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i/m^cos^Tdtn^sin^T 0 ^

Ce théorème, dont on peut trouver le germe dans le mémoire de Lagrange sur la transformation, est identique au fond à la transformation de Landen. L'auteur, qui y est parvenu indépendamment des recherches antérieures, l'applique au calcul des intégrales elliptiques dans un mémoire d'astronomie; de plus, ses mémoires inédits renferment de remarquables propriétés de la moyenne arithmético-géométrique de i -+- x et 4 — x, étudiée tant au moyen des séries que des produits infinis (2). L'étendue de ces

(1) Disquisitiones, § 535; WeHœ, B. III, p. 404-432. Les Disquisitiones parurent en 1801.

(2) Determinatio aUractionîs, etc., sub fin. IVerke; B.III, p. 353-360; Nachlass, p. 360 sqq. , p. 453 sqq. — Jacobi dans les Fundamenta, § 38, p. 9S ; § 47, in fin. p. 135; § QQ-, p. 186, cite ou emploie des résultats trouvés par Gauss au moyen des fonctions elliptiques. — SciiERiNG a fait remarquer {Mathematische Annalen, I, p. 138) les relations nouvelles que l'on peut trouver, sur les fonctions 9, au moyen des travaux inédits de Gauss. D'après lui, Gauss semble avoir entrevu les relations qui existent entre les transcendantes elliptiques et les fonctions d'une variable imaginaire, et la possibilité d'introduire ces transcendantes dans le problème de la rotation des corps (Notes qui terminent le troisième volume des œuvres de Gauss). — Sur les recherches de Gauss, voir aussi son témoignage propre : Abel, OEuvres complètes, introduction p. VII (dans une lettre à Schumacher),

recherches permet de croire que Gauss était arrivé à plusieurs des résultats trouvés par Jacobi sur la transformation et d'Abel sur la multiplication et la division. Mais la plupart de ces découvertes de Gauss ont été sans influence sur la marche de la science, parce qu'il n'a publié que celles auxquelles il avait pu donner une forme parfaite et qu'il a été prévenu pour les autres par Abel et Jacobi. « Juste peine, dit ce dernier dans une lettre à Legendre, de ce qu'il a répandu un voile mystique sur ses travaux. »