MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE IMPAIR

§ I. Formules fondamentales

4. Valeur de X(ne). Nous savons que la valeur de l{ne) peut être mise sous la forme

Nous allons chercher successivement la constante wij, les facteurs du numérateur, puis ceux du dénominateur.

(1) GuDBRMANN adiDct sans démonstration que les facteurs sont simples ; sur ce point comme sur beaucoup d^autres, il faut le compléter au moyen de la théorie des fonctions doublement périodiques. Les autres auteurs traitent du degré de multiplicité des facteurs seulement après les avoir trouvés. La méthode d'Abel est fondée sur la théorie des racines égales ; la plupart des autres, s^appuyant sur la seconde démonstration d'Abel du théorème premier, déterminent d'avance le degré du numérateur et du dénominateur ; trouvant ensuite un nombre de facteurs du premier degré égal à ce degré, ils en concluent que chaque facteur est simple. Briot et Bouquet emploient le célèbre théorème de Liouyillb : Deux fonctions monodromes et monogènes qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infînis, chacun au même degré de multiplicité sont égales à un facteur constant près. {Théorie, § 39, p. 39; Journal de Liouvilte, XX, 1855, p. 203 sq.)

Pour plus de détails sur ces diverses méthodes et en général sur tout ce qui ne peut être comparé directement à ce que nous donnons dans le texte, consultez Tlntroduction historique.

\° Détermination de la constante m^, — Pesons £ = K'y^ — i , Iz et >(//c) deviendront infinis. Mais le rapport X(n£) : Xe restera fini. En effet :

Le produit P(>'£ — A') contient donc le même nombre de facteurs du premier degrd que P{IH — DJ), et on a encore, pour e = K![/ — i ,

lim-4 — = m,.

Par conséquent m. = -

2° Détermination des facteurs dit numérateur, — La fonction X(Me) ne s'annule que pour

= 2«K -4- 26K' j/— i ou £ = =^ ,

ne

a et 6 étant des nombres entiers quelconques. Pour cette valeur de £, l'un des facteurs du produit P(>*£ — A*) doit s'annuler; la forme générale de ces facteurs est donc

__ ^, / 2aK-f-26K^/^ Y

Pour trouver toutes les expressions distinctes contenues dans cette formule générale, nous allons montrer qu'il suffit de donner à a et 6 un nombre de valeurs très restreint. D'abord on peut supposer a et 6 plus petits que n en valeur absolue. Car soient : a' = p/i -♦- a", b' = qn + 6", a" et b" étant inférieurs à n en valeur absolue ; on aura :

Le facteur correspondant à a' et 6' est donc égal au facteur correspondant à a" et 6", et, par conséquent, il n'y pas lieu de supposer a et 6 plus grands que n, en valeur absolue.

Soit a = 0. Dans ce cas

égalités d'où résulte qu'il est inutile de supposer 6 négatif ou positif et

^ n , , supérieur à •-•• Ainsi, quand ^a =0, il suffit de supposer 26 égal à

On prouve de même que, si 26 = 0, il suffit de supposer 2a égal à 2, 4, 6 n — 1.

Soient enfin 2a et 26 différents de 0. On peut toujours ajouter n à a sans

altérer la valeur de >*(2aK h- 26K'|/ — \\ ear ^^ r2(af-p;i)K-^26Ky^ 1 . , / j. ^ 2aK -4- 26KV":^i \

, ^ / 2aK H- 26Ky^inr \ .

nous supposerons donc a positif. On peut de même retrancher n de a, et, par conséquent, supposer a plus petit que w. On» peut aussi supposer fc positif et inférieur à /*.

Soit maintenant a' = n — «", // == w — 6" ; on aura (I, 0)

^ / 2a^K-^ 2yK'/^ \ ^/^j^ 2a^^K— 26'Ky=l Y ^ / 2a^^K — 2fe-Ky:

>^ (^g-K -^ 2yK-/:ri >^ ^ ^^ ^^^ ^ ^^^^^ 2a-K -. y Ky-i ^ ^

^ ^, / 2a^^K>^2y^Ky— A

D'après ces deux formules, on peut supposer que a reçoive seulement

des valeurs inférieures à — ; en outre, on peut faire en sorte que b soit

compris entre -♦- - et — - . Autrement dit, si 2a == 2, 4, 6.... ou n- — i,

il suffit de supposer 26 égal à zfc 2, ±4.... ou db(n — i).

Les facteurs correspondants aux valeurs de a et 6 que nous venons d'indiquer sont tous différents. Car soit, s'il est possible :

^j /2aK-f-26K^/^ \ y 2a^K -x- WYd\r^ \

On devra avoir (I, 6)

c'est-à-dire: a=±a'-+-pn, 6 = d:6'-»-çn,

ce qui est impossible, car a, a', 6, V sont inférieurs à - en valeur absolue.

Le numérateur de X(wc) peut être écrit, à un facteur constant près, d'après ce qui précède :

où Ton suppose que a et 6 reçoivent les valeurs suivantes :

2a = et 26 = 2,4,6... {n--\)

26=0 et 2a==2,4, 6... (/* — 1)

2a = 2, 4... (w — i), et 26 = zb 2, dr 4, ± 6... db(M— 1).

5° Détermination des facteurs du dénominateur, — Une discussion analogue conduit à la valeur suivante pour le dénominateur :

on suppose que a et 6 reçoivent les valeurs

2a =0 et 26 4-1 = 1,5,1),... /t — 2 26 -t- 1 = n et 2a = 2, 4^ 6,... n— 1 2a =0,2,4,... (/* — 1) et 26-+-1 =zfc 1, ± 5,... ±(/i— 2).

On peut aussi arriver à ce résultat de la manière suivante. Les facteurs du dénominateur sont tous de la forme

r 2a^K-h(2y-t-l)Ky— i "!

Soit a' = 2n — a'\ 26' h- i = n — 26". On aura (I, 6, 1 5)

^, r 2a-K4-(2y-4-i)Ky-n ^^ ("Kyrn - 2a''K-^26'^K^t/:::T \

^/ 2a"¥i^2b"Ky-'\ \ Pour obtenir toutes les valeurs distinctes de cette dernière expression,

il suffira de donner à a" et 6" les valeurs que reçoivent a et fe dans l'expression du numérateur. Toutefois on ne pourra pas faire a" = 0, 6" = 0, parce que le facteur correspondant est infini. Néanmoins X(n£)= oo, car, dans ce cas, 2a" = 2w, 26' -♦- i = n, e = 2K -♦- K'(/ — i et par conséquent tous les facteurs du numérateur et du dénominateur de \{nt) sont infinis; comme le numérateur en contient un de plus que le dénominateur, l'expression de \[m) est donc infinie. Aux valeurs indiquées pour a" et 6" correspondent les valeurs assignées ci-dessus à 2a et 26 -4- 1, dans Fexpression du dénominateur.

Il résulte encore de ce qui précède que Ton peut écrire pour le dénominateur :

2a et 26 ayant les mêmes valeurs que dans le numérateur. 4** Expression de >(«£). — Nous aurons pour valeur de l[nz) :

\{m) = - >eP -/i = - >.eP ^*

En supposant que

. Pi ;, ' P.= n

s et s' étant des nombres pairs ; ^ un nombre impair ; s et s' reçoivent toutes les valeurs paires non supérieures à n; toutefois on ne doit jamais associer les valeurs, 0, ou et n; de plus s' et o-' ont le double signe chaque fois qu'ils ne sont ni égaux, ni associés à ou n.

Dans la suite nous emploierons toujours .s pour désigner un nombre pair, (T un nombre impair positif, et les mêmes lettres accentuées pour désigner un nombre pair ou impair qui peut être positif ou négatif dans certains cas(l).

On reconnaît aisément que le numérateur de l{ns) est du degré n*, et

(1) Ces notations expressives sont une combinaison de celles qui sont employées par. Sanio et GtDERMANN. Fautc de notations abrégées analogues, la lecture du chapitre de Broch sur la multiplication est rendue très-pénible. — On nous pardonnera remploi de l'expression impropre nombre négalif, en songeant que Ton a déjà admis dans rarithmctique supérieure, des nombres complexes et idéaux qui sont tout aussi peu des nombres que les nombres négatifs.

le dénominateur de degré w* — i en Iz, ce qui s'accorde avec le théorème du n** 2, et avec la remarque faite à propos de la constante. On en conclut que les numérateurs de >*(we), fA*(ne), v'(/i£), sont de degré n' et le dénominateur de degré n* — i en X's, ^ih ou v*c. Par conséquent [/.{nz) et v(nî)ont leur numérateur de degré n} en ftô, ve, leur dénominateur de degré n — i, ce qui s'accorde avec le n° 2, et avec ce que nous allons voir dans la détermination de la constante de l'expression de pt(ne), v(ns).

5. Valeur de p(we), v(w£). Les valeurs de fx(ne), v (ne) sont de la forme

P(fx«e — B*)

fx(n£) = m,fxe

v(ne) = mjjve

Cherchons d'abord la limite de {/-{ne) : iiz, v(/i£) : ve pour e=ïK'^^ — i. On trouve (I, 51 et 52) :

hm^-^— ^ = hm \. , = hm-— : lim — ^ .; , ^ =(--i) -=m.

,. v(«e) ,. V *£ X£fx£ /a(/te)fx(n£) , ,v * ^

ve v~*(n£) v*£ v*(«£) ^ ' n ^

La fonction p(n£) s'annule pour ^ (2a4-i)K-h26KV=rT ^^ 2 a-KH-2yKV~l ^ gj^; /—

si 2a -h 1 == /i — 2a' et 26 = 2/a— 26'.

La fonction v(h£) s'annule pour

(2a H- 1) K -^ (26 -4- i)KV^ yr ^, /— 7 2tt'K 4- 26'K'|/^

si 2a-hi = n^^a\ 26 -f- 1 = n — 26'.

Enfin ces deux fonctions deviennent infinies pour les mêmes valeurs que ). (ne). On conclut de là, soit par un raisonnement direct, soit en faisant des remarques analogues à celles qui nous ont donné la seconde forme du dénominateur de >(n£), que, si

tK h- «'K' l/^^ (tK -*- d'K' |/^

n fX*6— fxV4 ^* pt«6 — ^«(K'/^— p,)

v(we)=(--i) -veP- —' ==(—1) -veP ^^ ?- i-li

n >«e— v*p4 n vU— v«(KV^ — pj

0", 5', ff', pouvant recevoir un certain nombre de valeurs d'après la règle indiquée h la fin du numéro précédent.

6. Expression de /(ns), fx(Me), v(m) respectivement au moyen de ^le et ve, Iz et ve, le et /xe. On a, d'après la définition des fonctions p et v,

X*g — >*a 1— >*£ — iH->^a 1 — knh — I -+- k^l^cL fi«£ — pL«a v«e — v«a

Il résulte de là que Ton peut écrire de la manière suivante les formules trouvées jusqu'à présent.

>(W£) ^ p >'g — >V t ^ p f^'g — f^Vi p v*£ ~ vVt

m,>e >*£ — >*p^ fx*£ — p*p^

!!M= p ^!!jz2!p? = p f"*^ — ^V^ = p

m^pe >*£ — >V4 f**e — f^*p4

v(n£) ^ p >*£— >V 3 ^ p P^g — f^Vs ^ p