THÉORÈMES FONDAMENTAUX

H. Théorème I. — Si n est impair y >(ne) : >e, ii{ne : uc, v(/ie) : vs et si n est pair y ).(ne) : Àefxeve, fx(/Ac), v{hs) sont des fonctions rationnelles paires de >e, fAS ou v&.

Ce théorème est \ rai pour n = i et w = 2, comme il résulte des formules 22, 25, 24 de l'introduction. Nous allons montrer, en nous bornant à la fonction >, que s'il existe pour le nombre n, il existe aussi pour le nombre n -4- 1. Dans la démonstration suivante, Ij(^£), Ij^s) etc. désignent des fonctions rationnelles impaires de >e, J(>e) une fonction rationnelle paire de la même variable.

D'après la formule (1, 22),

Soit n pair. On a alors par hypothèse :

).(ne) = I,().g)fxeve = !,(>£))/£,

D'après (1,2), I,(>e)>"e est une fonction paire de >e; la dérivée d'une fonction impaire d'une variable étant toujours une fonction paire de cette variable,

est aussi une fonction paire de >e. Donc

>eX'(ne)==I,(Xe) et

Ainsi, quand >(we) est de forme I,(>e)Ve, \{n + i)e est de la forme I,()^£). Soit en second lieu, n impair. Par hypothèse

> (ne) = I^(>e) d'où

nyine)^n^^yi^J(le)ye et

Ainsi, quand ).(we) est de la forme l^Qe), >(w -¥• i)e est de la forme l^Qe) • >'£. Il est clair d'ailleurs que, dans cette démonstration, les fonctions I,, I,, J, I^ sont rationnelles comme I, et I^ d'où on les déduit(l).

(1) Ce théorème est dû à Abel, OEuvres, t. I, XU, n» 5, p. 155. Sa démonstration est peut-être plus simple que la nôtre, mais celle-ci se présente plus naturellement à Pesprit. On peut voir le germe de la démonstration d'Abel dans un passage d^Euler (voir Introduction). GiJDERMANN, Thcorie der Modular Functionen und der ModtUar Intégrale (Berlin, Reimer, 184^ ou Journal de Crelle, t. 18, 19, 20, 21, 23, 25), % li9, p. 292, a reproduit la démonstration d^Abel. — Abel, I, XXI, cliap. l'^*, § i, p. 3^, a donné une seconde démonstration du même théorème, beaucoup meilleure, parce qu'elle fournit la valeur de ).(n£) sous forme de fraction rationnelle irréductible. On trouve cette démonstration dans les ouvrages suivants : Sanio, De functionum eilipticarum multiplicatione et transformaiione quae ad numerum parem pertinent (Journal de Crelle, t. XIV, p. 1-50, 1835), § 1, p. 6; U. H. Meter, Sur les fonctions elliptiques (Archives de Grunert, 1851, t. XVI, p. 36i-^8); Briot et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptique (Paris, Mallet-Bachelier, 1859), § 180, p. 215 ; Baocii; Traité élémentaire des fondions elliptiques (Christiania, Mailing, 1867); § 26, p. il \ Rômgsberger, Die Transformation y die Multiplication und die Modular g teichungen der elliplischen Functionen (Leipzig, Teubner, 1868), § 29, p. 119.

3. Théorème IL — Les fractions rationnelles qui donnent \{ni)ou \{nt) : Ve, selon que n est impair ou pair, en fonction de Xe, fjt(ne) en fonction de f*Ê, v(/ie) en fonction de ve, ont leur numérateur et leur dénominateur égaux à des produits de facteurs simples, si on les suppose réduites à leur plus simple expression.

Nous allons donner la démonstration de cet important théorème pour la fonction \{ne). Soit d'abord n impair. Nous savons par le numéro précédent que l'on peut écrire

m, A, D sont des constantes; P, placé devant un facteur, indique un produit de facteurs semblables, différant seulement entre eux par la valeur de la constante. Pour montrer qu'un facteur quelconque du numérateur >6=t A est simple, nous chercherons la limite de

X (m) le±A

pour Ae = =p A. Or, dans cette hypothèse, celte expression prend la forme -•

Par conséquent, on a

,. >(w£) ,. nV(ne) ,. fx(we)v(we) lim , . . = hm — ^ — e=s hm n^ — i—l-^ .

Ae nr A Ve fxs • vs

Les fonctions >, fA, v ne sont jamais nulles en même temps et sont toujours infinies k la fois. Il en résulte que le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente sont finies; la limite de X(ne) : (>e d= A) étant finie, il est clair que k dz A est un facteur simple du numérateur de >(ns). Cette démonstration s'applique au cas où A « 0, et par conséquent >e est aussi un facteur simple du numérateur.

La limite de >(ne) (k dt D) est aussi finie pour >e =* =p D^t par conséquent >e d= D est un facteur simple du dénominateur. £n effet,

lim >(ne) ().e dz D) «= lim ^ ,, , = — hm — ^,,\ •

D'après (1, 30) la limite de >*(ne) : V(we) pour >(ne) =- oo est finie; Ve= fASve

est fini, puisque \z n'est pas infini. Donc la limite cherchée est finie.

Dans le cas où n est pair, on peut écrire

., , ^ P(xn-A») >(ne) = m>SfAeve —7— --( ;

la démonstration précédente est entièrement applicable. Nous montrerons

dans ]a suite qu'il ne se trouve ni au numérateur^ ni au dénominateur de facteur 1 — Ih =fA*ô, ou 1 — A*/*£ = v*£, s'annulant en même temps que fxsvs. Ce théorème se démontre de la même ntanière pour les fonctions p(«e) cl y {ne). Dans le cas où n est pair, on en conclut que tous les facteurs du numérateur et du dénominateur sont de la forme

liH — B* dans l'expression de i*-{ne) v*e — C* dans l'expression de y {ne)

B cl C n'étanl pas nuls. En eflFet, si on avait, par exemple, B = 0, on trouverait un facteur fA*£, ce qui serait contraire au théorème démontré dans ce numéro; ou un facteur f^s, ce qui serait contraire au théorcme premier (0.