VV

Dans ces formules, on peut remplacer p^ par K — Pi? Pô P^

K + K'|/ — 1 — pp p^ par K'|/ — 1 — p,. On a trouvé pour les constantes les valeurs

Wi =- m=(— i) - m =(—1)

(1) Aucun auteur, que nous sachions, n^a établi directement ces formules, parce que tous ont déterminé les constantes par les procédés indiqués au § II au lieu d'employer

la valeur e = K'(/ — 1. Abel, toutefois dans l'expression de >(n£), fxfns), v(n£), en sommes trouve les constantes par la valeur qui rend ces fonctions infinies, et cela tant dans son premier mémoire (ï, XII § 23, p. 186 et sqq.) que dans le dernier (ï, XXI, p. 397).

Dans la théorie de la transformation il emploie tantôt la valeur € = K'{/ — 1, tantôt d'autres valeurs (I, XII, p. 236, et ï, XIII, 263).

Quant à la détermination des facteurs du numérateur et du dénominateur, tous les auteurs partent au fond de la double périodicité. La méthode suivie dans le texte est

— ol

§ II. Formules diverses déduites des formules fondamentales.

7, Autre méthode pour la détermination des constantes. — Nous avons

trouvé les constantes m^, Wj, wijj, en fesant e = K'(/— T, de manière que >(wg), p(n£), v(we) deviennent infinies. Cette valeur de e est la seule par rapport à laquelle les trois fonctions se comportent de même. Mais il est évident que Ton peut déterminer m^f m^, m^ en donnant à e d'autres valeurs. On est conduit à des résultats remarquables en fesant dans les formules du numéro précédent £ = 0, e = K, s = K h- K'|/ — i , valeurs qui annulent respectivement /s, a-, vî. On aura : \ ° Pour 6=0:

'-L Z= i==/M p — 0=(— i) -P^; d'où p r?=:(i ^

lH=4=^,pj;Pâ=(l)~ip$!; d'où P^ = (l)~„

absolument la même que celle de Sanio (dans le cas de n pair), de Gudermann (§ 150 et suivants p. 28i) qui traite complètement la question, de Briot et Bouquet qui esquissent seulement la détermination de X(ne) sans chercher les constantes. Abel suit une méthode un peu plus générale qui s\applique d'ailleurs aussi au cas de n pair (I, XII, n» 11, p. 186). Plus loin (no 25, p. 180 et sqq.) il trouve en partant du même principe, la valeur de À(»ie)etc. sous une autre forme, d*oii il déduit la première. Broch suit complètement Abel sur ce dernier point, et comme cette seconde méthode ne s'applique qu'au cas où n est pair, il est forcé de se borner aux formules se rapportant à n pair (§ 29, 50, 51, p. 58 et suivantes). U. H. Meter (Archives de Grunerty t. XVI, p. 564 sq, § V) cherche par la

première méthode d'Abel l'expression def 1 — .^ ^ j : I 1 —r^. — rjce qui ne présente pas de difficultés. D'où en donnant à S^ et Sg des valeurs particulières X*(ne) etc. (Voir l'introduction.)

Tous ces auteurs à l'exception de Meyer et Briot et Bouquet déterminent la valeur des constantes ; nous dirons par quel procédé dans les notes du § II.

pour

A(nz)

lim

m.pfiil =

ipî^îd'oùpî^

vî

rP4

|)'ipf^«;d'0Ùpfi!P'

rPi

3" pour £ = K -»- K'j/ — i :

-P^;d'oùPl!:i

= (— i) -P-f:?;d'0ÙP

Pi. .V.

lim

^*Ps

1) 'ip!;à;d'«ùp4^

Les formules de la dernière colonne se résument dans les suivantes :

n« = piÎPi.= pff!P? =

(-i)\=PÎ-^»=pj^=pf^=p(f;E»=^p!;p

p':!Pï

s. Valeur des produits P^'p,, PX'p, ••• Pv*P4. — Lemme. Si k est positifs

plus petit que l'unité, le signe de P/*p, est celui de ( — 1)~*~, tandis que Pfx*p,, P«*p, sont positifsW.

On a, d'après la valeur de p,,

(1) Ce lemme est emprunte à Gudermann (§ 152, p. 50i), qui ne s^occupe guère que des fonctions elliptiques à module positif et plus petit que l'unité.

,s et s' pren«^nt dans le second membre, toutes les valeurs paires de i à ;« — i. Le produit de facteurs positifs Pi«j — j est positif; si

^'( 7~) -t de la forme « ^ 6,/nï, ^*(±ZÏEi^

èsl de la forme a— 6|/^^, de sorte que Pi« /'!^L±iH[LZlL'\ X

/sK— s'K'i/^\ A* I 1 » est positif. Enfin, on a (I, n» 5)

quantité négative.

Donc PX*(' '- ,/rJ=«( — 1) X quantité positive.

Ce produit donnant son signe h P?^*Pi, il en résulte que eelui-ei a le

même signe que ( — i)

On démontre de la même manière que Pf^'p, et Pv*p, sont toujours positifs.

Cela établi, nous pouvons passer à la détermination des produits PX^pi etc. Nous avons d'après le n° précédent et (I, 15), si 2N = n* — i :

n« = P^* = P ^ = P (An*p,) = *«NPi*p, .

D*oii à cause du lemme, si k est positif et plus petit gue Tunité :

Je dis que Ton ne peut avoir pour aucune valeur de k

En effet, soit d'abord k positif et plus grand que Tunité, et supposons,

s'il est possible, que Ton ait rcgalité (a). Pesons varier k d'une manière continue depuis cette valeur plus grande que l'unité, jusqu'à une valeur inférieur k^. Pi*p,, qui est toujours égal à diz /it—^, ne s'annulera pas; d'ailleurs X*e étant une fonction continue de A*, variera aussi d'une manière continue. Donc P i*p, ne pourra changer brusquement de signe, et si k devient égal h k^y on aura encore

ce qui est contraire au lemme. Donc l'égalité (I) est vraie aussi pour k positif et > 1 .

Soit maintenant As=Re •^^"~ , R étant le module de k. Supposons, si c'est possible, que l'on ait

PXV.= -(-l) ^„e

Si nous fesons varier 6, depuis la valeur 6 jusqu'à la valeur zéro, le second membre variera d'une manière continue , et atteindra enfin la

valeur — (— i) r^ ^ sans avoir passé par zéro. Le premier membre variant aussi d'une manière continue, on aurait pour la valeur R de A-,

PX.p.=(i)'^,

résultat en contradiction avec ce que nous avons vu plus haut. La formule (1) subsiste donc dans tous les cas. On a ensuite d'après (I, 14, 15) et le numéro précédent :

„» p "V» p A^ ->- K'i/^ - P.) ^ p C^^^'Pi) ^if».?^ "*?* v«(K'|/^^— p.) (f*Vi) f**Pi

f**p4 F*(K|/— T— Pi) "'Pi "Vl

Ces formules combinées avec la formule (1) donnent P|ui*p,, Pv^Pi; d'où au moyen du lemme P ^*Pi, Pv*f>i' ^i^^o» ^^ autres relations du

numéro précédent conduisent aux valeurs de tous les produits, de sorte que Ton peut former le tableau suivant :

PXV,=(-1) ' ^; P^V.

Pv«p,

Jt'N

p X^ps =

liTÎ Pf^V5 =

On peut, en combinant ces formules entr'elles, en déduire un grand nombre d'autres. On peut trouver d'ailleurs beaucoup de relations entre les produits, P \'^p^ etc. à cause des égalités

p,=K-p„ p3=K-i-Ky=rï p^, p^=Ky=î-p,.

9. Seconde forme des valeurs de X(we), /ut(ne), v{ne). En employant les valeurs trouvées dans le n° 7 pour m,, m„ m, on arrive aux neuf formules suivantes :

l{fu)

Aï

= nP

(ne)

vî

7ir = (-')

(— 1) nP

fx*e

rp. /

^'==(— i) ■ nP

JlP*

Les auteurs n'ont remarqué, entre ces neuf formules, que la première.

la quatrième et la septième qui conduisent aux développements des fonc-^ tions elliptiques en produits infinis, et la cinquième et la neuvième, qui sont analogues à la première.

10. Troisième forme des valeurs de ?(wc), u(»£), v(n£). Dans les valeurs X(ne), ix{nz)y y{m) entrent p,, p„ p,, p^. On peut exprimer ces trois fonctions au moyen de Tune seulement de ces quatre expressions. En appliquant aux égalités ainsi obtenues, les formules 25, 26 et 27 de Tintroduction, on trouve une forme remarquable pour /(«e), iJ-{ne), v(we), qui n'a pas son analogue dans le cas de n pair.

Nous allons montrer, par un exemple, comment on arrive à ces formules. On a, d'après la formule 23 de l'introduction :

>«£ — >«(KV-i— p,)

= A:Vp,>(p, H.c).>(p,-.£).

Par conséquent :

A yiff )îp \

^ ^ n X«£-X«(Ry-i-p,) ^

ou, en remplaçant PX*p, par sa valeur :

>(n6) = (-i) * A:^>£P>(p, H-e)>(pj — £)

que Ton peut encore écrire, sous la forme abrégée,

«— i ).(we) = {—i)*k^ le P >. (p, zh £).

On trouve ainsi les formules suivantes, où les valeurs d'une même fonction sont rangées dans une colonne verticale :

*li:ll{ne) iJ.{nî) v {m)

fXÎ

vî

k^ Pi(p,±e)==

/jN A:'-Nl)^(p|±£)==

A'-KPv(p,±£) =

fc'- p ■ V ,=

Jt-Kp . ... ;

Mp.±e)'

/.,»pf^(P4±^)

Mp,±0

11 est clair que, de ces douze relations , les neuf dernières peuvent être déduites des trois premières au moyen des formules i3-2i de Fintroduction; les trois premières elles-mêmes peuvent encore être retrouvées en partant des formules du n<^ 9.

11. Qttatrième forme des valeurs de ?.(«£), /^(ms), v(iiâ). On peut faire subir aux formules précédentes une légère transformation qui conduit à une forme remarquable pour les valeurs de >(i*e), iJ-{ne), v{ni).

On a :

S et s' recevant dans le second membre, toutes les valeurs paires de 2 à n — 1 . Or on a, d'après (1, 6) :

En tenant compte de ces formules, on trouve :

a et 6 recevant dans le second membre toutes les valeurs de à n — i. On arrive ainsi à la valeur de ^(ns), et de même à celles de {x(ne) et v(ne). Chacune des fonctions y (m), pt(we), v(;jc), peut se mettre sous quatre formes différentes. Voici les trois formules les plus remarquables :

). (m) = A-sp) ( !^ H 6 )

Ans) = (,-. j Pp (^ -^^- H- e j