CHAPITRE II

LA THiâORIE DE LA MULTIPLICATION ET DE LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLiPTlQUES DEPUIS LA DÉCOUVERTE DE LA DOUBLE PÉRIODICITÉ.

9. Travaux {]{'Abel sur la multiplication des fonctions elliptiques. Vers 1826, Abel, (1802-1829) eut Tidée de regarder la limite supérieure de l'intégrale elliptique de première espèce comme fonction de cette intégrale et d'introduire dans l'étude de cette nouvelle transcendante la considération des valeurs imaginaires de la variable. En exprimant le théorème de l'addition au moyen de cette fonction, il découvrit la double périodicité, puis il se servit de cette dernière propriété pour aborder le problème de la multiplication (1). Voici comment il arrive aux formules fondamentales pour la

Jacobi, lettre du 5 août 1827 à Legendre, vers la fin (Annales de l'école normale supérieure^ t. VI, p. 127 et suivants). — Bobchardt s'est occupé de la moyenne arithméticogéométrique (Crelle, t. 88, p. 127), mais Bebtband (Cale, diff., p. 216), lui attribue à tort réquation différentielle à laquelle elle satisfait ; cette équation se trouve dans Gâuss, III, p. 560 sqq.

(1) OÉuvres complètes, I, XIl, p. Hi-iH (Crelle, t. 2). La notation d'Abel dans ses premiers mémoires est la suivante :

dx

Cette notation est éminemment propre à conduire à la découverte de la période imaginaire, puisque en changeant x en z]/ — 1, £ en vj^/ — i, on trouve

•/) = I /^ ==. ; ?(^{/'^,c,e) = |/:=7 y (•/],c,c), etc.

Cesi aussi celle qu'il est préférable d'employer quand on étudie la lemniscate. Dans ses

fonction 1 dans le cas de la multiplication par un nombre impair. La méthode est analogue pour les autres fonctions et pour le cas de la multiplication par un nombre pair(l).

Le théorème de l'addition donne X(2«î) en fonction A (ne), |tx(«£) et v(m) et A(;i 4- 1)£ — ^n — i)î au moyen des mêmes expressions et de Ae, pe, vs. On déduit de là que, dans le cas de n pair, l^nz) : ie/'e, et dans le cas de ;i impair, l{nz) : Xs est une fonction rationnelle de i*Ê. Posons

l{ni) = -J^ = 0{h) = ex (a)

Au moyen de la double périodicité, on prouve que les racines de cette

équation en x sont les valeurs distinctes de l'expression :

r ^, 2aK+26Ky— l] ,..

a et 6 étant des nombres entiers quelconques. Cette formule donne n' valeurs pour X dont aucune n'est une racine multiple de l'équation (a); car s*il en était ainsi pour l'une d'elles, elle satisferait aussi à l'équation

d9x dx

qui est indépendante de s; ce qui est absurde, puisque toute racine (|3) est fonction de e.

En fesant ne = et ne = K'^/ — i , Péquation (a) deviendra P^ = 0, Q» = et on déduira de ((3) les racines de ces équations. Mettons l'équation (a) sous la forme

QnX(n2) = Pn. (y)

En exprimant la somme de Sx et le produit Px des racines au moyen des coefficients, on trouve

1 (nî) == ASx, 1 (m) = BPx , {S)

mémoires ultérieurs, Abel emploie la notation > ; MM. Briot et Bouquet par analogie, ont appelé fx et V les deux autres fonctions. Jacobi et la plupart des géomètres écrirent sinam, cosaiHj ^ain au lieu de >, |x, v et Gudermann abrège ces notations en sn, en, dn, M. Lamé, dans ses Fonctions inverses, nous semble avoir prouvé que, contrairement aux apparences, la notation par Tamplitude de Jacubi voile les analogies des fonctions elliptiques avec les fonctions trigonométriques et exponentielles.

(\) OEuvres, !, XII, p. 154-165; 186-19-1. Le même mémoire contient une nouvelle démonstration du théorème de Paddition, la théorie de la division avec application à la lemniscate, et celle du développement des fonctions elliptiques en séries et en produits infinis o découverte, dit Lejcunc-Dirichlct, qui est plus importante que celle de la réHolubililê des équations de la division, a

A étaol une constante que Ton détermine en fesant s = K' ^ — \ , B une autre constante que Ton détermine en fesant z = 0. La dernière formule se transforme aisément en la suivante :

Xnï) = «P ^ , (5')

pj et p^ ayant la signification indiquée dans notre mémoire.

Abel ne donne les formules ((î) et (3') que pour n impair. La méthode employée pour y arriver ne réussit pas dans le cas de n pair, mais on doit remarquer que la formule ((î') peut se déduire de la connaissance des racines de P„ = 0, Qn = 0, et que de (^) on peut tirer ensuite une formule analogue à la première des deux formules (<î).

Abel a perfectionné plus tard cette solution du problème de la multiplication au moyen d'une méthode de calcul de proche en proche de A (ws) qui donne cette expression sous forme irréductible (0. Les formules qu'il emploie pour cela sont les suivantes :

x^(2ne)== ry^(g^)i'

mn^W = X>£)-XH/i-i)s __ /(;i£)X-(n-i)£~X(H-^l)s//(n£)

^ ^ X(w£) X'(n— 1 )£ —\n — \ )£ i'(n£) i — A:«X« (n — \ )û' (ne)

Si Ton suppose i(n£), fx(/i£), v(/i£) exprimés au moyen de le, on voit facilement que le second membre de la seconde formule est une fraction irréductible. Si on suppose en outre À*(;i — 1)£ exprimé au moyen de le, aucun facteur en ^e ne peut être commun au numérateur et au dénominateur du second membre de la première formule. Car si Iz — lz^ était un pareil facteur, on aurait à la fois

A«(n£,) = A«(/i - 1)£, et i — k^l^ne^)l^n — 1)£, = 0.

(1) OEuvres, XX!, ch. I, § -4, p. 546-549. L'auteur montre en outre comment son théorème général sur Paddition des fonctions elliptiques peut donner la solution du problème de la multiplication.

On déduit de là, i*(/i£,) = i*(/i — l)-, = db y • Mais de la dernière formule

on lire les suivantes :

^nz^)ll{n — i)z^v{n — i)î^ = l{n — i)î^ll{ns^)v(ne^) =

qui sont incompatibles avec ces valeurs de ^^\n^^) et /*(n — i)e,.

Abel trouve ainsi que P„ est du degré w*, Qn du degré n* — i en x, quand n est impair, que Pn : /'s est du degré n^ — 3, Qn du degré n* dans le cas de n pair; que tous les coefficients de ces deux polynômes sont des fonctions entières de A*, enfin que celui de x* dans Q„ est toujours nul.

10» Autres travaux sur la multiplication. Le principal progrès de la théorie de la multiplication est dû à Jacobi. Outre qu*il a déduit la solution de cette question de celle de la transformation, il a trouvé une construction géométrique plane de i(w£) au moyen de Xe, et même k{m:^a) en traitant une question en apparence élémentaire, qui est connue sous le nom de problème de FussW, Ces recherches de Jacobi ont été Forigine de plusieurs autres travaux sur la même question ou sur des questions analogues (2). Mais l'illustre géomètre a aussi étudié directement les formules de la muitiplication : le premier il a remarqué que le numérateur et le dénominateur de ces formules satisfont à une équation difTérentielle très-simple, et montré que l'on pouvait trouver sans peine des relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur. Voici comment on procède pour cela. Soit, par exemple, n impair^ iç=a;, on aura

A(ne) = -

+ 6jX* -t- b^x* -4- ... + 6n«-.|X***-"*

Soit e remplacé par e-*-K'|/ — i, il est facile devoir que cette formule devient

>/ X 6,18— |X -4-6ni-3AV H -4-i»«-«X«*

Mm) = T-r-z — :— : •

En identifiant ces deux expressions, on trouve de nombreuses relations

(i) Jacobi, Crelle 3, p. 57(5. Il en déduit la transformation de Landen, Crelle 32, p. 357. Le premier travail de Jacobi est rapporte dans Legendre, dans Verhulst, et dans plusieurs traites sur les fonctions elliptiques.

(2) RiCHELOT, Crelle 5; p. 250 et 38, p. 353. Mention, Bulletin de St PétersOotirg, 1859, p. 15, 33, 507. Sur la question au point de vue géométrique, voir Poncelet, Propriétèn projectivesj section IV, ch. 11, Ciiasles, Géométrie supérieure^ p. 580; Poncelet, Applications (V analyse et de géométrie^ t. l*"", p. ^486 et suiv., où Ton trouve une notice bibliographique sur la question et une note remarquable de M. Moutard.

entre les a et les 6. Si on veut obtenir la valeur de a^ ou le rapport 6"* — * : ans— 1 il est évident qu'il suffit de faire £ = () dans les deux valeurs de l{ne) : x. On peut aussi, au lieu de faire cette substitution dans la seconde, faire e=K'|/. — 1 ou x = oo dans la première (0.

Les recherches ultérieures des géomètres sur la multiplication ne sont guère que le développement des idées d'Abel et de Jacobi. Sanio eu 1835 étudia la multiplication par un nombre pair. Il donne la méthode de calcul de proche en proche d'Abel, et cherche ensuite les facteurs du numérateur et du dénominateur de ?.(/»£), ii(nz)y v{nî) au moyen de la double périodicité; les facteurs linéaires trouvés étant en nombre égal au degré du numérateur et du dénominateur, degré donné par la méthode d'Abel, il en conclut que chacun de ces facteurs est simple. Il trouve comme Abel les formules qui sont relatives aux sommes dans le cas où n est pair et s'en sert pour étendre la multiplication aux intégrales de seconde et de troisième espèce. Il démontre les formules sur les produits PÀ*r, etc. dont il a besoin, en remarquant que r^ peut être remplacé par K'^ — i — r^ (2).

GuDERMANN n'cmploic pas la méthode d'Abel pour trouver A{7it) sous forme irréductible, de sorte qu'il suppose implicitement, sans démonstration, que les facteurs du numérateur et du dénominateur sont simples. Mais, à cela près, son livre contient une exposition complète de la théorie de la multiplication; il cherche les relations entre les coefficients du numérateur et du dénominateur et s'en sert pour trouver les formules sur les produits PX«p, etc. (3).

Broch a suivi complètement Abel dans la question de la multiplication;

(1) Il résulte évidemment de cette dernière remarque que la méthode suivie pour trouver les produits P).*p| etc., dans notre mémoire (voir plus bas) ne diffère pas au fond de celle qui est donnée dans Broch et Gudcrmann d'après Jacobi. Notre exposition est plus simpICf parce que nous ne mêlons pas la détermination des coëflicients à celle de ces produits. Les recherches de Jacobi sur la multiplication se trouvent dans Crelle 3, p. i05, ^, p. 185 et 50, p. 269 oiî il démontre des formules données par Eisenstein. Disons en passant que la plupart des recherches de celui-ci sur les fonctions elliptiques et leur emploi dans la théorie des nombres ont été réunies dans un volume, publié sous les auspices de Gauss, avec le titre : Mathematische Abhandltmgen besonders aus dem Gebietc der hohetm Arilhmetik und de?' Elliptischen Functionen von Eisenstein (Berlin, Reimer, iai7).

(2) Crelle, 1^, p. 1 et suiv. Nous employons les mêmes notations que dans notre mémoire.

(3) Théorie der Modular Functionen, etc. Abschniti Xllf.

il a montré en outre comment la méthode de proche en proche du géomètre norwégien combinée avec la remarque de Jacobi sur les coefficients pouvait donner les plus importants de ceux-ci (1).

Briot et Bouquet ont seulement esquissé la solution du problème de la multiplication dans leur ouvrage sur les fonctions périodiques où ils ont profité des indications contenues dans Abel et Jacobi (2). Gayley et Baehr se sont occupés du calcul effectif des coefficients du numérateur et du dénominateur (^) et Brioschi a écrit les formules de la multiplication au moyen des déterminants W. Ces derniers travaux n'ont que très-indirectement rapport à ce qui fait Fobjet de notre opuscule.

Il n'en est pas de même d'un mémoire de U. H. Meyer. Celui-ci cherche d'abord comme Abel le degré du numérateur et celui du dénominateur de /^(ns) en A*£, que n soit pair ou impair. Il en conclut sans peine que dans les deux cas

X*(nE,)

où z^ et c, sont des constantes arbitraires, est égal à une fraction rationnelle en i*£, dont le numérateur et le dénominateur sont de degré n* par rapport à /*c. La double périodicité donne immédiatement cette fraction rationnelle; elle est égale à

,, . / î2aK-*.26KyirT\

xn x^ (., . M±!^v:=:i)

a et 6 recevant toutes les valeurs entières qui donnent des facteurs distincts. En fesant nz^=' K'j/ — 1, on arrive à la valeur de

Puis si i(?ic,) = 0, =i, = yr , on trouve X*(m£), fx'(n6), v*(n6). Dans cette

méthode, une seule formule donne les valeurs des trois fonctions, tant dans

(1) Théorie élémentaire, etc., ch. V.

(2) Théorie des fonctions doubt. périod., liv. V, ch. II. Paris, Mallet-fiachelier, 1859.

(3) Cayley, Crelle 37, p. 58. Baehr, Archiv. de Grunert, t. 36, p. 125. (i) Brioschi, Comptes rendus 59, p. 709.

le cas de n pair que dans le cas de n impair. Nous verrons plus bas que Meyer a étendu sa méthode à la théorie de la transformation (0.

11. Solution du problème de la transformation par Jâcobi. Jacobi (1804- 1851) fit connaître la première solution générale du problème de la transformation, presqu'en même temps qu'Abel publiait celle du problème de la multiplication et de la division (2).

(i) Archiv. de Gtmnert, 16, p. 36^ et siiiv.

(2) Les Annales de l*Ècole normale sup., VI, cah. 2 et 3, p. 127-177 (1869), contiennent onze lettres inédites de Jacobi à Legendrc, précieuses surtout parce qu'elles nous font connaître la marche suivie par le géomètre allemand pour arriver à son beau théorème. Voici un passage conGdentiel de la lettre du 12 avril 1828 : « Vous auriez voulu que j'eusse donné la chaîne des idées qui m'a conduit à mes théorèmes. Cependant la route que J'ai suivie n'est pas susceptible de rigueur géoméli-ique. La chose élant trouvée on pourra y substituer une autre sur laquelle on aurait pu y parvenir rigoureusement. Ce n^est donc que pour vous. Monsieur^ que j'ajoute le suivant. » Voici la chaine des idées dont parle Jacobi. Il reconnut d'abord au moyen des coëlTicients indéterminés que le problème est possible en général. (Cf. Fundamenta, §^ 3, ^, 10.) Par la même méthode, il trouva les transformations relatives au nombre 5 et au nombre 5. La ressemblance de la transformation relative à 3 avec la formule de la multiplication par 3 lui fit soupçonner quelque rapport entre ces deux questions; par tâtonnement il découvrit la transformation qui combinée avec celle qu'il possédait déjà, donnait la multiplication par 3. II écrit alors (13 juin 1827) sa première lettre à Schumacher sur les transformations relatives à 3 et à 5. II s'aperçoit ensuite que le numérateur, dans la transformation se rapportant au nombre 3,

(2K\ — ]; il en conclut par induction la composition du numérateur

et du dénominateur de la première transformation rationnelle simple pour un nombre quelconque et il écrit sa seconde lettre à Schumacher (2 août 1827). Trois jours après il est en possession d'une idée nouvelle : il a songé à introduire les imaginaires dans la théorie des fonctions elliptiques, et grâce à cela, il peut déduire l'une de l'autre les transformations supplémentaires dont il était en possession. C'est alors qu'il communique toutes ses découvertes à Legendre (5 août 1827). Il n'avait pas encore alors la démonstration des formules générales trouvées par tâtonnement et communiquées à Schumacher. Celui-ci soumit d'abord la découverte de Jacobi à Gauss, et publia ses deux lettres seulement en septembre, dans le n» 123 des Astronomische Nachrichten. Le 18 novembre, Jacobi envoya à Schumacher la démonstration des formules des tranformations simples rationelles, et elle parut en décembre dans le n® 127 des Astr. Nachrichten. La seconde lettre de Jacobi à Legendrc est du 12 janvier 1828. Il y analyse la découverte d'Abel qui avait paru dans le n° 2 du journal de Crelle. Ignorant la date de la publication de ce numéro, nous ne pouvons savoir si les idées d'Abel ont pu contribuer à faire trouver à Jacobi la démonstration de ses théorèmes. £n tout cas, il est certain que Jacobi n'a pas connu la transformation relative au nombre 3 trouvée par Legendre et identique à la sienne; et personne ne doute que Jacobi et Abel ne pussent faire chacun de son côté toutes les découvertes de l'autre s'ils ne s'étaient prévenus mutuellement.

Les lettres de Jacobi sont très-intéressantes à un autre point de vue encore; elles peignent au vif le caractère du grand mathématicien. Nous signalons surtout au lecteur curieux la dernière lettre où il mêle l'histoire de ses recherches sur les perturbations célestes à celle de son mariage.

Soit, ditril, à chercher une solution rationnelle de

dy dx

Posons y = U : V, U et V étant des fonctions entières de x, la première de degré jo, la seconde de degré p, ou de degré inférieur. On trouvera

dx y du — UrfV

Y = AV* -*- BV'U H- CV-U* -*- DVU' + EU*.

En exprimant que Y : f^x est un carré T*, on trouve un nombre d'équations de condition égal ou inférieur au nombre des coefficients indéterminés de U et V. Il en résulte que le problème est ramené h la recherche de M, M étant tel que Ton ait :

T dy i dx M =

-.rfV „rfV

Or par un raisonnement dont nous donnons un exemple {Mémoire, n° 40), on prouve que M est une constante. Ainsi, en général, la transformation proposée est possible.

Au moyen des mêmes principes, Jacobi prouve ensuite que le problème de la transformation se ramène à la recherche de l'intégrale de Féquation

dy dx

et que Ton peut supposer, si y = U : V, que U est une fonction impaire de degré n, V une fonction paire de degré n — \ en x, n étant un nombre entier impair.

Avant d'aborder la recherche de y pour n quelconque, il suppose n=Z et n=5 et arrive par les coefficients indéterminés aux transformations simples relatives à ces deux nombres. Il en déduit ensuite la multiplication par 3 et par 5 en effectuant successivement les deux transformations. A partir de là, Jacobi n'emploie plus la méthode des coefficients indéterminés; il a recours presque exclusivement à la double périodicité.

Il n'indique pas par quelle voie il est parvenu aux formules générales de la transformation, mais on sait maintenant que c'est par tâtonnement et

induction qu^il les a trouvées. Il se donne la valeur de 1 — y sous une forme d*où il déduit la suivante :

tt désigne la quantité (mK-t-wi,K'j/ — I) : n, m et m^ n'ayant pas de facteur commun qui se trouve dans n, et les autres lettres ayant la même signification que dans notre mémoire. Si on suppose t/ = quand x = 0, on déduira aisément de là les valeurs pour lesquelles y s'annule et par suite l'expression de y. Pour trouver i — ly supposons que y se change en {lyY^ quand x se change en (/rx)~*, la formule qui donne i — y se transformera en une autre qui donnera (I — ly)'ly* Les valeurs de j/l — t/* et de j/i — /*y' s'obtiennent ensuite avec la plus grande facilité. Les constantes M et / résultent des hypothèses faites sur y. Enfin la vérification de la solution se fait comme nous l'indiquons dans le mémoire (n*" 40). Jacobi expose en outre^ d'après Legendre, une autre vérification de la solution plus

directe que la sienne même, et il cherché y, j/l — y*, [/i — /*y* en sommes par le procédé qui a donné les formules analogues à Abel dans le problème de la multiplication. Enfin il déduit des formules générales, celles qui se rapportent aux transformations simples, les transformations complémentaires et supplémentaires et en tire la solution du problème de la multiplication.

La méthode de Jacobi pour la transformation a été exposée pour les transformations simples par Legendre, Poisson, Lamé. Le dernier a très bien fait voir l'analogie des formules trouvées pour les trois fonctions, en introduisant dans les formules ce qu'il appelle le complément naturel. Gudermann a exposé la transformation générale dans son traité sur les fonctions elliptiques (0.

(1) La solution de Jacobi est exposée dans la première partie des Funda)nen(a, dans Legendre, t. III, supp. I et 111, §1 du Traité des fonctions elliptiques, Poisson, Mémoires de l'Institut, X, p. 73-119; Lamé, Fonctions inverses, leçons X-XII, Gudermann^ Théorie, etc., ab. XIX. — Comme complément et commentaire des Fundamenta, on peut citer les onze lettres de Jacobi à Legendre et les mémoires du même auteur contenus dans Crelle,5^ p. 191, 192, 303, ^3; ^, p. 185. Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce et les sommes Jacobi, Crelle, ^, p. 371 ; 6, p. 397. Sur les équations différentielles auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur des formules de la transformation, lÊ^iZE^^iEUi Math. Abh., p. 207 et suiv.; Jacobi Crelle, 3, p. ^Z\ 4, p. 185; 6, p. 371 ; Cayley, Crelle, 37,p, 58; 39, p. 16;

Jacobi, outre la solution que nous venons d'esquisser, donne dans les Fundamenta ou dans ses mémoires, la théorie des équations modulaires et les formules pour la transformation des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce, grâce aux fonctions au moyen desquelles il les exprime. Il signala le premier les équations différentielles remarquables auxquelles satisfont le numérateur et le dénominateur des formules de la transformation, et s'occupa en même temps qu'Abel de la multiplication complexe. Dans un de ses mémoires, il retrouve toutes les formules de la transformation, en partant directement de la considération de certaines sommes.

12. Travaux cI'Abel sur la transformation. Abel semble avoir trouvé la solution du problème de la transformation, sans connaître les travaux de Jacobi. Mais ses premières recherches sur ce sujet ne parurent que quelques mois après celles de Jacobi sur les transformations simples. Nous indiquons plus bas {Mémoire, n*» 34), comment Abel vérifie la solution du problème de la transformation. Nous allons faire connaître la méthode qui le conduit aux formules fondamentales.

Il considère la fonction

J^x = (p9 = S?.(£^Tû))c=X0ri -hS- > ^'S?rl J = mxP

où &)=(4iw'K + 2^K'j/ — \ ) : w, ^ ou m' étant premier avec n, et x représentant i0. En faisant x = oc, on trouve la valeur de wi, et en fesant x = 0, celle de ^x : x. La théorie de la double périodicité donne ensuite :

(Dt — ^x=-—V[x-' ).(£ -h Tco)] : P [x« — X*(K'/I^ —?«)].

il, p. 85 \ ËisEiNSTEiN, Math. Abh., p. 207. Sur la multiplication complexe, Jacobi, Annales de Vécole noi'/nale, VI, p. 139; Crelle, 3, p. 192; Abel, OEuvres, I, p. 2i2, 272, 285; Hoffmann, Crelle, 48, p. 332 ; Kronecker, Joiamalde Ltouvt/to (1858), p. 265; Kônigsberger, die Transformation, die Multiplication und die Modulargteichungen der elliptisclien Functionen (Leipzig, Teubner, 1868), § 31, p. 150; Briot et Bouquet, § 223, p. 274. Sur les équations modulaires, JacobI; Crelle, 3, p. 182; Annales de Vécole norrn. sup., lettre du • i2 janvier 1828; Fuwdam, § 29, p. 66; Gutzlaff, Crelle, 12, p. 173; Sohnke, Crelle, 12, p. 178; 16, p. 97; Schrôter, Crelle, 58, p. 378. — Jacobi a étendu aux intégrales multiples ses recherches sur la transformation, Crelle, 2, p. 234; 8, p. 283, 321 ; 10, p. 101. Nous signalons encore ici sur la transformation les écrits suivants où le problème est abordé au moyen des fonctions G : Eisenstein, Crelle, t. 30, 32, 35. (Beitràge zur Théorie der elliptischen Functionen) ou Math. Abh., p. 159 etc.; Raabe, Crelle, 15, p. 191; Hermite, Crelle, 60, p. 304; Journal de Liouville, 1863, p. 289; Comptes-rendus, t. 46, p. 171. Kônigsberger, die Transf., etc.

Pour £==0, nous trouverons ^x. Soit ensuite i/ = M'|x, M(pK = 1 , M/(p(K'j/ — 1 ) = 1 ; fesons s = K, et • = K'j/— 1, la formule précédente nous donnera i =fcy, 1 ±/y et par suite toutes les formules fondamentales de la transformation.

Telle est la marche suivie par Abel; elle s'appuie sur la double périodicité plus que celle de Jacobi, mais comme celle-ci, elle procède par vérification (i). Tous les efforts du géomètre norwégien, à partir de ce premier travail, furent employés à démontrer que Ton pouvait parvenir d'une manière systématique à cette solution et à prouver que le problème de la transformation, conçu de la manière la plus générale, se ramène au cas ou y est rationel et de degré premier en x.

Il parvint à faire voir comment on est amené nécessairement à considérer la somme ^x dans un beau mémoire qui parut dans les Astronomische Nachrichten et que Jacobi déclara, avec une véritable injustice envers luimême, au-dessus de ses propres travaux; voici comment procède Abel. Il cherche par les coëfflcients indéterminés les solutions du premier degré en X. Soit ensuite î/ = U : V une solution rationelle de Téquation différentielle de lu transformation, U et V étant des fonctions de x. Appelons SXs la somme des racines de y = U : V, en considérant ?/ comme constant. En la mettant sous la forme Vy=U, on trouvera par la théorie des fonctions algébriques que Ton a :

ff 97 f> 9' ^^^^^ ^^^ constantes. Donc si SX£=(p£,

La recherche de y est ramenée à celle de la somme (p£ et la théorie de la transformation peut dès lors s'établir à peu près comme dans le premier mémoire. L'auteur examine le cas ou f =g^ = 0^ et diverses particularités dont nous ne pouvons pas parler ici. Quand on a une transformation d'un degré donné, toutes les transformations de ce degré, peuvent en être déduites au moyen de celles du premier degré. Dans un autre mémoire,

(I) OEuvres complètes, I, XII, p. 230-252. Abel crut d'abord que Jacobi n'avait connu que les transformations simples, mais, en même temps que son mémoire, en paraissait un de Jacobi qui s'occupait des transformations imaginaires.

Abel applique cette méthode à la recherche de toutes les transformations dans le cas où Ton suppose -les modules réels et à cette occasion il donne la première formule pour les transformations paires qui ait été trouvée. Cette méthode de recherche conduit naturellement à l'étude de la multiplication complexe et à celle du nombre des transformations relatives à un nombre donné. Abel, pour une des transformations simples, vérifie la solution au moyen des développements en produits infinis, ce qui est le premier exemple de l'application de ces développements à la question de la transformation (1).

Enfin, Abel reprit une dernière fois la théorie de la transformation sous un point de vue plus général : il se propose de chercher la relation linéaire la plus générale qui puisse exister entre les intégrales elliptiques, les fonctions logarithmiques et les fonctions algébriques d'un nombre quelconque de variables, liées entr 'elles par des équations algébriques. Ce problème, d'une si grande généralité qu'il semble inabordable, de quelque manière que ce soit, Abel, parvint à le ramener à celui que Jacobi et lui-même avaient résolu ; c'est-à-dire , à la transformation rationnelle dans le cas d'un nombre impair, et même Abel montre que l'on peut supposer que n est premier. Nous ne pouvons pas donner ici une idée de ces recherches; nous dirons seulement qu'il repose sur le théorème de l'addition des intégrales elliptiques ou abéliennes en nombre quelconque dont Abel était déjà en possession en i826 et dont Jacobi signala tant de fois la portée immense avant d'en déduire lui-même les fondements de la théorie des fonctions abéliennes (2).

13. Travaux de Plana, rf'IvoRV et de Sanio sur la transformation. La découverte de la solution générale du problème de la transformation eut un grand retentissement, et immédiatement plusieurs géomètres se mirent à l'œuvre pour perfectionner ou étendre la nouvelle théorie. Le premier de tous. Plana, publia, dès 1828, un mémoire où il montre que le problème est possible par la méthode des coëflicients indéterminés. Mais il ne semble pas avoir compris à cette époque l'importance de la découverte de la double

(1) Voir Mémoires, XIII, XIV, XVH du tome \" des OEuvr es complètes.

(2) Précis (Tune théorie des fonctions elliptiques ^ OEuvr. compL, XXÏ, p. 326-109 j interrompu par la mort, ^r Abel, voir le jugement de Jacobi, Lettre à Legendre du M juin 1829. Sur le théorème d^Abel, Jacobi, Lettres à Legendre du 18 ^anmer 1829, ^juillel 1850, 27- ma/ 1832 et Crelle 8, p. 413, 9, p. 39i; 13 p. 5b.

périodicité, car il ne sait comment déterminer les coefficients du numérateur et du dénominateur des expressions dont l'algèbre lui a donné la forme générale. Trente ans plus tard il reprit encore cette question ; mais il semble, dans ce nouveau travail, ne pas vouloir user encore de toutes les ressources fournies par la double périodicité, et son mémoire est bien loin de contenir une méthode simple et naturelle pour arriver aux formules de la transformation (1).

IvoRY, en 1851, s'est occupé des transformations simples rationnelles. Son mérite principal est d'avoir montré plus explicitement que Jacobi comment la double périodicité peut faire découvrir les facteurs du numérateur et du dénominateur de la transformation (2). Mais il admet sans démonstration, pour ainsi dire, que ces facteurs ne sont pas multiples. C'est là que l'on trouve pour la première fois les calculs détaillés se rapportant à une transformation paire ; mais nous ferons remarquer qu'Abel avait déjà indiqué les formules principales. Ivory effectue la vérification de la solution et la recherche des transformations complémentaires d'après Jacobi l3).

Un travail plus important est celui de Sanio, publié peu après (1855). L'auteur s'occupe des transformations générales que nous avons appelées de seconde et de troisième classe dans notre mémoire. Dans la transformation irrationnelle, la marche suivie est calquée sur celle de Jacobi dans les Fundamenta pour la transformation rationnelle de degré impair. Sanio en déduit, par passage du réel à l'imaginaire, la transformation de troisième classe ;

(1) Mémoires de Turin, lf« stfrie, t. 23, p. 333-557 (1829; mémoire présenté le 15 juin 1828); 2d« série, t. 20, p. 189-295 et i23-429. Dans sou premier mémoire, il disait : « On ne comprend pas facilement par quel enchaînement d'idées Jacobi a pu être naturelletnent conduit à la forme singulière qu'il attribue à une certaine fonction rationnelle d'une seule variable qui constitue la base et le point de départ de sa transformation. Le hasard ne saurait en fanter un résultat aussi profondément caché. » Dans son second mémoire (p. 254), Plana déclare qu'il doute beaucoup que Jacobi ait pu parvenir, comme le dit Legendre, à son théorème par les coefficients indéterminés. Nous savons maintenant que Legendre était bien informé.

(2) On pouvait voir déjà cela très bien dans les mémoires d'Abel insérés n» 138 et 147 des Astronomisdie NachfHchten, mais ces mémoires semblent n'avoir pas attiré l'attention autant que ceux qui furent publiés dans le journal de Crelle. Ivory comme Plana fait des reproches à l'analyse de Jacobi « The démonstration of M. Jacobi require long and complicatcd calculations ; and it can hardly be said Ihat the train of déduction lead naturally to the truth which are proved, or présents ail the conclusions which the th^ry embraces in a connectcd point of view o (p. 551). Au moins la démonstration de Jacobi est rigoureuse, tandis que celle d'Ivory ne l'est pas.

(3) Philosophicat Transactions, 1831, p. 549-377.

ensuite il établit directement les formules concernant celle-ci. Il traite encore comme Jacobi la transformation des intégrales de seconde et de troisième espèce. A notre avis, ce travail de Sanio pèche en un point essentiel. Pour arriver aux formules de la transformation, il se donne la valeur de y, et en déduit celle de i — y*; ensuite de celle-ci la valeur de i — /*y'. Or, pour trouver la valeur de i — î/*, voici comment il raisonne : y* est d'après la valeur de y, une fonction de période 2n«; il en sera de même de A* — y*, A étant une constante. Soit

W et V étant deux polynômes entiers en x' de degré n et n — i. Si dans cette équation, on regarde y* comme ayant une valeur déterminée et que a:* = A*a en soit une racine , toutes les autres sont données par les valeurs distinctes de a;* = A*(a-t- 2/)w). Ces racines sont toutes inégales en général. Mais, si A converge vers Tunité, elles convergent deux à deux, vers des valeurs égales, à l'exception de deux. Par cet artifice, Sanio arrive à trouver la forme de i — y*. Mais ces déductions reposent sur cette hypothèse que, quel que soit A, une racine de Féquation, c'est à dire une quantité quelconque, peut être représentée par ?.'«, et que la quantité a varie d'une manière continue avec la quantité A. C'est là une supposition gratuite dont il aurait été bien difficile d'établir la légitimité à cette époque (1). Nous pensons aussi que dans ce travail de Sanio, il y a, sur les relations qui existent entre les périodes de la fonction donnée et de la fonction transformée, maintes assertions peu fondées, que l'on ne trouve pas dans le travail de Jacobi qui lui sert de modèle (2).

14. Travaux de U. H. Meyer et rf'EssEN. Le mémoire de U. H. Meyer n'a rapport qu'aux transformations simples de la première^ de la seconde et

(1) On ne peut pas étendre cette critique, comme il semblerait juste de le faire au premier abord, à la méthode donnée par Abel pour arriver aux formules de la multiplication. On sait à priori que les formules de la multiplication existent et le premier membre de Téquation n'est pas une quantité quelconque A, mais une fonction >(we) à laquelle >(//»£') peut certainement être rendu égal. Nous soupçonnons fort que c'est pour éviter le subtil raisonnement de Sanio, que Jacobi est parti de la valeur de 1 — y et non de celle de y. Dans toutes les transformations autres que celle que Jacobi a considérée on se heurte nécessairement à la difficulté que nous signalons ici. — Sur la représentation d'une quantité quelconque par >a, voir Richelot, Crelle, ^5. p. 225.

(2) Crelle, 14, p. 1-50. De functionum elliplicarum multiplicatione et transformaiione quae ad numerum parem pertinent commentutio, auctore Sanio.

de la troisième classe, mais la méthode suivie est très remarquable. L'auteur pose

(p£ =Pi Te + — (K H- K'j/— i)1

et il parvient à mettre la formule unique qu'il a trouvée pour la multiplication sous la forme suivante :

Il cherche ensuite rfcpe. Pour cela il part de la formule suivante, qu'il tire d'une formule analogue sur la fonction \ :

r,__î!L.i±ri î^^lFi 2^^1=

En fesant corvvergcr e vers 0, il parvient à en déduire df& sous la forme :

dfe H

(pe

Si on pose w = Se , on trouve et d'ailleurs

u=o, v = i, w = i pour « =

dî/

dv

-— = VU' , -T- == — vu (W d(ù

dw dxù

= — ihih^K

Donc

u = l{Qe,l), v = ii(QeJ), w=:v{Qs,l), cp£ = (p(— î- )a(9£,/).

Par conséquent

>«(/lc)