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formule qui résume toutes celles qui se rapportent aux transformations simples de i'®, de 2™« et de 3™« classe. L'auteur en déduit ces transformations, puis celles des intégrales de seconde et de troisième espèce (1).

Peu après U. II. Mcyer, Essen s'occupa des transformations simples de seconde et de troisième classe. Il cherche les formules qui s*y rapportent, en se donnant, d'après Abel, la relation qui lie Famplitude de la fonction transformée à celle de la fonction donnée ; grâce à quelques calculs élégants fondés sur la théorie des exponentielles imaginaires, il parvient au résultat cherché. U. H. Mcyer montra comment les formules d'Essen pouvaient rentrer dans les siennes, et à ce propos, il fit remarquer comme Ivory et Plana que rien n'indiquait dans Jacobi comment il était parvenu à*son beau théorème. Preuve que vingt-cinq ans après les beaux mémoires d'Abel, on ne saisissait pas encore toute la portée de la double périodicité (2).

f S. La théorie générale des fonctions doublement périodiques. Cauchv, dans un mémoire remarquable publié dès 1825, posa les principes d'une nouvelle théorie des fonctions qui sont définies comme les fonctions elliptiques, par la considération d'une intégrale à limite supérieure variable. Il y donna la signification d'une intégrale où la variable passe d'une limite h l'autre par une série de valeurs imaginaires, et prouva qu'une pareille intégrale peut avoir des valeurs multiples. Vingt ans plus tard, il compléta ses premières recherches et arriva à un grand nombre de théorèmes importants sur les fonctions d'une variable imaginaire.

Des travaux remarquables de Hermite et de Puiseux contribuèrent aussi

(1) Archiv, de Grunert, t. 16, p. 5U-iOS ; 17, p. 85-120; i26-i5i (1851).

(2) Essen, Arch, de Grunert, t. 21, p. 2^-248, 418, 422. Réclamation de Meyer, t. 22, p. 474-477. Voici comment il parle du théorème de Jacobi : « Mcine Théorème nicht wie das Jacobi'schc aus der Luft gefallen erscheinen, sondern in Zusammenhang mit dem Vorgehenden sich wie von selbsl ergeben « (1853). La méthode de Meyer n'est pas aussi naturelle qu'il semble le dire. Rien ne détermine le choix de la fonction ^.

à ravancenient de la nouvelle doetrine. D'autre part, Liouville était arrivé à une théorie des fonctions doublement périodiques indépendamment des recherches de Cauchy. Briot et Bouquet appliquèrent l'ensemble des propriétés trouvées par ces géomètres aux fonctions elliptiques en y ajoutant le résultat de leurs propres études. Ils exposèrent la théorie de ces transcendantes avec une simplicité qui mit bien en évidence que la double périodicité en constituait la propriété fondamentale. Dans la question de la transformation ils cherchent d'abord les transformations simples qui se rapportent au nombre deux et à un nombre impair. Pour cela, ils déterminent les facteurs des formules de la transformation au moven des zéros et des infinis de la fonction transformée ; les produits trouvés ont les mêmes périodes que les fonctions cherchées et, d'après la théorie des fonctions doublement périodiques, ils n'en diffèrent que par un facteur constant. Ils démontrent ensuite que les transformations générales peuvent se ramener à ces transformations simples (*).

16. Tels sont les principaux écrits publiés sur la multiplication et la transforn>ation qui ont quelque analogie avec notre propre travail. Nous avons dû nous borner pour chacun d'eux à en exposer l'idée fondamentale; mais, dans presque tous, et surtout dans ceux des illustres fondateurs de la théorie des fonctions elliptiques, on rencontre une foule de vues remarquables qui mériteraient une exposition détaillée. Plaise à Dieu que quelque jour^ un géomètre éminent, élevant à la nouvelle théorie créée par Jacobi, Abel et Cauchy un monument semblable à celui que Legendre a consacre à l'ancienne, y donne la place qui leur est due, à tant d'idées ingénieuses ou profondes que nous avons dû passer sous silence.

(1) Caucht. Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, Paris, Debure, 1825; Comptes rendus, i846, 1851, 1854-1857; Hermite, Comptes rendus^ 1851; PuisEUx. Recherches sur les fonctions algébriques (J. de Liouville, t. 15, p. 365; 16, p. 228). LiovviLLR (Journal de Liouville^ t. 20, p. 203; Briot et Bouquet. Théorie, etc., ou Jounal de l'école polytechnique, cah. XXXVI.

ET

NOTATIONS ET FORMULES PRÉLIMfNAIRESs