CHAPITRE III

TRANSFORMATIONS IRRATIONNELLES OÙ IJ DEVIENT INFINI EN MÊME TEMPS QUE X

(p pair, q' impair, n pair).

^ I. Première transformation : q pair.

37. Détermination des valeurs de à^s, ptj£, v^zeti supposant le problème possible. Nous supposons dans le cas actuel :

R = p ) ML = cpw -+- gfK -t- y)K' j/ — 1

(i) Les transformations de ce paragraphe sont celles dont on s'est le plus occupé. Voir l'Introduction historique, n" 11-13.

On aura donc, en appelant 7l^ la valeur absolue de n,

>.(c -t- S/ij'w) = h, p.(£ -t- 2^ljW) = p.£, v(£ + 2»jW) = V£.

On trouve, comme dans le chapitre précédent, que l'on a respectivement

),,£ = 0, y.j£ = 0, V,î = 0, Ajô, p-ji ou Vj£ =00

seulement dans le cas où, a étant un nombre quelconque, l'on a :

ou ^'^£ = 1%K'\/-^ + ^H-

La valeur de Xj£ sera donc de la forme

. , À2£ — >£(2aw)

A £ = mlcazvz P -====^

A2e X2(K'|/— 1 -t-2aa))

On verrait encore comme plus haut, que 2a ne doit avoir que des valeurs positives non supérieures à 7^; on ne peut pas supposer non plus a = 0, parce que le numérateur contiendrait un facteur double et le dénominateur un facteur infini. Au numérateur on ne peut pas donner à 2a la valeur n^, car le facteur résultant /.^£ — 1 s'annulerait en même temps que p.£, ce qui serait contraire au n° 24. Au dénominateur, à cette valeur ni de 2a corres-

pond le facteur 'jH — ji ou — t^ • On conclut de la que

Aj£ = — .;h/c"— ^— P-

s désignant comme dans les cas précédents un nombre pair compris entre 0 et n^.

On prouve encore sans peine que les facteurs du numérateur de fj.f£ sont ceux du produit

P [ah — A£(K/(/^ -+- tm)] ,

(j désignant un nombre impair compris entre 0 et ll^. Le degré de multiplicité de chacun de ces facteurs est égal à deux. Soit en effet £j=K'p/ — 4 H-t7co; on aura

lim ., ■ = lim , quantité fanie.

La limite de u-t : Qs — Is^)' est donc finie. En extrayant la racine carrée de la valeur de p.-£ à laquelle on est ainsi conduit, on trouve

m, „ ).% — V^(K'|/^rT + aw)

u.^^ = P -=zzz

vî )2£ );2 (Ky — 1 -t- SW)

De même, v.s = -^ P

).2£ — }.2(K'/— '1 + Sm)'

d'où l=^p ^ '

Si on remarque que n est pair et que

im + IK~ zK'\/^ = 0

on verra que l'on peut remplacer, dans les valeurs de }.^s, pj£, v^e, sm et c-w, par soi ■+■ K, et o-m + K.

On peut encore donner à l^e et à v^s : u.^^ une autre forme qui nous sera très utile. On a, en effet, (I, 25)

).j£ = — WA:«1P ■ )>2(SW) X — X P>(SW + £)).(SW — £)

or,

).(£ + ,<^w)=A(£±;^Ky^qz^K) = (— 1) ^ ^(£ + K)=(— i) ^ ^'

yl(.sw — £) = A[£-+-(2;ii — s)w]

le signe supérieur correspondant au cas où n est positif, le signe inférieur au cas contraire. On tire de là :

l^s = — {—A) ^ »iÂ;"«Pr^(sco)P>(£ + 2Tw)

T étant un nombre qui prendra toutes les valeurs de Okn^ — 1 inclusivement.

On trouve de la même manière :

!ii ==!^2 it"iP).n^co)P>[£ -4- (2T + 4)w]

On peut introduire dans les dernières formules

Pp.(£ 4- 2Toj) , Pa [£ + (2T -»- 1 ) w]

Pour le prouver, remarquons cfue l'on a, d'après ce qu'on a vu précédemment :

lH — l^s(ù) Ih — l^K-t- sw)

l^e ^2 (i^' |/Zn + soi) r-e — r-{K' [/'^ + sw)

et par suite (I, 2S, 26)

P). (s co -^z)\ (sw — e) X Vv- (sw) = Pu (sco -t- s) p. (sw ~ s)

formule qui pour s = 0, donne

P).2(.s«)=:Pi i__^.

Mais,

/ (sM — £) = )> [s -+- (2/? 1 — s) w] , p. (sco — e) = — p [c -H (2'« 1 — s) w]

et A-')i£)(£ + MjW) = ( — ']) 2 p.sp.(£ -t- w,w);

d'ailleurs (— 4) " '=(—!)'•

Donc, /c'PA (£ + 2Tco) X Pv' (sc^) = (— i ) ^ Pf/ (s + 2T w)

De même :

PA[£ 4- (2T + l)w] X Pv^(ffw)=(— l)^Ppi[£ -i- (2Ï + 4)w]