CHAPITRE m

TRAiNSFORMATlONS IRRATIONNELLES 011 1/ DEVIENT INFINI EN MÊME TEMPS QUE X

{p pair, q' impair, n pair).

§ I. Première transformation : q pair.

87. Détermination des valeurs de ^^e, p,£, v^e en supposant le problème possible. Nous supposons dans le cas actuel :

R = p, ML = (p« -♦- (jfK -♦- yjK'i/ — 1

nw = zK' ^/^ — ÇK , ML' /^ = f w -♦- ^'K -t- n'K' |/^

(1) Les transformations de ce paragraphe sont celles dont on s'est le plus occupé. Voir rintroduction historique, n<> 11-15.

On aura donc, en appelant tu la valeur absolue de n,

X(e -»- 2n^(ù) = — Xe, f*(s ■+- ^n^(ù) = — jute, v(e -4- 2nj«) = ve.

On trouve, comme dans le chapitre précédent, que Ton a respectivement

>je = 0, Pj£ = 0, Vj£ = 0, X,e, pii ou v,£ ==«

seulement dans le cas où, a étant un nombre quelconque. Ton a :

Ih = X« (2aw) , Ih == /« [k ' f/^^ + (2a -f- 1 )w] , Ih = X«(2a -*- 1 ) «,

ou lu = )«(K'|/^^ -^ 2aû)).

La valeur de >,e sera donc de la forme

/j£ s= mÂEiievc P zzzzzzzzrzzr*

>«£ — i«(Ky— 1 -*-2a«)

On verrait encore comme plus haut, que 2a ne doit avoir que des valeurs positives non supérieures à n; on ne peut pas supposer non plus a = 0, parce que le numérateur contiendrait un facteur double et le dénominateur un facteur infini. Au numérateur on ne peut pas donner à 2a la valeur n^^ car le facteur résultant /*£ — 1 s'annulerait en même temps que y-t^ ce qui serait contraire au n° 24. Au dénominateur, à cette valeur ni de 2a corres-

pond le facteur /*& — — ou — tt* ^" conclut de là que

«* kr

V£ X«£iî(Ky— 1 -*-Sû))

8 désignant comme dans les cas précédents un nombre pair compris entre

On prouve encore sans peine que les facteurs du numérateur, de /xje sont ceux du produit

0- désignant un nombre impair compris entre et w,. Le degré de multiplicité de chacun de ces facteurs est égal à deux. Soit en effet £j=K'(/ — I+o-m; on aura