Si nous posons
ZK'/^^l — Z'K
on pourra exprimer ML etML'y — 1 en co f/e la manière suivante : ML=Fwh-GK + HKV— ^ (2) ML'|/'^=F'm4-G'K + H'K'i/^ (3) F, F', G, G', H, H' étant des nombres entiers.
Eu remplaçant dans l'expression de w, que nous venons de donner, K et K'|/ — 1 par leurs valeurs en L et L'[/ — 1 , il viendra
co= -iZip'L -t- ^'L'/l)Z'(pL + qV\/—i)l
= Ë I L(Z|y - Z» H- lV^tt (Z./ z'(/) I
d'après les valeurs de Z et Z'. Donc
w = M(LR^-LV— ')• Substituons cette valeur dans la relation (2) après y avoir remplacé K et K'[/ — 1 par leur valeur en L et L'[/ — 4, il viendra :
ML = FM(LR + L'/^^) + GM(pL -t- qL'[/^^).-^ im{p'L + g'L'|/^^ relation qui est vérifiée si l'on a
d = FR -4- Gp -t- Hp' 0 = F + Gq -t- liq' (4)
En éliminant F entre ces deux équations, on trouve
i=G{p — ryR) + U{p' — q'R) ou 1 = GZ + HZ' (5)
Puisque Z et Z' sont premiers entre eux, on saura trouver d'une infinité de
manières, des valeurs entières de G et H qui satisfassent à (5); puis l'équation (4) donnera une valeur entière pour F. On a ensuite :
ML'j/— 1 =- « — RML = « (1 — RF) — RGK - RUK'\/— 1 . Ainsi l'égalité (5) est vérifiée par les valeurs entières :
F' =-- 1 — RF = Gp -h Ep' G'= — RG H'= — RH
Le théorème énoncé est donc démontré.
L'égalité (o) donne lieu à une remarque utile. Soient G^ et Hj des solutions de cette équation. Toutes les autres sont données par les relations
G =G^ — Z't H = H, -+- Zt.
Si Z et Z' sont impairs, l'un des nombres Gj ou Hj sera pair, d'après la relation (o); en faisant t impair G sera de parité opposée à Gj, HàHjj en outre si G,, par exemple, est pair, en prenant t pair d'une manière convenable, G sera divisible par 4. De même, si Z' est pair, t impair, Z et G sont impairs, H de parité opposée à Hj; si ï est pair et choisi convenablement, H, étant pair, H sera divisible par 4, Enfin si Z est pair, t impair, Z' et H sont impairs, G de parité opposée à Hj ; si t est pair et choisi convenablement, G^ étant pair, G sera divisible par 4, En résumé, dans tous les cas, l'un des deux nombres G ou H est pair ou impair à volonté, et lorsqu'il est pair, il est divisible par 4 ou non, à volonté.
29. Formes de ML^ ML'(/ — 4, en co, K, K'(/ — \ dans les différentes classes de la transformalion. Les équations qui servent dans la détermination de cette forme, quant à la parité ou l'imparité de F, G, etc. sont les suivantes :
Z =- p — qR, Z' = p' — f/'R, 1 =- GZ -+- HZ'
— F = Gg -4- Hf/', F' = i — RF = Gp + Hp' G' = — RG 11'= — R H
trouvées précédemment. Nous allons montrer, par un exemple, comment on emploie ces équations. Soient p, q, q' impairs, p' pair (premier cas des transformations de première classe). Si R est impair^ Z et Z' seront
respectivement pair et impair d'après les deux premières équations; la troisième équation prouve que H est impair; quant à G, il est pair ou impair; F sera impair ou pair, F', G' pairs ou impairs selon que G sera pair ou impair, II' sera impair, d'après les quatre dernières équations. La discussion est tout aussi facile dans le cas où R est pair, ou quand on fait d'autres hypothèses sur p, q, p' q'.
Nous allons donner ceux des résultats obtenus de celte manière qui nous serviront dans la suite. Dans le tableau suivant, les lettres latines représentent des nombres pairs^ les lettres grecques des nombres impairs.
Transformations de première et de seconde classe [q^ impair)
ML = (pco + </K + /]K'[/ — 4
ML'i/— 1 = /■'« -4- ^'K + y]'K'i/— 1.
Dans les transformations de première classe {p, q' impairs)
si q est impair, R = p, Z = z, Z' = 'i
si q est pair R = p, Z = l, Z' = ^'.
Dans les transformations de seconde classe {p pair, q' impair) si q est impair, R = p, Z = ^, Z' = i'
si q est pair R = p, 7j = z, Z' = ^.
Tranf'ormations de troisième classe {p impair, q' pair)
si q est impair, R = r ML == cp &j -+- y K -+- /tK'j/ — I
Z = l, Z' = z ML'(/^ = cp'w -t- gf'K + h'K.'[/— i .
si q est pair, R = r ML = foi -h 7K + liKy — 1
Z =- H, Z' = z ML'/^^= (p'm + f/'K -H h'Hy— l .
Transformation de quatrième classe (p pair, q' pair, q impair)
R = p ML = cpw -4- 7K -t- hK'[/— 1
Z = ^, Z' = z ML'/^ = /'« + /K + A'K'/^^
