A£ AS
En prenant la dérivée logarithmique de y, on trouve
de ^ >(£-*-4T«)
S désignant le signe sommatoire ordinairement usité. Si, dans le second membre, on change £ en £ + 46>, y ne change pas, la somme augmente de
c'est-à-dire qu'elle ne varie pas ; 4« est donc, une période de -j- ; d'ailleurs on peut conclure ce théorème sur -^ de cet autre qu'une fonction et
rt£
sa dérivée ont toujours les mêmes périodes.
Cela posé cherchons la valeur i — >,£. Cette fonction est rationelle en
).£. Soit D le dénominateur P[>'£ — >*(K'(/ — i -4- sw)] de >,£, N son numérateur, qui est premier avec D ; on aura
D — cN N.
i — Ck s = «=3 -i
Il est elair que N^ sera premier avec D, et de même degré que N, c'est-àdire de degré 7i en >£. Les facteurs du produit
P [>e — 1{K -i- K'i/^ -^ 4aû))]
seront tous facteurs de N,, car par hypothèse pour e = K -+- K'j/ — 1 ou x==A;'"*, y = Cy et 4(i) est une période de y et de i =t: y. On prouve aisément que les facteurs distincts du produit précédent sont compris dans l'expression :
où 5 a la signification ordinaire, le signe supérieur correspondant aux valeurs de s qui ne sont pas divisibles par 4, le signe inférieur aux autres. Cherchons le degré de multiplicité de chacun de ces facteurs et d'abord du premier. Pour cela, voyons qu'elle est la limite de
pour e=K -*- K'[/ — 1 ou x = A;~*. Cette limite sera finie ou nulle selon que i — kx sera une ou plusieurs fois facteur de i — cy mais elle ne sera pas infinie. Or, cette limite est égale, à un facteur constant près, à celle de
dy dy dx ^ X (e -*- 4Tci>)
dx dt * dt p.£ . v£
Au dénominateur v£ == v(K h- K'[/ — 1) = 0; pour que l'expression (i)
ne devienne pas infinie pour e=»K-4-K'(/ — 1, on doit avoir -^ = 0:
dz
comme y n'est pas nul, fl en résulte aussi
-^ et s sont nuls aussi pour £ = K -h K'{/ — i -4- 4a&) puisque 4&) est une période de -^ , et de S. Nous déduisons de là le degré de multiplicité de
Cl w
chaque facteur de i — cy. En effet soit >e — \z^ un facteur de cette expression, différent de i — fc>g; on trouve pour e=ej
dy
lim r ^ = — c lira —
Ae — /Sj fx£ve
si 6j = K-i- K'j/ — i -f- 4a&), le dénominateur n'est pas nul, (a p'ëtant pas égal à un multiple de n)^ le numérateur, au contraire, est égal à zéro; donc le facteur correspondant entre au moins deux fois au numérateur de i — cy. On en conclut que
car, si on suppose un autre degré de multiplicité aux facteurs du numérateur, ou d'autres facteurs dans ce numérateur, ou bien Ton va à rencontre de ce qui vient d'être démontré, ou bien le degré de ce numérateur devient supérieur à n.
On trouve de la même manière
\lz qi X(K ^ K' j/^^H- sw)]'
et par conséquent
j/l — y* = ± wi jveP - N«/ir/ / — ï
Nous avons mis le double signe devant le second membre, parce que, si l'on se place au point de vue purement algébrique, rien ne détermine ce signe. Mais nous savons (jne, s'il y a une solution du problème de la transformation, on doit prendre le signe + puisque pour e = il faut que j/ i — 1/* se réduise à -♦- 1 , de même que iàzy.
En suivant une marche analogue à la précédente, on démontre que i ± ly, |/ i — Py' ont précisément les valeurs trouvées à priori pour i ± iXjg, v^e. On a d'ailleurs
f==0 e. S ff •" ;:^"i --^ dt > (e -^ 4T«)
quand £=K; théorème analogue à celui qui a été trouvé plus haut, et
qui pourrait au besoin s'en déduire, comme on le verra dans le chapitre V, à l'occasion d'une recherche semblable.
La recherche des constantes m, m^, w,, /, /' se fait comme dans le cas où l'on cherche >,e, fx,e, v^s à priori. On trouvera donc les mêmes valeurs que précédemment(l).
34. Vérification de la solution. — Nous emploirons la méthode d'Abel(2). Nous poserons
H dy w
1 ± y = m,(l — Arx) -• i àz ly == m^{\ — ^) -
i =F t/ =• m, (\ -^^ kx)— \ iply = m^{i — x) —
w, V, ty t\ t'\ f", w étant des polynômes en x de degré w, n — i, — —,
— - — , — — — , — ^—, 2w — 2. En dérivant la valeur de iàzy, on trouvera
 Jt A
w = tw'
\d étant un polynôme entier. Il résulte de là que t divise w^ et il en est de même de C, i\ t'" ; t, f, f", if" étant premiers entre eux, le produit tUlf't^ de degré 2w — 2 divise aussi w qui est de même degré; le quotient est doBC une constante. Cela posé, on remarque que l'on a
dy . w dx \ dx
|/(i— y«)(l-/V) rn.m^tt'Vr j/(i-x«)(1 — ifcV) M' j/(| ^ï) (| fcV)
(1) Nous aurions pu éviter la considération de la multiplicilc des facteurs de 1 dr y^ ou 1 H: /y, en déduisant de ces expressions la valeur de y, au lieu de suivre la marche
inverse ; on n'a pas besoin, dans ce cas, du théorème JS=0 pour e = K et e = K-*- K^/ — 1. C'est la méthode suivie par Jacobi, mais elle n'est pas applicable à toutes les transformations, et les auteurs qui se sont occupés des cas laissés de côte par Jacobi et Abel, ont presque tous admis sans démonstration rigoureuse que ^i^) f^iS; V|£ n'ont que des facteurs simples.
(2) Abel, OEuvres, I, XII, n» ii, p. 235 ; XIII, 265. Ce mode de vériGcation nous semble surpasser en élégance et en simplicité, dans les cas des transformations rationnelles, même la belle analyse de Jacobi.
M' étant une constante. La valeur de cette constante est d'ailleurs celle que l'on a trouvée pour M. En effet, on a :
J rfy t/(i— x^)(i— AV) Or pour X = 0, on a {n^ 31)
§ II. Seconde transformation : q pair.
S5. Transformation générale, La seconde transformation ressemble tellement à la première que nous pouvons omettre les raisonnements et les calculs qui s'y rapportent et ne donner que les résultats, ^ous ferons remarquer en outre que c'est cette transformation qui est étudiée avec tous les détails nécessaires dans les Fundamenta de Jacobi.
Dans le cas actuel, nous supposons ;
R = p ML = (p« -h jK -4- yjK'j/— i
n(ù = $K'|/IIT— $'K MV j/^ = fw -+- g'K + vi'K' |/^^ On trouve :
= wiJt''-*P).«(.sw)P).(£ 4- 2Tw)«m/:»-* P>« (s«) P>(£ h- 4T«)
i~(— 1) * >,e= wi,(l— >e)P '^ ^ — -
ft*(sw) ft*(SM)
),»£— ).'(K + sm) , ,„ft(e + 2Tw) , .„a(e + 4T&>)
v*(sw) v*(s«)
i +(— 1) * A,e=mj(l 4-it>e)P
1=T=fo(g-<-2Tft)) i^X(£-f-4T&))
Dans les expressions précédentes quand un facteur contient un double signe, on prend le signe supérieur ou le signe inférieur selon que T est impair ou pair.
La détermination des constantes m^ et m, conduit encore à cette conclusion importante que n doit être positif. On trouve d'ailleurs que les valeurs des constantes sont les suivantes :
^ ' >«(««) v*(sw) ^ ' ).*(SW)
„(,)?p.,jq4-^.(,)^p "c-^'^y-'*'")
t,= — 1) « m.-=P ^ ; x =P— ^TTl ^
(S(t))fit*(s&)) >*(s&))
' ^ ^ X*(s«)v*(sw) X*(sw)
La vérification de cette solution se fait absolument comme dans le cas
précédent.
Remarque. Une comparaison, même superficielle, des formules trouvées
dans les deux transformations examinées dans ce chapitre, fait voir qu'elles
sont dans un rapport intime. Il serait facile de prouver que la seconde peut se déduire de la première, par une transformation de premier degré, obtenue en fesant n = 1 dans celle-ci ; mais nous croyons pouvoir laisser de côté ce qui rapporte aux relations qui existent entre les diverses transformations, parce que cela ne se rattache pas assez à notre objet, qui est rétudc directe de ces transformations.
36. Transformations simples. C'est à la transformation que nous venons d'étudier que se rattachent les cas particuliers les plus remarquables. Soit, d'abord, K=MnL, K'j/^ =ML'(/^, p=.n,q=.0, p'=0, 7' = 1; r =3 1 ; il viendra :
Cette valeur donne la première transformation réelle de Jacobi (fc <^ i).
Soit, en second lieu, K = ML. K'|/^ = wML'j/— i, p = i , q = 0^ p' = 0, 7' «= w, r = 1 ; on trouvera
Cette valeur donne la seconde transformation réelle de Jacobi (1).
