CHAPITRE IV

TRANSFORMATIONS RATIONNELLES OU y s'anNULE QUAND X DEVIENT INFINI

(p impair, (f pair, n pair).

§ I. Première transformation : q pair»

43. Valeur de X,£, |:Xje, v^e déterminées en supposant le problème possible. On arrive comme dans les cas précédents aux formules de la transformation. Dans les produits où entre X*, on peut remplacer sw et «rw par s« 4- K'j/— i et <Tû) -*- K'j/ — 1. Voici ces formules :

R = r ML = f(ù-hyK-^hK'l/—i

n(ù == ^K' i/HT— zR ML'|/ — i = <p'w -4- ^'K + fe'K'f/— ^

>(e + 2;ij&)) =>£, p(£ -♦- ''2n^(ù) = — ps, v(e 4- Sn^w) = — v£.

A*f — /'(crw)

>«f)«(KH.sw) a^£ = m,pfvf P— Ts ~-^ — r-

p,5 W, p5v£ >*£ — >*(R H- S(ù) >,è* m /f >-£ >*(.Sûi))

A* ( O'ûi) j — AS

^ ^ * ' )*£ — >* (ra)

, , ,,H-*'-i, ^[Àfi-^>(K-Ho-&))]«

^ ' X*£ — A'((yû«))

Plusieurs des expressions précédentes peuvent s'écrire au moyen des produits de la forme Pa(£ -+- 2T&>), P|jL[e -4- (2T -h i)w]. Mais, avant de donner les formules auxquelles on est ainsi conduit, nous chercherons la valeurs des produits analogues en X et en v, qui nous donneront des relations utiles. On a (I, 6, 45)

' + Wj«) = >(6'it?K'|/—iq=zK) = (—'!)* .— - = (— i)*

it> (-£') V / k).{—e')

En fesant s' = — sm — e, e' = — <rw — £, puis, £ = 0, et e— K'p/ — i , il vient

PÀ(e + s<ù)\{s(ù — £) = (—!) — = m=

p À« (so)) = m,, P X^M = (-!)* -f

'(sw) ^ ^ ' v«((yw) ^ ^ A:

On tire encore des mêmes formules

^-V!li i\ 1 ^ I

On trouve ensuite, en se servant de quelques-unes des formules précédentes et de la relation

P v{£ +. 2T&)) = (— 1)'"** "Ou+0 p p(£ -+. 2Tû))

P v[e + (2T -4- i)û)] =1 (— i) 2 Vî •*■ ; P fx[£ -t- (2Ï -+- 1)«]

Il résulte de là que si p^e : \^z et WjS peuvent s'exprimer au moyen des produits en p, ils peuvent aussi s'exprimer au moyen des produits en v, mais non au moyen de ceux en >. Ces fonctions peuvent d'ailleurs s'exprimer au moyen des premiers produits, car

PjS mj psve \H — >*(K -h sw) m, , ^ >^(gM)

X,e "^ m ">r )«£— >î(R'/ZT+s&))""^ * ^'M

ttSvS

Or, on trouve d'après une formule de ce numéro et (I, 16)

£HhDZl

tx(sw —£)= — fx[£-+.(2/i,— .s)&)] et Y — 1 — =(— 1) Afx(6-4-n,û))

le signe supérieur correspondant au cas où n est positif, le signe inférieur au cas contraire. On tire de ces formules, après quelques transformations :

De même v.. = m, P -j^-^

Ou peut encore mettre sous une forme analogue les formules qui donnent (1 d= /jS) : /,£, et 1 db l\^i. Voici les résultats auxquels on est conduit :

l-(-if^),£ -( if-^"'./,p ['-Ms-^2T(o)]

^ ^^dim* , , ^;- \ -4- >[e + (2T + 1)»]

p*((j&)) 44. Détermination des cotistantes. On a par le n° 23 (C, G, H)

MmÂ' = (— 1)* m, = — (— 1) « ^ m« = (— i)«

et, en fesant £ = K dans >j£ et j^z

d'où,

et

fx« (SW)

/'=(-.1) . p LSAl =(-..1). ^p,*(^eo).

Pour obtenir /on fait £ = K -♦- w dans X,e, ce qui donne la valeur suivante que l'on peut transformer de diverses manières :

Enfin, en fesant s = « dans ll^e : X,6, et e = dans v^e, mis sous forme de produit de facteurs de la forme fx(e -♦- 2T&)) etc., il vient, après quelques réductions,

égalité qui n'est vraie que si Ton prend le signe supérieur de ± 1 ; donc n doit être positif.

45. Vérification de la solution. Nous déduirons la valeur des diverses fonctions t/, [/l — y*, etc. de Tégalitc

Il résulte immédiatement de cette égalité que i ±: ly, et [/ i — /*j/* ont la forme qui leur a été assignée; ensuite que y ne change pas quand 6 augmente de 2&), enfin que y et iàzy s'expriment rationnellement en h. Nous supposerons y = 0, pour x = 0, ou e = 0. II en résulte que le numérateur de y contient les (w -r- 1) facteurs de

Si on suppose que y = pour x = x , comme le dénominateur de i ±ly et de y contient n facteurs du premier degré en x, il en résulte que y n'a pas d'autres facteurs au numérateur que ceux que nous venons d'indiquer.

Soit y = (.-i) pour e = K; on trouvera encore la même valeur pour e = K 4- s(ù. Tous les facteurs trouvés précédemment au numérateur de

i — ( — 1) ' >i6 sont donc dans celui de i — ( — 1) ' y. Il reste à prouver que leur degré de multiplicité est le même et qu'il n'y a pas d'autres facteurs. Pour cela désignons par 1 -t-jx l'un des deux facteurs i — Xe,

1 — ( — i) *kle; la limite de [i — (— i) ' y] - [^ '^j^]^ quand i -i-jx=0

sera finie ou nulle, et égale à un facteur constant près à celle de

dy dy ^ dx de

d%i Or |:x£v£s=0 en même temps que 1 -ï-jx ; donc -j = 0, quand i + jx=0.

3Iais — ne change pas quand s augmente de 2«. Par conséquent, si >e — ^e^

est un des facteurs différents de i -t-jjc trouvés au numérateur, pour e = Sj^ on aura

i— (— i) « V JLzl dz lim — -> ^- — ^^ = — (— i) * hm =

Chacun des facteurs Xe — isj est donc au moins un facteur double. On ne peut pas supposer un degré de multiplicité supérieur à ces facteurs, ni qu'il y ait d'autres facteurs, ni que les deux facteurs i + jx soient à

une puissance supérieure à la première, sans que Ton ait 1 — ( — 1) * y = «© pour X c= X , ee qui est contraire à l'hypothèse t/ = pour x = oo . Ainsi 1 it y, |/ i — t/* ont la forme assignée précédemment. D'ailleurs , on cherche les constantes comme dans le cas où l'on opère à priori.

La vérification de la solution par substitution dans l'équation différentielle peut se faire très simplement par la méthode d'Abel donnée dans le second chapitre (i).

46. Transformation simple. Si on fait p=^i, ^=0, p' = 0, q'e^Hy r = i , on trouve la valeur suivante de w, qui conduit à la dernière transformation simple qui ait été étudiée.

K'i/^^+ nK ,, K'|/^I^

(1) Voir sur celte transformation et celle du paragraphe suivant l^Introduction historique, n»" 13 et li.

§ II. Seconde transformation : q impair.

47. Voici les formules qui se rapportent à cette transformation; n est encore un nombre positif,

R = r ML = (pw ^ yK H- hK'[/^^i

nw = ?K /^^ — zK ML'j/^ = (p'w 4- g'K -+- h'K'i/^^

>(£-*- 2n&)) = le, u (s -4- 2/iw) = — jule , v (s + 2/iw) == — vs

>,£ = m>eP-^ ^

>'e — /' (<Tûi))

)2£ — X«(K + dw) ^ ah -+- (2T -t- !)&)]

V £c=Waev£P — ,- r— r— ^

l-(-i) i.e=,„.p4,^^lp^ = (-l)',«,P ^;,(;^5