PA^M = P

On peut donc remplacer les produits en ). par ceux qui contiennent fx. Mais il est impossible de faire la même substitution au moyen des produits analogues en v, car ils sont constants. On a, en effet,

v(a 4- Wjw)va = ( — \)^k'

En fesant a = s, z -\- 2m, t + 4m,... s + [n^ — 2)w,

puis, a = £-t-w, £ + 3w, £ + 5a),... £ + («j — l)co

et multipliant les égalités aussi obtenues entr'elles, on trouve :

Pv(£ 4- 2Tw) = (— \)~ k'~^ puis, . Pv[£ + (2T + '!)&)] = (— 1) ^ k' ^

Ensuite, en fcsant a = — 2co, — 4w, ... —{n^ — 2)w et a = — w, DM, — ow.,. — (;ij — l)w,

Pv2(.so)) = (—']) ' A;'' , Pv2(^w) = (— 1) 'A:'' .

3S. BéterminaUQii des constantes. Nous ferons, comme dans les cas précédents, £ = 0, £ = K, £ = K-4-K'j/ — 1, £ = K'î/ — 1. Mais, en outre, nous supposerons que £ = w pour déterminer l' et prouver que n est un nombre positif.

Les substitutions £ = K'j/— 1 et £ = 0 donnent (n" 25, 13, E, F, A)

M = -~{-~'l)' ml m^^{—\)^'mk^ >/,,= ( 1) ' mlâl

M~ ' ' ' À2(,s(o) - k"i-2 A2(,so)) };2(^w)

D'où, w = - — '0 Pr^

M= (—'1) ' /c">pr^(,s»)):^(<7«)

/ ^ (—'!)■ A"iP).i(sa))

Les substitutions £ = K, £ = K-f-K'j/ — 1 ne donnent pas de relations différant essentiellement de celles que nous connaissons déjà. — Pour trouver /', nous ferons £ = w=M(Lp-i-L'j/ — 1) dans p.j£. Il viendra

d'où /y-i=j '^ A'MPA^.scoP- — r^^-rrr—.

Substituons aussi 03 dans la seconde forme de ^,£, et fesons £ = 0 dans la seconde forme de Vj£ : l^.^e. Il viendra :

(—4) '' - = (4) - mA»iPr^(sw)P>(2ï + 4)w

4 = -^ A» 1 P).2 (^w) PÀ (2T + 4 )w

En divisant ces deux égalités l'une par l'autre, il vient :

L'exposant de ( — 1) dans le second membre doit être divisible par 4. Or, p — 1 -h^-Hi +(/'— i -+-/ = p — 1 -\-p' — q'p -H p' = ^p' -+- (</' — 4)('l — p) = 4a p— 1 -t-^— 1 4-</'— 1 -+-7y = 4rt— 2

On doit donc prendre le signe supérieur dans ^±i, c'est-à-dire, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, que n est positif (i).

39. détermination des valeurs de l^e, y.^s, v^z au moyen de celle de VjS : lJ.^^. Soit

d'où y^

af £ 1 — y^ îr — P

fj(ji]

On prouve, comme dans le cas précédent, que u"^, et par suite y^, ne change pas quand e augmente de 2m. Supposons que y^ s'annule pour £ = 0 ; on déduira de cette hypothèse que le numérateur de y"^ contient seulement les facteurs du produit

le{l—lH)P[lH — P{so^)]

Cherchons maintenant la limite de y'^ : (1 dr le) pour ).£= db 1 ; cette limite sera nulle ou finie selon que 1 db ).£ sera un facteur multiple ou simple de if. Or cette limite, à un facteur constant près, est égale

à celle de

dy^ „ 2if/'-^ dic

de «2-/2 dz ^

Jlais p-£ = 0 quand 1 ± ).£ = 0, et u^ = i ; donc, puisque la limite ne doit pas être infinie, il faut que

— = 0 pour £ = K et par suite pour £ = K -t- !2aw c'est-à-dire pour toutes les valeurs qui annulent y.

(1) KoNiGSBERGER, § 8, Semble ne démontrer ce théorème que pour les transformations rationnelles ; mais il est évident que sa démonstration s'étend à tous les cas, et non pas seulement à ceux qu'il considère dans son ouvrage.

Si le — ^sy est un facteur différent de i =fc le, on trouve, à un facteur

constant près, que la limite de y : (le — k,) est égale à celle de — : y-eve,

qui est nulle. Ces facteurs entrent donc au moins au second degré au numérateur de tf. Ce numérateur est égal, à un facteur constant près, à

jk^sPp.^e — A2(.sw)]j2;

car le degré de ce produit est égal à celui du numérateur de y"'^ calculé au moyen de tt^, et, par conséquent, on ne peut supposer ni que le numérateur contienne d'autres facteurs que ceux que nous avons indiqués, ni que ceux-ci aient un autre degré de multiplicité.

Supposons maintenant que y soit infini en même temps que x. On en conclura que le dénominateur de y^ contient tous les facteurs du produit

( lcn.h) P [),2 — ).2 (K l/^^ -\- soj)]

En cherchant la limite de — : (1 ± kle), nous trouverons que

du j

— = 0 pour £ = K -H K'j/ — 1 -4- 2aro

puis en prouve, comme plus haut, que tous ces facteurs sont des facteurs doubles à l'exception du premier. Le produit

1 vsP {)H ~ ).2 (K' j/^Il" 4- .sm)] Î'^ étant d'un degré inférieur d'une unité à celui du numérateur, est égal au dénominateur cherché de y^, à un facteur constant près; car, s'il y avait un facteur en \e de plus, on n'aurait pas ?/ = oo pour \e = oo . On peut donc écrire

y = — mk^ -î- P î^ — ' ■

^£ ),% — r2(sw -t- kV— ^)

Pour trouver 1 — ^/"^ et 1 — Ihf^ nous poserons ^^ = U : V,

V = vH P \kH — l?{^m + K'/HT)]''

U et V seront premiers cntr'eux, ainsi que V — U et Y — /'^U ; par conséquent, on aura, à cause de

V— /2U = mi P [).'^£ — ).-((Tw)]^;

— \0i — d'où, pour 1 — 1/^ et 1 — l'^jf, les valeurs précédemment assignées, puisque V — U V Ml

i-!f==^, i-/y = L iH.

Les constantes m, m^, m„, l, V se déterminent comme on l'a vu dans la recherche à priori de >>,£, {/,£, v^s.

40. Vérification de la solution. Nous emploirons la méthode de Jacobi. Soit

u i/l — x^-ii' ^dy du dv w

u' désignant le polynôme p[à-ô — ).^(K'|,/ — 1 + sw)J de degré n — 2, (/ un polynôme premier avec v' de degré n — 1 , w un polynôme de degré 2w. On a ensuite, a étant constant,

U $^(i;^ a?u^) —~ -^(v' - «'«') = w '"'' = it; wV .

Soit câ = \, V^ — U^ sera le numérateur de p.jj, dont tous les facteurs en x sont au carré; ils se trouvent donc à la première puissance dans la dérivée Je -,j2 — a^îf'2^ et par conséquent, d'après l'égalité précédente, dans wu'v'. Aucun ne divisant u' ou v, ils se trouvent dans w, qui est donc divisible par l/t;' — ii^- En fesant a = / on prouve de même que w est divisible par ^^2 — /2,jf2 . comme le produit [/v- ~ u^ X ^^i'" — l'^n^ est de même degré que ip, il en résulte que

w : j/(u2 — m2) (|;2 /2,^^2«) ^ jyj/-^ ,

Or, -^ = , . ' , =

j/(l y2) (1 ly) p/(y2^^2j (i;2/2^(2) ,/(4 x2) (1 — A'V^)

d dx

Pour déterminer M', fesons x = 0 dans la valeur obtenue pour cette constante au moven de l'égalité précédente. On aura, d'après le n° 58,

1 ,. dAi |/l — x-i/l — Px2 ^. dAI ,. V 1 —, = lim -7^ = lim — = hm -- = —

M' dx y/i J.2 t/i p. yi dx X M

41. Transformation simple. Une transformation simple se rattache à cette transformation générale. Pour l'obtenir, il faut faire p = n, q = 0, p' = 0, ç' = 1 , r = 1 . Alors,

= MwL, K'i/— 1=ML'|/— 1, 03-= ^ =K'|/— 1-i---

Abel a le premier indiqué la valeur de )>j£ dans cette hypothèse et en a déduit la transformation de Landen{l).

I II. Seconde transformation : q impair.

42. Ce cas ressemble tellement au précédent que nous nous contenterons de donner les formules qui s'y rapportent. On trouve encore que n doit être positif.

ML = (pc) -4- (/K + y]K'ï/ — 1

nu = lny— 1 — S'K, ML'i/— 1 = fco H- ^'K + /l'K' [/— 1

).£v£ lh — X^{s(ù)

Wc "iâ- -^2

iH—r-{Ky—[ +s«)

wio

IH — l^aa)

(1) Sur les transformations de ce paragraphe, voir l'Introduction historique, n» lâ-l-^. La transformation du § suivant n'a pas encore été étudiée directement parce qu'on peut la déduire de la précédente.

A^ [son)

r ^ ' p.» 1— /i;n2o)>.2(sw)

On pourrait, comme dans les cas précédents, mettre ces formules sous plusieurs formes.