PÉRIODICITÉ

1. Jean Rernoulli (1667-1748). Les premiers géomètres qui s'occupèrent de calcul intégral appliquèrent ce puissant instrument à la quadrature et à la rectification des courbes. Jean Bernoulli compara les arcs de parabole dont le nouveau calcul avait donné la longueur au moyen de l'aire de l'hyperbole (c'est à dire des logarithmes (2)), et quanta l'ellipse et à l'hyperbole, il remarqua que leurs arcs ne pouvaient être exprimés qu'au moyen de séries infînies(3). C'est dans les écrits de ce grand géomètre que l'on trouve le premier germe de l'une des démonstrations les plus belles et les plus simples du théorème de l'addition des fonctions elliptiques. Il montre en effet, comment l'intégration par parties peut conduire, avec la plus grande facilité, à l'intégrale algébrique de l'équation différentielle

dx dy

il indique les conséquences de cette propriété pour la multiplication et la division des espaces circulaires et hyperboliques, autrement dit, des fonctions trigonométriques et exponentielles, et ajoute que l'on peut probablement généraliser ces résultats (^). Il ne paraît pas toutefois qu'il soit parvenu aux propriétés analogues pour les intégrales elliptiques.

(1) Nous désignons avec Jacobi sous le nom Je fonctions elliptiques les fonctions inverses des intégrales étudiées par Legendre. Les fonctions et les intégrales elliptiques ont des propriétés corrélatives comme les sinus et les arcs sinus. Dans ce paragraphe, nous traduisons la plupart des propriétés des intégrales elliptiques en propriétés correspondantes des fonctions elliptiques. Ce procédé ne donne pas une idée parfaitement exacte de la manière dont on considérait cette théorie au XVIII^ siècle, mais il fait mieux voir la marche ascendante de la science.

(2) Acla eruditorum, 1698; Opéra, f, 2^2. Cf. Leiunitii et -Joii. Bernoi'llu, Commercmm philosoj)hicum et muthematicum (Lausannae et Gencvae, Bousquet, 1743); F, 166,203, 352, etc.

(3) Commerc, I, 15 et passim.

(■i) Commerc, I, p. 59-60. Conipaiez ce que nous disons ci-dessous de Lagrange.

2. Fagnano(I) (1682-1766). Le premier « un mathématicien italien doué d'une pénétration extraordinaire, le comte Fagnano, » dit Lejeune-Dirichlet, parvint à des résultats remarquables dans le domaine de la théorie des fonctions elliptiques. En étudiant la lemniscate, il fut conduit à s'occuper do l'intégration de l'équation différentielle :

du , dx ^ A i- 4

[/ i -i- kif \/ 1 + Ax*

Il découvrit plusieurs intégrales algébriques particulières de cette équation, ce qui revient à dire qu'il trouva quelques cas particuliers de l'addition des fonctions elliptiques de module 1/2. Il en déduisit l'addition, la multiplication et la division des arcs de lemniscate par des équations algébriques. Il prouva ensuite que sur une ellipse ou une hyperbole on peut assigner, de diverses manières, deux arcs dont la différence est rectifiable; théorème connu sous le nom de théorème de Fagnano, beaucoup généralisé depuis, et qui est au fond un cas particulier de l'addition des intégrales elliptiques de seconde espèce. Enfin il ramena la rectification de la lemniscate à celle de l'ellipse et de l'hyperbole, résultat remarquable dont la raison est que l'arc de cette courbe s'exprime au moyen de la première intégrale elliptique seule, l'ellipse au moyen de la seconde et l'hyperbole au moyen des deux (2).

3. Maclaurin (1698-1746), D'Alembert (1717-1785), Riccati (1707-1775). Maclaurin fut le premier après Fagnano qui entreprit de ramener des intégrales transcendantes aux arcs de sections coniques. Dans son traité des

(1) Poggendorf cite de lui : Metodo per mesurare la lemniscala (Giorn. de Lett., 1718), Produzioni matematic/ie, 1750. 31ontucla dit que ce dernier ouvrage se compose de mémoires insérés longtemps auparavant dans les actes de Leipzig et les journaux italiens. On a donc tort de citer parfois 3Iaclaurin et d'Alembert comme s'étant occupés les premiers d'intégrales elliptiques. Les ouvrages de Fagnano sont introuvables; nous en parlons d'après Legendre, Montucla, Lejeune-Dirichlet et Plana. — C'est de Poggendorf que nous extrayons la date de la naissance et de la mort des géomètres qui se sont occupés de la théorie des fonctions elliptiques.

(2) Voir pour la démonstration ou l'extension du théorème de Fagnano : Mémoires présentés par divers sav. ac. de Paris, t. III (Bezout et Bossut) ; Cauchy, Applications du calcul infinitésimal, leçon 23, ou Moigno Cale, int., leç. Il ; Veruulst, Traité élémentaire des fonctions elliptiques (Bruxelles, Ha.ycz, 184:1), § 33, p. 70; Graves, Translation of Chastes 's Memoirs on cônes and spherical conics, p. 77; JIaccullagh, Diélin Exam. Papers, ISi'l, p. 41 ; 1842, p. 68, 83; Chasles, Comptes-rendus, XVII, p. 858; KiippER, Crelle, 63, p. 40; Gilbert, Bulletins de l'Ac. de Bruxelles, 2'"« série, t. 9, n" I.

fluxions, par des transformations habiles dont il garde le secret, il effectue un certain nombre de ces réductions; il prouve, entre autres choses, que le temps, dans le mouvement du pendule, est donné par un arc d'ellipse, et que les arcs de sections coniques peuvent servir à construire l'ordonnée de certaines courbes dont on ne connaît que l'équation différentielle, comme la courbe élastique (1). D'Alembert montra le chemin qui avait probablement conduit Maclaurin aux réductions exposées dans son ouvrage, et en découvrit lui-même un grand nombre d'autres par une méthode plus systématique (2). Le P. Riccati étudia avec soin aussi quelques intégrales de ce genre (3), Mais, comme le fait remarquer Legendre, ces nombreuses intégrations n'étaient pas reliées par une règle générale qui permit devoir dans quels cas on pouvait être certain d'arriver à réduire l'intégrale donnée aux seuls arcs d'ellipse et d'hyperbole.

4. EuLER (1707-1783). Euler, avec son esprit systématique, reprit, coordonna et compléta tous les travaux de ses devanciers. Il ramena un grand nombre d'intégrales aux arcs de sections coniques et exposa d'une manière plus simple les théorèmes connus antérieurement sur ces courbes et sur la lemniscate. Mais son principal mérite est d'avoir trouvé le théorème de l'addition des fonctions elliptiques. Ce furent les travaux de Fagnano qui le mirent sur la voie. Il découvrit d'abord l'intégrale générale de l'équation différentielle dont Fagnano n'avait donné que des solutions particulières; puis, considérant des cas de plus en plus compliqués, il parvint à l'intégrale générale algébrique de

^±:~ = 0 fx = i/Ax^ + Bx^ H- Cx^ -f- Dx -+- E

fy fx

(1) Traité des Fluxions, traduit par le P. Pezenas, jésuite (Paris, Jombert, 17^9), t. II, no 798 sqq., p. 223; n» 886, p. 282; n» 927 sqq., p. 513.

(2) Mémoires de Berlin, 17^6, 17^8; voir aussi Mise. Soc. Taurin, t. IV.

(5) V. Riccati, S. J. opuscula (Lucae, 1737-1772), t. II. — On peut rattacher à ces recherches de Maclaurin, D'Alembert, Riccati et à celles d'Euler, des recherches analogues, mais beaucoup plus approfondies, qui sont dispersées dans les recueils de Crelle et de Liouville, dans les archives de Gruncrt; les Philosophical transactions, les mémoires de l'Académie de St-Pétersbourg; mais les mémoires sur ce sujet sont tellement nombreux que nous devons renoncer à les faire connaître. Nous devons aussi laisser de côté, pour la même raison, les applications de la théorie des intégrales elliptiques à la géométrie de la mesure.

Il en déduisit le moyen de trouver celle de

dz ndx

fz fx "~

n étant un nombre entier.

Pour simplifier l'exposition des conséquences de cette intégration il

imagina la notation suivante :

Ç dx

l'intégrale étant prise depuis une valeur déterminée, zéro par exemple.

Il pouvait ainsi représenter de deux manières distinctes les intégrales des

équations précédentes, algébriquement ou bien au moyen des relations

transcendantes :

ny±nx = C, uz±nnx = C.

Si Euler eut songé à regarder x comme fonction de nx, il serait probablement arrivé à maints résultats trouvés soixante ans plus tard par Abel et Jaeobi. Mais il n'effectua pas cette inversion des intégrales elliptiques; et par suite il ne parvint pas à trouver la valeur algébrique de z en x pour w quelconque : sa méthode ne lui donnait cette expression que par un calcul de proche en proche dont la loi semblait inextricable. Il pressentait toutefois toute l'importance de cette loi « Cœterum cognitio hujus legis ad incrementum analyseos maxime esset optanda » dit-il; « hinc enim eximias proprietates circa integralia az cognoscere liceret, quihus scientia analytica haiid mediocriter pi'omoveretur » {Cale, ùit., n''616). Il remarqua encore que les valeurs de z pour trois nombres consécutifs?! — \, n, n + l ont une relation assez simple, qui a servi à Abel dans sa solution du problème de la multiplication (1).

(1) Voir surtout Nov. Corn. Petrop., VI, p. 37-8S; VU, p. l-'iS, 83-162; VIII, p. 129-149; X, i-SO; Cale. int. (Pelroj). 1768), sect. Il, c. VI ; Act. Petr. 1778, simplification de la démonstration de Lagrange du théorème de l'addition ; 1780, sur les intégrales qui se ramènent aux arcs de sections coniques. — Plana, Mémoires de Turin, 2^^ série) t. XX, p. 290, remarque que les mémoires d'EuIer contiennent le théorème de l'addition pour les intégrales elliptiques de seconde et même de troisième espèce. Mais comme Euler n'a pas d'algorithme régulier pour les trois intégrales elliptiques distinguées par Legendre, les équations signalées par Plana n'ont pas dans Euler, la même importance que chez le géomètre français. — Une élégante exposition de la méthode d'Eulcr pour l'intégration de l'équation elliptique différentielle, due à Cauchy, se trouve dans le calcul intégral de Moigno, leçon 51, n" 192; au même endroit, voyez aussi la méthode de Richelot. — Lamé, Leçons sur les fondions inverses des transcendantes, leçon 4"'" donne aussi très simplement la méthode d'Euler ; conf. P. Mansion, Revue de l'Instr. publ. deBelg., 1868, p. 393.

5. Landen (1749-1790). Peu après qu'Euler posait les bases de la solution du problème de la multiplication des fonctions elliptiques, Landen trouva la solution la plus simple de la transformation. Dans un premier mémoire (') il exprima, au moyen d'un arc d'hyperbole, la limite de la différence entre un arc de cette courbe, compté depuis le sommet jusqu'à un point quelconque, et la tangente en ce point comptée jusqu'au pied de la perpendiculaire abaissée du centre, lorsque le point s'éloigne indéfiniment. La valeur de cette limite était supposée connue dans les travaux antérieurs de Maclaurin et de D'Alembert. Landen, au moyen de cette limite, trouva plusieurs résultats curieux, les uns touchant de près au théorème de Fagnano, les autres relatifs au mouvement du pendule, à la construction de la courbe élastique, etc. Mais dans toute cette partie de ses recherches, si on emploie les notations de Legendre, on reconnaît qu'il ne s'agit que de fonctions elliptiques de même module. Seulement, la fin du mémoire contient un théorème d'un genre tout nouveau, qui s'appuie non-seulement sur la connaissance de la limite dont nous avons parlé, mais sur une formule démontrée par Landen en 1768(2) et qui, écrite avec les notations actuelles, est :