsqu'on a trouvé un nombre R donnant deux nombres premiers Z et Z' on peut en trouver une infinité de la manière suivante. Posons

Z, = Z dr qn=p~q{R =f. n), Z\ == Z' àz q'n =^p' — ry'(R =p n)

on déduit de là :

Z,f/ — Z'ig = n

Tout diviseur de Z^ et Z\ diviserait aussi n, et par conséquent Z etZ'; ceux-ci étant premiers entr'eux, il en résulte qu'il en est de même de Zj et Z'j. Dans les formes p — qR, p' — q'R, on peut donc remplacer R, par R-4-WW, m étant un nombre entier quelconque, sans que les nombres ainsi obtenus cessent d'être premiers entr'eux.

Voyons dans quel cas R est pair ou impair. Dans les transformations de première classe (p impair, q' impair) n est impair, R et R + ?i sont de parité différente; par conséquent R peut être choisi indifféremment pair ou impair.

Dans les transformations de troisième classe {p impair, q' pair), on doit supposer R pair quand q est impair, car autrement Z et Z' seraient tous deux pairs. Si q est pair, on peut prendre R pair ou impair à volonté. Soit, en effet, u = 2"a-, a- étant un nombre impair. Considérons deux nombres Z^ et Z'j, tels que

Z^ — Z ± q ■ T = p — q {R± <7) Z\— -Z'dr r/'<7=p'— r/(Rzpcr) On aura

Tout facteur commun de Z,, qui est impair, et de Z'^, qui est pair, diviserait t et par suite Z et Z' ; mais Z et Z' sont premiers entre eux ; il en sera donc de même de Zj et Z\ et on peut remplacer dans les formes

p — ^R, p' — q'R, R par R + ma, sans que les nombres ainsi obtenus cessent d'être premiers entre eux; u étant impair, il en résulte que l'on peut supposer R pair ou impair. Si «r est égal à l'unité, toute valeur de R donne deux nombres premiers entr'eux Z et Z'.

Dans les transformations irrationnelles {p pair), on doit prendre R impair, autrement Z et Z' seraient tous deux pairs.