CHAPITRE IV

TRANSFORMATIOiSS RATIOIVINELLES OU y s'ANNULE QUAND X DEVIENT INFIM

(p impair, q' pair, n pair).

§ I. Première transformation : q •pair.

43. Valeur de l^z, f/jS, v^z déterminées en supposant le problème possible. On arrive comme dans les cas précédents aux formules de la transformation. Dans les produits où entre A^, on peut remplacer sw et tcj par sw -+■ K'j/'' — 1 et (7w + K'j/ — 1 . Voici ces formules :

R = r 3IL = /« -H vK + hK' |/^^

nw = ^K' [/^^—zK ML' |/^ -= '/« + //'K + /('K' j/^^

).(£ + 2«jW) = /£, p(e -t- 12>?,«)= — p-S;, v(£-+-2w,w)= — vî.

U,S = 'm,U£vS P — —r-, ;

p.,£ m, p£v£ A% — A^(K-+-sw)

>,f m Is )r£ — )2(.sco)

4-(-1)'^>.s ^ - m, (1 - ),£) [1 - (- 1 )? /as] P ^^^^ - ^(^ -^ ;^)]^

., ^ (-1)=? V = - », (1 - >.) [1 - (- .)'«-'] P^^^^ïg^

>,£ ~ m )-£ >2(.sm) — :X2£

i-C-i) '^ /).,£= ^"^P-^iTz:

[>g>(K-V-CM)P

^2 (cw)

K^S — r^(crw)

Plusieurs des expressions précédentes peuvent s'écrire au moyen des produits de la forme Pa(s + 2Tw), Pp.[s -4- (2T -f- 4)co]. Mais, avant de donner les formules auxquelles on est ainsi conduit, nous chercherons la valeurs des produits analogues en 1 et en v, qui nous donneront des relations utiles. On a (I, 6, 13)

).(£'H-«,œ) = ),(£'±^Ky— 1 qzzK) = {—i)^- — - = {—i)

kl{—e') ^ ' k-X{—-e')

En fosant s' = — *« — s, s' = — o-w — 2, puis, s = 0, et s =^ K'(/ — 1 , il vical

PMs + (rco)À(.co-£) = (-4) '^ '-^ — =(-4)^ '^^

p À^ (sw) = )»3, P l"" (^m) = (— 1 ) '^ -^

On tire encore des mêmes formules

On trouve ensuite, en se servant de quelques-unes des formules précédentes et de la relation

yH — A^{K-\-SM) __ ^% )^2(K + K'/--T+ SCO)

P V {s +■ 2T w) = (— 1 ) ^"^ ~'^ ("^ "^0 p p (£ H- 2Tw)

P v[£ + (2T + i)&)] ^ ( 4) 2 Va -• ; p ^,^j ^ (2x -+- i) w]

Il résulte de là que si p.j£ : >,£ et y^£ peuvent s'exprimer au moyen des produits en f/, ils peuvent aussi s'exprimer au moyen des produits en v, mais non au moyen de ceux en 1. Ces fonctions peuvent d'ailleurs s'exprimer au moyen des premiers produits, car

l^^nh p£ p >■'£ — r-jK-h soi) ^ m, ^^ ^^ ^ A^(.sm)