OP

>(£ + n,«) = >(e±zK'/— 1=F?K) = (— 1) ^ >(£ + K)==(— i) ^ fi^

X(s&> — e) = X[e-+-(2w4 — sjw]

le signe supérieur correspondant au cas où n est positif, le signe inférieur au cas contraire. On tire de là :

\e = —{—i) ^ wîil»»P>«(s&))P>(e-f-2Tû))

T étant un nombre qui prendra toutes les valeurs de kn^ — 1 inclusivement.

On trouve de la même manière :

î!ii=!ÎL»il«iP>«((ra>)p>[e -*- (2T h- 1)«]

On peut introduire dans les dernières formules

P^(s 4- 2Tû)) , P^ [e -f- (2T -I- 1 ) w]

Pour Je prouver, remarquons que Ton a, d'après ce qu'on a vu précédemment :

> «e — >« (K' /IIT + s(ù) X«£ — X« (K' i/I^ + s(ù) et par suite (I, 25, 26)

PX(sw -f- £)>(«« — e) X Pv* (sw) « Pfx(s&> 4- e)|jt(sw — s)

formule qui pour £ = 0, donne

P>.(.,.)=.pf^.

V* (Sû))

Mais,

/(SW — £) = /[£ -*- (2/ï, — S)&)], a(i{&> — £)== — /Ul[£ + (2/i, — S)ûi)]

et A*'À£/ (£ -♦- MjW) = ( — 1 ) "« a£u(£ -h n^(ù) ;

d'ailleurs (— ^)' *=(— 1)'.

Donc, A:'PX(£ -h 2Tû)) X Pv«(.s&i) = (— i) « P^(£ -+- 2Tû))

De même :

Pi[£ ^ (2T -4- i)û)] X Pv«((yw)=(— l)^Pfx[£ -4- (2T -4- i)«]

px*M-p4N

V* ((TW)

On peut donc remplacer les produits en X par ceux qui contiennent [jl. Mais il est impossible de faire la même substitution au moyen des produits analogues en v, car ils sont constants. On a, en effet,

En fesant a = £, £ + 2ûi), e + 4û),... £ + (n, — 2)0),

puis, a = £-hû), £ + 3w, £ + 5ûi),... £ + («, — 1)&>

et multipliant les égalités aussi obtenues entr'elles, on trouve :

Pv(£ + 2Tû)) = (— i)~*" if"^ puis, Pv[£ -+ (2T + 1)û)] = (—1) "î"i'"^

Ensuite, en fesant a = — 2co, — iw, ... — {n^ — 2)&) et a = — w, — 5&), — 00)... — [n^ — l)&),

s(»ij — î) «1 — 4 siij tt|

Pv«(.S-w) = (— 1) * k' \ Pv«((TC0) = (— i) * it' * .

38. Détermination dea constantes. Nous ferons, comme dans les cas précédents, £ = 0, c=K, £ = K-hK'(/ — 1, £=K'^/ — 1. Mais, en outre, nous supposerons ([ue £=&) pour déterminer /' et prouver que n est un nombre positif.

Les substitutions £ = K'j/— i et £ = donnent (n" 23, B, E, F, A)

1 5l*(<Tûi)) i 1

M V / i ^î(^,^) 2 ^„,î >«(sw) i«((T«)

D'où, m = — (— i) * P::77-T

>« (sw)

qj-l

M= (— i) il"iP>*(s&))X«((Tw)

/ = (—1) * i»iP>*(5w)

Les substitutions £=K, e^K-^K']/ — i ne donnent pas de relations différant essentiellement de celles que nous connaissons déjà. — Pour trouver /', nous ferons £=&)=M(Lp-f-L'|/ — i) dans fx^e. Il viendra

l vw /»«— ;i*(K'|/— i+sw)

Substituons aussi « dans la seconde forme de >,£, et fesons £=0 dans la seconde forme de v^^ : pj£. Il viendra :

(—1) 2 - = — (— j) « mA:»»P>«(sû))P>(2TH.1)co

i = — * )t« i PX* (dû)) P> (2T -*- i )û)

En divisant ces deux égalités Tune par Tautrc, il vient :

^ ^ m, >«((Tû)) ^ '

L'exposant de ( — 1) dans le second membre doit être divisible par 4. Or, p— 1-4-5-1-1-4-7'— 1-4-p' = p — i-4-/)'— qrp-4-p'c=2p' -+- {q' — 1)(!— .p)=4a

p — i -4-5 — 1 -4-qr' — i -^p'^/^a — 2

On doit donc prendre le signe supérieur dans 5±1, c'est-à-dire, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, que n est positif W.

30. Déteitnifiatiofi des valeurs de l^î^ fjt,£, v^e au moyen de celle de VjS : |jtj£. Soit

-• - c= M« = ^ , d'où y« = ^ ;

w =— ' P ^^ = — A:"Pi*M . F?, e -4- (2T -4- 1) wl

On prouve, comme dans le cas précédent, que w*, et par suite i/*, ne change pas quand s augmente de 2w. Supposons que t/* s'annule pour 6 = 0; on déduira de cette hypothèse que le numérateur de y^ contient seulement les facteurs du produit

Cherchons maintenant la limite de y* : (i ± le) pour >£ = ± 1 ; cette limite sera nulle ou finie selon que izhle sera un facteur multiple ou simple de j/*. Or cette limite, à un facteur constant près, est égale à celle de

Mais |UL£ = quand 1 zb >£ = 0, et w* = j ; donc, puisque la limite ne doit pas être infinie, il faut que

j-= pour £ = K et par suite pour £ = K -4- 2aM

c'est-à-dire pour toutes les valeurs qui annulent y.

(1) RÔNrcsBERGER, § 8, Semble ne démontrer ce théorème que pour les transformations rationnelles ; mais ii est évident que sa démonstration s^étend à tous les cas, et non pas seulement à ceux qu'il considère dans son ouvrage.

Si le — >€7 est un facteur différent de i ± Xe, on trouve, à un facteur

constant près, que la limite de y : {le — >e,) est égale à celle de — : fxeve,

qui est nulle. Ces facteurs entrent donc au moins au second degré au numérateur de t/*. Ce numérateur est égal, à un facteur constant près, à

jXe|UL£P[>«£ — X«(s«)]|«;

car le degré de ce produit est égal à celui du numérateur de y^ calculé au moyen de u^^ et , par conséquent, on ne peut supposer ni que le numérateur contienne d'autres facteurs que ceux que nous avons indiqués, ni que ceux-ci aient un autre degré de multiplicité.

Supposons maintenant que y soit infini en même temps que x. On en conclura que le dénominateur de y^ contient tous les facteurs du produit

(— knh) P [x« — >« (K /^^ -4- sw)]

En cherchant la limite de -7 : (i zh A>s), nous trouverons que

du ^ , j

— = pour £=K-+-K'|/ — 1 -H 2aw

puis en prouve, comme plus haut, que tous ces facteurs sont des facteurs doubles à Texccption du premier. Le produit

I V£P[>«6 — >5(K'l/^ 4- ,SÛ))] J2

étant d'un degré inférieur d'une unité à celui du numérateur, est égal au dénominateur cherché de y*, à un facteur constant près; car, s'il y avait un facteur en \t de plus, on n'aurait pas t/ = x pour /£ = x . On peut donc écrire

y==--wî*«-ilp ^ ^

ve >«£ — X«(s«.*-KV— 1)

Pour trouver i — ?/• et i — /*y*, nous poserons t/* = U : V,

U et V seront premiers entr'eux, ainsi que V — U et V — /*U ; par conséquent, on aura, à cause de

V — U = mj P \}H - ).«(K'/^^-^ h]'' V— /«U = m\ P[>«£ — ;«((T»)]2;

d'où, pour i — y^ ei\ — /•?/*, les valeurs précëdcmment assignées, puisque

Les constantes m, m,, m,, /, /' se déterminent comme on l'a vu dans la recherche à priori de >j£, fx,s, v,e.

40. Vérification de la solution. Nous cmploirons la méthode de Jacobi. Soit

u l/i — X* • ti- , du du dv w

V ^1 )t«x« . v' ' '^ ^^ ^^ j/(i-x»)(i— AV)'

v' désignant le polynôme p[>*e — >'(K'j/ — 1 -4- sw)] de degré w — 2, w' un polynôme premier avec v' de degré n— i,w un polynôme de degré 2». On a ensuite, a étant constant,

U —-(v* — a'w') — TT -T- (v' — a'îf') = îi; ■ = w u'v' .

dx' 2 rfx' j/(i— x«)(1— Â:«x«)

Soit a* = 1 , V* — U* sera le numérateur de |ui,£, dont tous les facteurs en x sont au carré ; ils se trouvent donc à la première puissance dans la dérivée de v' — a*w*, et par conséquent, d'après l'égalité précédente, dans wu'v'. Aucun ne divisant u' ou v , ils se trouvent dans u?, qui est donc divisible par î/v^ — w*. En fesant a = / on prouve de même que w est divisible par ^i;« — /2ti«; comme le produit [/v^ — w* X j/v* — Ihi'^ est de même degré que w;, il en résulte que

w : l/(v^ — w«) (r« — Ihi^) = M'-* .

dy w dx

Or, r= — =

1 dx

Pour déterminer M', fesons x = dans la valeur obtenue pour cette constante au moyen de l'égalité précédente. On aura, d'après le n° 58,

1 dy [/i — x' [/i — fc*x' dy t/ 1^

M' dx i/i yi m/\ /« ^y2 dx X M

41. Transformation simple» Une transformation simple se rattache à cette transformation générale. Pour l'obtenir, il faut faire p = n, q = 0^ p' = 0, q'' = 1 , r = 1 . Alors,

K==M/iL, K'i/— l=ML'i/--T, « = — ?^^ =KV— i + --

Abel a le premier indiqué la valeur de ).j£ dans cette hypothèse et en a déduit la transformation de Landen(l).

§ II. Seconde transformation : q impair.

4^. Ce cas ressemble tellement au précédent que nous nous contenterons de donner les formules qui s'y rapportent. On trouve encore que n doit être positif,

R = p ML = (pw -H giK -f- /iK'f/ — 1 ,^e^^m ^^P ^'^-'l^ =:-(-1)^mit-P>(s^2Ta))

m, ^>«6 — >VK'i/IIT-t-(yû))

f^e >«e — >«{K'|/^=^-+-sco)

Vj£= 5 p ^ ^

fxe ).«6— )«(K'(/^=T4-s&))

(1) Sur les transformations de ce paragraphe, voir PlntroducUon historique, n® 12-li. La transformation du § suivant n'a pas encore été étudiée directement parce qu'on peut la déduire de la précédente.

A' (sw)

m. = — T— tP

*:--« X«(sû))>«((Tco)

On pourrait, comme dans les cas précédents, mettre ces formules sous plusieurs formes.