HO

Pour obtenir / on fait î = K -+- oo dans /,£, ce qui donne la valeur suivante que l'on peut transformer de diverses manières :

7 = (—'!) mMK-^(yî)^r:^ { r~; — ~

l ^ ' ^ ' /^(K + CO)— )>2(crM)

Enfin, en fesant s =-■ oi dans p.,e : A, s, et e = 0 dans VjS, mis sous forme de produit de facteurs de la forme p.(£ -+■ 2T6i) etc., il vient, après quelques réductions,

z + ^+l+p'+p + t p'—q'r+p + l — qr+p'+p + i

égalité qui n'est vraie que si l'on prend le signe supérieur de ± i ; donc n doit être positif.

45. Vérification de la solution. Nous déduirons la valeur des diverses fonctions y, \/ \ — r/, etc. de l'égalité

Il résulte immédiatement de cette égalité que \ ±ly, et y \ — Ihf ont la forme qui leur a été assignée; ensuite que y ne change pas quand £ augmente de 2m, enfin que y et \'à=y s'expriment rationnellement en le. Nous supposerons y = 0, pour x = 0, ou s == 0, Il en résulte que le numérateur de y contient les {n — I) facteurs de

Si on suppose que y —- 0 pour x = oo , comme le dénominateur de 1 =h ly et de y contient n facteurs du premier degré en x, il en résulte que y n'a pas d'autres facteurs au numérateur que ceux que nous venons

d'indiquer.

Soit y = [- — i) pour £ = K; on trouvera encore la même valeur pour £ = K -t- ,s&). Tous les facteurs trouvés précédemment au numérateur de

\ — ( — 4) ^ l^e sont donc dans celui de 1 — ( — i) ^ y. Il reste à prouver que leur degré de multiplicité est le même et qu'il n'y a pas d'autres facteurs. Pour cela désignons par 4 -\-jx l'un des deux facteurs 4 — };£,

pT p—i

4 — ( — 4) ^ klz; la limite de [4 — (—4) ^ y] : [4 -\- jx], quand 4 '^jx=0

sera finie ou nulle, et égale à un facteur constant près à celle de

dy dy

dx de

Or ^.evz = 0 en même temps que i-i-jx; donc -^ = 0, quand 1 + jx = 0. Mais -~- ne change pas quand s augmente de 2ro. Par conséquent, si le — le^

est un des facteurs différents de 1 -^ jx trouvés au numérateur, pour £=zz^^ on aura

^j dy

>e — el^ p.sv£

Chacun des facteurs h — le^ est donc au moins un facteur double. On ne peut pas supposer un degré de multiplicité supérieur à ces facteurs, ni qu'il y ait d'autres facteurs, ni que les deux facteurs 1 + jx soient à

une puissance supérieure à la première, sans que l'on ait 1 — ( — 1) ^ = °° pour a; = 00 , ee qui est contraire à l'hypothèse y = 0 pour x = oo . Ainsi 4 =t y, l/l— 2/^ ont la forme assignée précédemment. D'ailleurs, on cherche les constantes comme dans le cas où l'on opère à priori.

La vérification de la solution par substitution dans l'équation différentielle peut se faire très simplement par la méthode d'Abel donnée dans le second chapitre(l).

46. Transformation simple. Si on fait p=^\, q =0, p' = 0, q' = n, r ^=: 1, on trouve la valeur suivante de w, qui conduit à la dernière transformation simple qui ait été étudiée.

K'[/—i-^nK „ K']/—\

(1) Voir sur celte transformalion et celle du paragraphe suivant l'Introduction historicjue, n»^ 13 et 14.

I II. Seconde transformation : q impair.

47. Voici les formules qui se rapportent à cette transformation; n est encore un nombre positif.

R = r ML = cpw + yli -+- hK' [/'^

noi = IK j/— \ —zK ML'j/^^ = ^'w -+- ^'K -4- /('K'j/— 1

/ (c + 2nw) = ).£, p. (ô -4- 2/i«) = — y.c , V (t + 2y?rj)) — — vs

>ij£ == m^zP

Ih — A2 (^w)

^IH — PiK-i-soi)

Vj£ = WgP^VcP

X2£A2(aC0)

^ l^s m^lt IH — I^{sr^) ~^ '[ m p.^

2Tw)

I— (-ri) 2 />^£ = ,»,(1— )£)[!- (—I)U").£]P

l^(l)V^),^,__,„^(l>e)[i+(i)^a£]pP""^'^^"^'''^]'