CHAPITRE II

TRANSFORMATIONS RATIONNELLES OU y DEVIENT INFINI EN MÊME TEMPS QUE X

(p, q' impairs, n impair).

§ I. Première transformation : q impair {^).

A. Recherche des formules de la traiisformatioti en la supposant possible.

30. Détermination des valeurs de XjS, p-jS, v^s en supposant que le problème est possible. On a (n" 29), n^ étant la valeur absolue de n,

R = p , nw = zK'(/^^ — ^K, ML = cpw -+- ^K -+- riK' \/^

Miy — 1 =f co + ^'K + n'K'i/^

l{e-\- 2n^oi) = A (£ ± 2zK' j/^ rp 2^K) = — h

|u(s -H 2n^co) =fz(£ ± 2rK'|/— ^ =F 2^K) = — pis

v(£H- 2«,w) = v(ô=b 2zK'|/--'l ^2^^)= ^- D\iprès (I, 9-12)

l^z=0 pour £ = e^ = M (2aL + 26L'i/^) =2a'K+26'K'/— ^ -+-««

fA^£ = 0 » £ = £,=M[(2a-i-'l)L + 26L'(/^ =2a'K+ (26' + l)Ry^-+-(ra)

£ = £^=M[(2a + 'l)L + (26 + 'l)LV^] = 2a'K+26'K'|/^^ +t7w

£ = £^ ^ M [2aL + 1(26+1) L' [/^] --- 2a'K + (26' + 1 )K' i/^T+ sco

a et 6 désignant des nombres entiers quelconques, s un nombre pair, cr un nombre impair, a' et 6' des nombres entiers pairs ou impairs dépendant de a et 6.

Réciproquement, si a' et 6' sont des nombres quelconques, s un nombre pair, l^e sera nul pour £ = 2a'K + 26'K' j/— 1 + .sw car cette expression est égale à

M (Lp + L'/— f)] + 2a' [m (pL + çL' l/^] + 26' [m (p'L + q'V /^] == M(2aL -f- 26L' j/^)

On trouverait de même en supposant s un nombre pair, <t un nombre

^15 P-15 V,£=ÛO

(1) Nous examinons en détail ce premier cas. Mais, dans les suivants, nons laisserons de côté tout ce qui présente une entière analogie avec celui-ci.

impair, a' et 6' des nombres quelconques, que p-^s, v^z s'annulent et que /,s, y.^^, v,£ deviennent infinis pour les valeurs indiquées plus haut.

En ajoutant à ces valeurs la quantité nulle lK—zK'\/' — i + noi on trouve

p., [ (2a'-t- 1)K+ (26' + 1) K'|/^ + s«] =0 Vj[(2a'-i-i)K+26'K'|/^ -+-Sfo]=0

A,, p, ou Vj[(2a'-+-d)K + (26'-»-'I)K'i/^ -Ht7M] = oo

s étant un nombre pair, ir un nombre impair, a' et b' des nombres entiers quelconques.

On conclut de ce qui précède que Pe prend la forme :

À^(sw) ou >.-(K + va) quand l^^ = 0

À^ (Ry'~r + 76)) » l^K + K' /^^ + sm) » p-,£ = 0 À'^((7w) » /^(K -V- sw) » Vje = 0

>,2(K'l/ — l+.sw) » À2(K -t- K'j/ — 1 +<Tw) » Aj£, p,je ou Vj£=oo

et réciproquement à ces valeurs de À^e correspondent toujours celles qui viennent d'être indiquées pour l^e, fXj£, v^e.

On déduit immédiatement de là que y est de la forme

On doit chercher toutes les valeurs de s qui donnent des facteurs différents au numérateur et au dénominateur, ces facteurs étant finis. On ne peut pas faire s = 0, car cela donnerait un facteur multiple au numérateur et un facteur infini au dénominateur. Il est inutile de supposer .s>Mj, car, si s = %^^ — s', s'<^u^, OU a

^2 (s^) ^ A2(2njW — s'w) = A2 [± {^zK'[/^^l — 2^K) — s'w] = 1^ (s'oo)

On prouve, comme dans la première partie, que toutes les valeurs de s inférieures à n^ donnent pour X^(scù) des valeurs distinctes. Au dénominateur s doit recevoir les mêmes valeurs qu'au numérateur ; on peut le voir directement, ou le déduire de l'égalité (I, 15)

— 8o — La valeur de y est donc

ï.e= mlîP £:rr = mleP ^, = nûs? ^ '

s recevant toutes les valeurs paires inférieures à n^.

On peut trouver la valeur de 4 — y'^, et celle de 1 — /-«/^ de la même manière que celle de y, ou bien les déduire des valeurs de d -+-?/, 1 — y, i -^ ly, 1 — ly. Nous allons chercher 1 — y'^ en considérant cette expression comme le produit de \ -h y par i — y, puis nous dirons comment on peut trouver 1 — l-y"^ d'une manière directe. Cela inontrera avec quelle facilité la méUiode suivie ici donne immédiatement ces diverses fonctions.

Les valeurs de i -t- y, et de 1 — y seront rationelles en x et auront même dénominatçur que y; il suffit donc de chercher leur numérateur. Or A,£ = =t:l, quand Iz est de la forme )(K + K^ — I h- sw), puisqu'on doit avoir pour la même valeur de s, ^.^6 = 1 — l^'^e = 0. Soit d'abord

£= K H- K'|/^^=M[(p -i-p')L ■+ {q + q')Ly~[] == M [{p + p'—i)L + (^ + q')L'i/^ -i-l] on aura

que nous représentons dans ce numéro par c. Ensuite, soit

£ = K -+- K'j/^ -^ soi = K -t- K'j/^ -h sM(Lp 4- L'(/^3i) ;

il vient >iS = c( — 1) =±c.

Si s est divisible par 4, on trouvera -+- c, sinon, on aura la valeur — c. Si on donne à s des valeurs égales et de signes contraires, on arrive aussi à des résultats égaux mais de signes contraires pour >j£.

Les facteurs du numérateur de 1 — c l^z sont donc ceux du produit suivant

( l — làz) P [le ± À (K + K' /~i + *co)]

le signe -h dans l'expression )£±>>(Kh-K'^ — i-HSw) étant employé quand s n'est pas divisible par 4, le signe — dans le cas contraire; le premier facteur 1 — kle correspond à s = 0.

Chacun de ees facteurs est à la seconde puissance dans l'expression cherchée, sauf le premier. En effet, si i — kle=0, on a

4 — C>,£ , 1 ,. a.e v,£ , 1 ,. ^,£Vi£ v,£ . ,n -

'■» 7i:âr= ^ fi ><'■■" IT ^ i - ^ »>< ''™ mM^ >^ ,7=''"''"'''^ «"'•'•

Soit Iz — >£j l'un des autres facteurs. On a, pour £ = £j :

l —Cl.e , 1 ,. W.E v,£ , 1 ,, — )i,£v,£ v£ ..,/,.

lim .- -i- =rt- X hm -i-i— X -^==fc- X lini. ' ' x — = quantite finie.

(le — >£J2 M >£ — >e^ piev£ M Mp£v£ p.£v£

On conclut de tout ce qui précède la valeur de 4 — cl^e, puis celle de 4 M-c>.j£ et de ^t-^z :

Hâ i

Ih — ).2 (K + K'i/— 4 -f- .sw) ,u.j£= m, vc P —

Dans ces expressions, s reçoit toutes les valeurs paires inférieures à n^j le signe des seconds membres a été obtenu en remarquant que pour £ = 0, le premier est égal à l'unité.

On trouve, par un raisonnement analogue :