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Ce théorème est le suivant : on peut assigner sur une hyperbole équilatère un arc mesurable au moyen d'un arc d'ellipse et d'un arc de cercle. Quatre ans plus tard, il arrivait par une méthode beaucoup plus simple, à un théorème général du même genre : un arc d'hyperbole d'excentricité e~^ peut être mesuré par deux arcs d'ellipse d'excentrités liées par l'équation :

autrement dit : on peut trouver une relation entre l'intégrale elliptique de seconde espèce de module e' , et les intégrales elliptiques de première et

{[) Philosophical Transnclions, 1771, n» 56. A disquîsiti'on concerning, etc., p. 298-509.

(2) Ibid., 1768, p. 174-180. A spécimen of a new method., etc. — Il est remarquable que les eulériennes aient servi à trouver une relation dans la Ihéoric des fonctions elliptiques. — Serret, Journal de LioiiviUe^ t. VII, s'occupe des rapports qui existent entre les eulériennes et les fonctions elliptiques.

de seconde espèce de module e (I). Lauden ne fit qu'un médiocre usage de sa belle découverte, faute d'un algorithme qui en fit voir l'importance. La réduction des arcs d'hyperbole aux arcs d'ellipse parut seulement curieuse, et Montucla crut qu'elle ne servirait en rien dans la pratique, parce que, dit-il, les séries qui servent au calcul de l'intégrale qui exprime l'arc d'ellipse sont quelquefois aussi peu convergentes que celles qui servent au calcul de l'arc d'hyperbole (2).

6. Lagrange (1736-4815). Le premier travail de Lagrange sur les fonctions elliptiques est un mémoire sur l'intégration de l'équation différentielle elliptique la plus générale. Il expose d'abord une méthode très simple d'intégration pour le cas où le radical porte sur une expression du second degré; cette méthode est identique à celle de Jean Bernoulli que nous avons signalée au commencement de cette introduction, mais Lagrange ne semble pas avoir eu connaissance de ce travail antérieur. II donne ensuite la méthode d'Euler et enfin une méthode nouvelle qui conduit à l'intégrale par une marche systématique sans aucune devination(3). Cette belle analyse lui attira les éloges les plus flatteurs d'Euler qui exposa et simplifia le nouveau procédé. Dans la Théorie des fonctions analytiques, Lagrange revint sur le théoi^ème de l'addition et découvrit une propriété remarquable des fonctions elliptiques, qui rattachent ce théorème à la trigonométrie sphérique. Cette propriété peut s'énoncer de la manière suivante : Si on considère un triangle sphérique dont les côtés satisfassent à la relation Fx -h Fy = Fz , F désignant la

(1) Philosophiml transactions, 1775, p. 285-290. Les auteurs citent aussi : Matheniatical Memoirs, p. 25 (1780).

(2) La transformation de Landen a été souvent appelée à tort transformation de Lagrange, entre autres par Ivory. Ce dernier (Ph. Tr.^ 1851); Verhulst, Théorie^ etc., § 121, p. 222; Baehr, Archives de Griiuert, t. XXXIII, p. 557-569, s'occupent des relations qui existent entre la solution de Landen et celle de Jacobi. — Cette transformation est étudiée géométriquement par Jacobi, Crelle, 52, p. 176 ou Werke, B. I, p. 557 ; Kiipper, Crelle, 55, p. 89. Enfin Richelot est parvenu à en déduire la théorie des fonctions 9. Voir son ouvrage : Die Landen' sclie Transformation in ihrer Anweîidung auf die Entwickelung der cUiplischen Functionen, Kônigsberg, 1868, ou le Traité élémentaire de Durège, ch. XIII et XIV. — AiiEL a donné le premier la transformation de Landen au moyen de la double périodicité. OEuvres, I, XIII, p. 268.

(5) Miscell. Taurin, IV (1766-1769), p. 98; OEuvres, II, 5-55. — Despeyroux, J. de Liouville, 1856, p. 251, a étendu la première méthode de Lagrange, déjà trouvée par Bernoulli, aux fonctions elliptiques. La méthode d'intégration de Lagrange se trouve dans

presque tous les traités de calcul intégral. V. Lacroix, II, p. -475, n» 692-696; Moioo, § 191

et les traités des fonctions elliptiques.

première intégrale elliptique de Legendre, le module de cette intégrale sera égal au rapport constant des sinus des côtés et des angles opposés. Lagrange déduisit de là une construction géométrique [sur la sphère du problème de la multiplication (I).

Dans un autre mémoire, Lagrange s'occupa du calcul approché de toutes

les intégrales de la forme / f(x,R)dx, R désignant un radical carré portant

sur une expression du quatrième degré, f une fonction rationnelle en x et R.

Il montra d'abord comment ces intégrales pourraient se réduire à la forme :

r Ndx

j y {a -t- bx^) {m -4- wx^) N désignant une fonction rationnelle de x^. Ensuite par un procédé très simple, il prouva que l'on peut transformer cette expression en la suivante :

J j/ (1 -t- py^) (1 -+- qy^) '

p pouvant être aussi petit que l'on veut, et q croître autant que l'on veut ou inversement. Le mémoire se termine par l'application de ce qui précède à la rectification approchée, dans tous les cas, des sections coniques. Ce mémoire, au fond, contient une solution du problème de la transformation pour les intégrales elliptiques, non seulement de seconde espèce, mais aussi pour celle de première et de troisième espèce, et la substitution de Lagrange est identique à celle de Landen. Mais l'auteur se préoccupe uniquement du calcul pratique des intégrales qui contiennent un radical carré portant sur une expression du 4"'' degré, au point qu'il ne remarque même pas, comme Landen, que l'arc d'hyperbole peut s'exprimer au moyen de deux arcs d'ellipse, quoique ce théorème et beaucoup d'autres soient contenus dans ses formules (2).

7. Legendre (17o2-18dd). « C'est la gloire impérissable de Legendre d'avoir reconnu dans les découvertes que nous venons de rappeler le germe d'une branche importante de V analyse » (Lejeune-Diiuchlet). Dès ses premiers travaux, il introduit un algorithme régulier pour représenter les

(1) Théorie des fonctions analytiques (2^» édition, Paris, 1815), ch. XI, p. HO sqq. Voir Lacroix, II, n" 709-710, p. 4-99 et les traités des fonctions elliptiques.

(2) Mémoires de Turin, I (1784-1783). OEuvret II, p. 235. Lacuoix, II, n» -423-427, p. 77.

intégrales elliptiques. Comme Lagrange, sans connaître les travaux de Landen, il retrouve ce beau théorème que l'hyperbole peut être mesurée par deux ellipses, ou plutôt un théorème équivalent, et, mieux que Lagrange et |Landen , il en voit la portée, non seulement pour le calcul numérique des intégrales, mais encore pour les progrès généraux de l'analyse. Dans le mémoire suivant, il reconnaît nettement que toutes les intégrales du genre de celles qui ont été considérées par Lagrange se ramènent à trois intégrales distinctes, pour lesquelles il propose les notations suivantes :

F{k,(p) = Ç — =^L__, E{k,rp)=Ç[/l — k^sin\ dcp Jo i/l — A;2sin2ffl Jo

I (1 + w sin^ 9) [/\ — k"^ sin^ 9

k est appelé le module, « le paramètre. Les découvertes antérieures se classent dès lors en deux séries distinctes. Les recherches d'EuIer, de Lagrange et de Legendre lui-même sur l'intégration de l'équation différentielle elliptique et sur ses conséquences, sont des théorèmes sur les fonctions F, E, n de même module et de même paramètre; celles de Landen, de Lagrange, et les siennes propres sur les rapports entre les arcs d'ellipse et d'hyperbole donnent des relations entre les fonctions F, E, U, où l'on suppose différentes valeurs au module (1). Pendant quarante ans, Legendre continua ses recherches sur les intégrales elliptiques et les consigna dans ses Exercices de calcul intégral et dans son grand Traité des fonctions elliptiquesi^). Il calcula des tables pour les fonctions des deux premières espèces

(1) Mémoires de l'académie des sciences, 1786, p. 616-644; 644 sqq. Il eut connaissance

du mémoire de Landen après avoir composé la première partie de son travail. Dans ce

. ,^ , dE .

premier essai, Legendre considère la fonction E et la lonction — - qui peut s exprimer au

moyen de E et F. — Mémoire sur les transcendantes elliptiques^ 1793. Première esquisse du grand traité.

(2) Exercices de calcul intégral (Paris, V* Courcier, 1811). Traité des fonctions elliptiques. 2 vol. Paris, Huzard Courcier, 182S, 1827. Le troisième volume parut plus tard, il contient trois suppléments consacrés aux recherches de Jacobi et d'Abel. La transformation de Legendre est exposée ch. 28-31 et additions. — En 1841, un belge, Verhulst, a résumé l'ouvrage de Legendre ainsi que quelques-unes des découvertes de Jacobi dans son Tr^aité élémentai7'e des fonctions elliptiques, Bruxelles, Hayez, 1841. C'est le premier ouvrage ou l'on ait essayé de mettre à la portée de tous, et les travaux de Legendre, et ceux de Jacobi. Le premier ouvrage analogue en Allemagne, date de 1861, sauf quelques essais dans les A rchives de Grunert.

et montra par de nombreuses applications leur emploi dans l'analyse. En outre, dans la partie purement théorique, il arriva à un grand nombre de vérités nouvelles dont quelques-unes touchant les intégrales de troisième espèce « sont dhin abord extrêmement difficile » dit Lejeunc Dirichlet. Cela provient de ee que Legcndre comme tous ses devanciers considère seulement les intégrales elliptiques au lieu de leurs fonctions inverses et que, par suite, la double périodicité lui échappe. Malgré les inconvénients de sa méthode, en 1825, il fit une découverte sur la théorie de la transformation. Il trouva une nouvelle solution de ce problème de la forme

sin ffi (m ■+- h sin^ rp)

sin w = -^ — ^—— ^ ,

i --H h sin^ 9

c'est-à-dire du troisième degré en sin (p; m et h ont des valeurs déterminées en k et on a :

dcô mdi])

[/\ — ce sin^ w (/'l — c^ sin^ 9

a et c étant aussi des fonctions connues de k. Cette découverte donnait des procédés nouveaux, en nombre infini, pour ainsi dire, pour calculer les tables de fonctions elliptiques. Legendre indiqua de suite le parti que l'on pouvait en tirer dans ce sens. La nouvelle solution de la transformation est exposée dans l'ouvrage de l'illustre vieillard d'une manière graduée, en passant des cas les plus simples aux cas les plus compliqués; cette méthode d'exposition lui semblait la meilleure et il exprima plus tard ses regrets à Abel et à Jacobi de ce qu'ils ne l'avaient pas suivie dans leurs mémoires. La découverte de Legendre ouvrait de nouveaux horizons aux analystes dans cette belle théorie des fonctions elliptiques, quand tout à coup\ les découvertes de Jacobi et d'Abel vinrent la transformer complètement et en changer d'une manière inattendue les méthodes d'investigation. Mais, avant d'exposer ces recherches, nous devons dire un mot des travaux de Gauss pour rester fidèle à l'ordre chronologique.

8. Gauss (1777-4853). Les recherches de Gauss ont rapport, les unes aux fonctions elliptiques en général, les autres aux fonctions lemniscatiques, c'est à dire, aux fonctions elliptiques de module 1/2. Dans un passage des Bisquisitiones, Gauss déclare que la division de la lemniscate en parties égales dépend des mêmes principes que la division du cercle. Cette assertion, dont Abel a montré la pleine vérité, était naguère le seul passage connu de

Gauss sur les fonctions lemniscatiques. La publication de ses mémoires inédits a prouvé qu'il s'était longtemps occupé de ces fonctions, et particulièrement de leur multiplication et de leur division; et de l'ensemble de ces documents résulte que Gauss a bien connu leur double périodicité. Il les étudie surtout au moyen des séries et des produits infinis (1). Quant aux fonctions elliptiques générales, il les regarde le plus souvent comme nées de la considération de ce qu'il appelle la moyenne arithmético-géomètrique de deux nombres m et n. Soit la série indéfinie d'égalités :

m" = - ( Jh' -h n') , /i"=[/m'n' ,

etc., etc.,

les quantités m', m", n', n", convergeront vers une limite commune fx, (moyenne arithmético-géométrique) qui sera égale à