l\£ = {—i) 2 w,(4-»-À£)P L H- V Ji
>2£>2(K-4-Sw)
Si on avait cherché directement v^£, qui est rationnel en >£, on aurait trouvé que son numérateur contient tous les facteurs du produit
(4— ).2£)p[).2e),2(K+sw)] Il est facile de prouver que chaque facteur, sauf le premie**, entre au second
degré dans y-t. On trouve, en effet, des limites finies pour les expressions
et
pie >£ ± > (K -+- sw)
quand le dénominateur s'annule.
31. Détermination des constantes m, w,, m^. M, l, l'. — Pour trouver ces constantes nous allons donner à e diverses valeurs particulières. Nous avons déjà vu, en fesant e = K'|/— 1 (n° 23, A), que
Nous avons ensuite (n° 23) pour s = 0, s == K ou M(pL + qL'\/—i) et £ = K -t- Ky'^^ou M[(p -i- p')L -i- {q + q')Ll/'^^](i).
iMim ^ = i = m . P ^^ = m^i-^ PX^M (2)
^(-Ij'^.r^P^ÎMl^' (ô)
On tire de (2), (5), (4) les valeurs suivantes qui vérifient d'elles-mêmes l'équation (1).
)>2(s&))v2(6Cû)
(1) Nous employons très souvent les formules complémentaires (I, 13-21), mais nous croyons inutile de désigner chaque fois laquelle de ces formules nous donne la transformation indiquée dans le texte.
Soit encore £ = K'y — 4 et s = 0 dans p-j£ ; on aura (n" '25)
Donc
/2 (K + K'/— 4 + sw) ^ \^ (sm) v'- (sr.)) 2° 4-=miP î^ '-—.m.V •■ ^ '^
A2(KV—'l -+-««) f"'!^")
Donc ^ M.^(sw)
).?(sco) v2(so))
En comparant ces deux valeurs de m,, on trouve
Or îij = d= [pq'' — 'p'q); si l'on prend le signe supérieur : p +/)'-*- q' — Wj — 4 ==p-\'p'-hq' — pq'+p'q — 4 =(p— 4)(4 — 9'')-'-p'(9' + ^) si on prend le signe inférieur :
p+p'+q' — w, — l^^p+p'-i-q'-i-pq' — p'q—\ =(j3H-4)(4+g')+7/(4 — (/)-»-2.
Le premier de ces deux nombres est divisible par 4, le second ne l'est pas. Donc n doit être positif pour que la transformation soit possible^. Soit fait^ dans la valeur de fx^s, s = K = M(;9L -h qL'i/ — 4] ; on aura :
d'où, en remplaçant / et m^ par leur valeur
Pour trouver m^, on fera a = K'|/— 4 , ou £ = 0 dans la valeur de
v,£; on trouve :
4 ^ v'^(.sm) m„=-r— P ^ ^
^"-* X2(sw)p.2(sw)
(1) Ce théorème n'a encore été démontré que par la théorie des fonctions 9, Konigsberger, § 8, p. 22.
En fesant s =K -4- K'(/ — 1 dans p-,£ et VjS, s = K dans UjS, on retrouve sous une forme un peu différente, plusieurs des formules précédentes.
Les valeurs des constantes sont réunies dans le tableau suivant, où chacune d'elles est mise sous plusieurs formes différentes dont l'équivalence s'établit au moyen des formules (I, 45-21),
îr
A^ (sm) v2 (.sco) ^ ' A5(sm)
'' )>2(.sw)v2(sw) >2(S&>)
;y l = (.!) . (l)P^-j(jj) =M) ' (p) Pf.'(K+K'/-l+s»)
32. Âutî^e forme des valeui's de y, \±y, \±ly, |/ 1 — rf-, \/ \ — /^?/^. — Nous allons transformer les valeurs de ces fonctions au moyen des formules (I. 25-29). La formule (25) donne immédiatement
>,8==.m).8P^^^j^,^-^^^^^,,^=m^-^P).^(s«)x).eXP>(s« + £)À(s«-£)
Mais, d'après une remarque faite au commencement de ce chapitre,
/(.s« — £) = — X(£ — sw) = -h Afe -H (2n — s)ij>]
on peut donc écrire :
À,£ ;= mk"-'^ P >.2(sw) P ).(£ -+- 2Tw)
T étant un nombre entier qui prend toutes les valeurs depuis 0 jusque n—i. On peut encore remarquer que
/(£ -I- 2T«) = — )(£ -+- 2To) -+- 2/?,w) ;
si 2T n'est pas divisible par 4, 2T -+■ 2;i le sera ; on peut donc ne laisser que des facteurs de la forme l{e ■+■ 4Tw) dans la formule et écrire
^^e = (— 1) ' mh-' P 1%sm) P >(e -i- 4Tm). On pourrait dans ces formules remplacer mk"'~^P'k'^{sM) par
L'expression de ),,£ est la seule dont nous nous servirons dans les numéros suivants, mais on peut trouver de la même manière les valeurs de i ±/j£, i de i\^z, Uj£, Vj£ :
1 ( 1)—^). ,-„riJ'^'^''^^^''^ ^l-feM^-^^Tco)
(sw) v-{.sw)
(sco) V* (sw)
4 + (,i)-^>.^,pi^^!^^i;r^i^=P
^v(£ + 2Tw) ^v(£-+-4T&))
w-(sw) p.^(sa))
[/^ (SW) fA^ (sw)
V ^-{ .n?P>"(^-^^Tco) p(£ + 4Tco)
Dans les facteurs où entre le double signe, on doit choisir le signe supérieur ou inférieur selon que T est impair ou pair.
B. Vérification de la solution.
33. Détermination de iJ.^e, •J^z en supposant ^jS connu. Nous avons trouvé les valeurs de 'k^£, fXj£, v^e, en supposant que le problème de la transformation ait une solution. Pour vérifier cette solution, nous allons considérer 'k^^ ou y comme une expression algébrique, et en déduire j/l — y^, et j/ 1 — l^y^ ; nous verrons que ces fonctions sont égales aux valeurs
trouvées pour u.^^ et v^s, pourvu que les constantes m et / soient déterminées par les conditions
y = { — 4) ^ l si x = 'l, ou t = K
y = {—i) 2 = c si x = /r 1 ou £ = K -t- K'|/d .
D'après ce qui précède, on ne peut pas faire d'autre hypothèse sur la valeur de y pour e = K et s = K -t- K'|/ — 1 .
Avant de chercher les valeurs de |/l -— y^ et j/d — Ihf nous démontrerons quelques propriétés de l'expression
* "^ As — /2(Ky — 1 + sw) ^ ''
Il est évident d'abord que y = 0 pour s=0, et y = oo pour s=:K'j/ — 1. Ensuite 4w est une période de y et de -^ . En effet
, „, , X (e -+- 4«co) ^ > (e -4- 4mco) ),^(£4-4w) = m'.P->(£-4-4Tw)x -^— ^ = >.£X -^-r ^=^,£
aE A£
En prenant la dérivée logarithmique de y, on trouve
dy__ y{t -h 4Tco) 5£~^ >(£ + 4Tw)
S de'signant le signe sommatoire ordinairement usité. Si, dans le second membre, on change e en £ -f- 4w, y ne change pas, la somme augmente de
)/(£-^4hm) ^'£^ >i (e 4- 4nco) le
c'est-à-dire qu'elle ne varie pas; 4m est donc une période de -j- ; d'ailleurs
on peut conclure ce théorème sur -f de cet autre qu'une fonction et
rt£
sa dérivée ont toujours les mêmes périodes.
Cela posé cherchons la valeur i — l^e. Cette fonction est rationelle en ),£. Soit D le dénominateur P [).% — >2(K'|/irï + sco)] de l^e, N son numérateur, qui est premier avec D ; on aura
D — cN N.
Il est elair que Nj sera premier avec D, et de même degi'é que N, c'est-àdire de degré 7i en le. Les facteurs du produit
P[lz — X(K + K'(/^^ H- 4aw)]
seront tous facteurs de N,, car par hypothèse pour e = K -4- K'[/ — 1 ou a: = A;-', ri^=c, et 4w est une période de i/ et de 1 ±' y. On prouve aisément que les facteurs distincts du produit précédent sont compris dans l'expression :
(4 — kki)[lz =b >(K -+- K'j/^^ -^ s»)]
où s a la signification ordinaire, le signe supérieur correspondant aux valeurs de s qui ne sont pas divisibles par 4, le signe inférieur aux autres. Cherchons le degré de multiplicité de chacun de ces facteurs et d'abord du premier. Pour cela, voyons qu'elle est la limite de
\—kx ^ '
pour £ = K H- K'[/ — 1 ou x=k'K Cette limite sera finie ou nulle selon que 1 — kx sera une ou plusieurs fois facteur de i — cy mais elle ne sera pas infinie. Or, cette limite est égale, à un facteur constant près, à celle de
^ )/(£ + 4Tm) dy dy dx A (e -t- 4T&))
dx rfe ' dz y.z • vs
Au dénominateur v£ =n v(K h- K'j/ — 1) = 0; pour que l'expression (1)
ne devienne pas infinie pour £=K-t-K'(/ — 1, on doit avoir y^=0;
comme y n'est pas nul, il en résulte aussi
^/'(£ + 4Tco) ^ ^^ ^, y
S T7 TTir- =^ 0 pour e = K h- K'/— i ;
— et S sont nuls aussi pour s = K -+- K'[/ — I 4- 4«&> puisque 4w est une dz
période de ^ , et de S. Nous déduisons de là le degré de multiplicité de dz
chaque facteur de 1 — cij. En effet soit >.£ — Iz^ un facteur de cette expression, différent de 1 — kle; on trouve pour s=^^
dy
hm :^ i^ = — c hm ■ —
At — /8j p.£y£
si e^ = R -4- K'j/ — i -I- 4«w, le dénominateur n'est pas nul, (a n'étant pas égal à un multiple de n), le numérateur, au contraire, est égal à zéro; donc le facteur correspondant entre au moins deux fois au numérateur de 1 — cy. On en conclut que
[h rfc A (K-4- K'/— i +sw)]'
Ah—r-{K'\/—i-i-s(^)
car, si on suppose un autre degré de multiplicité aux facteurs du numérateur, ou d'autres facteurs dans ce numérateur, ou bien l'on va à l'encontre de ce qui vient d'être démontré, ou bien le degré de ce numérateur devient supérieur à n.
On trouve de la même manière
[>.£=pA(KH-K'j/— 4 -^swff
et par conséquent
Ih — /^ (K H- K'[/^^ + ,sco)
,/ 1 - 3/^ = ± m,.eV ,.^,.^i^yzri^s^
Nous avons mis le double signe devant le second membre, parce que, si l'on se place au point de vue purement algébrique, rien ne détermine ce signe. Mais nous savons que, s'il y a une solution du problème de la transformation, on doit prendre le signe + puisque pour e = 0 il faut que |/ 1 — y'^ se réduise à -+- 1 , de même que i ± y-
En suivant une marche analogue à la précédente, on démontre que i d= ly, |/ 1 — l'^y^ ont précisément les valeurs trouvées à priori pour 1 zfc Aj£, Vj£. On a d'ailleurs
dz >■(£ -+- 4Tco)
quand £=:K; théorème analogue à celui qui a été trouvé plus haut, cl
qui pourrait au besoin s'en déduire, comme on le verra dans le chapitre V, à l'occasion d'une recherche semblable.
La recherche des constantes ni, m^, ni^, l, l' se fait comme dans le cas où l'on cherche \^z, p.jS, -J^^ à priori. On trouvera donc les mêmes valeurs que précédemment (1).
34. Vérification de la solution. — Nous emploirons la méthode d'Abel(2), Nous poserons
dy tv
V dx v^
■1 ± ij = »j., (1 — kx) — 1 ± ly = )n„{\ — x) —
1 zp y =r m^ (1 -t- kx) — 1 zp ly = wî..,(1 — x) ■
u, V, t, t', t", f", w étant des polynômes en x de degré oi, n — \.
, — , , %i — 2. En dérivant la valeur de 1±m, on trouvera
w = t-io'
w' étant un polynôme entier. Il résulte de là que t divise w, et il en est de même de t', t'', t'" ; t, t', t", t'" étant premiers entre eux, le produit tt't"t"' de degré 2n — 2 divise aussi iv qui est de même degré; le quotient est donc une constante. Cela posé, on remarque que l'on a
dy te dx i dx
j/(l 2/2) (1 /y) m^m^tt't"t"' j/(i x2) (1 A;V) M' p/(i ^2) (^ /^.v)
(i) Nous aurions pu éviter la considération de la multiplicité des facteurs de 1 dr y, ou 1 ± /y, en déduisant de ces expressions la valeur de y, au lieu de suivre la marche
inverse; on n'a pas besoin, dans ce cas, du théorème S = Opour e = Ket £ =: K -+- K'|/ — 1 . C'est la méthode suivie par Jacobi, mais elle n'est pas applicable à toutes les transformations, et les auteurs qui se sont occupés des cas laissés de côté par Jacobi et Abel, ont presque tous admis sans démonstration rigoureuse que l^Z^ fA,e; "^i' n'ont que des facteurs simples.
(2) Abel, OEuvres, I, XII, n» H, p. 25o ; XIII, 265. Ce mode de vérification nous semble surpasser en élégance et en simplicité, dans les cas des transformations rationnelles, même la belle analyse de Jacobi.
M' étant une constante. La valeur de cette constante est d'ailleurs celle que l'on a trouvée pour M. En effet, on a :
1 dy\/{l—x^){[ — /cV")
M' "" dx ^/(l y2)(j ^2^2)
Or pour X = 0, on a (n° 51)
1 ,. dy y i
— - = lim ^ = lim - = — .
M dx X M
§ II. Seconde transformation : q pair.
85. Transformation générale. La seconde transformation ressemble tellement à la première que nous pouvons omettre les raisonnements et les calculs qui s'y rapportent et ne donner que les résultats. Nous ferons remarquer en outre que c'est cette transformation qui est étudiée avec tous les détails nécessaires dans les Fundamenta de Jacobi. Dans le cas actuel, nous supposons ;
R = p ML = t^oi + gK -h TiK' ]/— l
im = IK' [/^^— ^'K ML' [/"^ =/•'« + (/'K + /l'K' |/^^ On trouve :
\,e =mlzP ^^
^îhA— 'P),^(sa))PÀ(£ +- 2Tw) = »!.Â;"-^ n^soi)Vl{e -i- 4Tw)
r-{Ky—\+S(.^) — lh , I±U£+2Tco) , ^^d— )-(£ + 4Tco) p.^ (.sw) .u-"' (sw)
lh—lHK-^S(ù) , a(£ + 2Tw) , . a(£-t-4Tw)
p+pr-^l
4 + (— 1) 2 A ,£= m^ (1 + kls) P
d — ( — 1) ^ a^z = m^{^ — kle)P- î^ — '^ ^
i±:lù{e-i-^T(ù) i~).(£ + 4Tco)
[).£ rp > (K -+- K' |/^ + sw)]2
lqp/a(g-t-2Tco) i-^)>(£ + 4TM)
^>'£— >«{K+K'l/^^-t-sco) , .,!!zi^v(£+2Tw) v(£-+-4Ta;) v.£ = m,v£P ^ ^ -=-^ 2 P ,/ , ^-P .,, /
Dans les expressions précédentes quand un facteur contient un double signe, on prend le signe supérieur ou le signe inférieur selon que T est impair ou pair.
La détermination des constantes vi, etm^ conduit encore à cette conclusion importante que n doit être positif. On trouve d'ailleurs que les valeurs des constantes sont les suivantes :
>.2(,sw)v2(sco) ).2(.sw)
La vérification de cette solution se fait absolument comme dans le cas
précédent.
Remarque. Une comparaison, même superficielle, des formules trouvées dans les deux transformations examinées dans ce chapitre, fait voir qu'elles
sont dans un rapport intime. Il serait facile de prouver que la seconde peut se déduire de la première, par une transformation de premier degré, obtenue en fesant ii = i dans celle-ci ; mais nous croyons pouvoir laisser de côté ce qui rapporte aux relations qui existent entre les diverses transformations, parce que cela ne se rattache pas assez à notre objet, qui est l'étude directe de ces transformations.
36. Transformations simples. C'est à la transformation que nous venons d'étudier que se rattachent les cas particuliers les plus remarquables. Soit, d'abord, K=-MnL, K'f/^^ML'j/^^, p = n,q=^0, p'=0, q' = 'i; r = 1 ; il viendra :
Cette valeur donne la première transformation réelle de Jacobi {k <^l). Soit, en second lieu, K = ML, K'j/^ == nMV[/— 1 , p = l, q = 0, p' = 0, q' = )h r = 1 ; on trouvera
CO = 1 y. K
n Cette valeur donne la seconde transformation réelle de Jacobi (1).
