NOTATIONS

Soit

^r^ dx

Nous posons, avec Abel et Briot et Bouquet,

j/1 — AV==v = ve = v(e, *),

en employant les notations les plus simples quand cela ne nuit pas à la clarté. Ensuite nous écrivons :

rf>(e, k)

y=ye = y(e, i), au lieu de

de rf>(w, k)

X'w5=X'(w, A), au lieu de

u désignant une fonction quelconque de e. Ainsi, d'après cette notation,

,,, , dX(n£) idX(ne) ^ ^ d(ne) n de

La même convention subsiste pour les fonctions p et v.

Nous désignons, à Tcxcniple de Jacobi, les intégrales complètes de première espèce par des lettres majuscules correspondant aux lettres minuscules qui représentent les modules. Ainsi, soient

Nous poserons :

j^ C^ dx ^Ç dy

DÉRIVÉES DES PREMIÈRES ET SECONDES DE >, fx, v.

V = -4-p, ^'=.— ).v, v'=— A:«).fx, (I).

Les dérivées secondes /", u", v" sont donc respectivement des fonctions impaires de >, p, v.

VALEURS DE >, p, v POUR UN ARGUMENT NÉGATIF OU IMAGINAIRE.

>(e) Xe; X(c|/3T, A)=M/=Ï (3).

^(—e)=fte;^(£ /-!,*) =j;^^^ (4).

v(-e) = ve; v(e/=:î, A) = ^j (S).

DOUBLE PÉRIODICITÉ; ZÉROS ET INFINIS DES FONCTIONS A, |Ut, v.

> (e -4- 2aK h- 26K'j/=1) = (— !)• >e (6).

im (e + 2aK -h 26K'ï/I^ = (— i )«+^ pe (7).

V (s -♦- 2aK -^ 26K'j/irî) = (— ^ )* ve (8).

Ces formules restent vraies si on remplace >, fx, v par leurs dérivées

d'ordre quelconque. Ensuite, a et 6 représentant deux nombres entiers quelconques,

>(0) = 0; )i(2aK+26KV— *) =0 (9).

fx(K) = 0; fz[(2a -*- i)K -4- 26K'i/^=T] = (iO).

v(K -^ K' j/^= 0; v[(2a-i-i)K-4-(26 4- l)K'|/^ = (il).

)i,|ui,ouv(K'|/— i)=:oe; >,|:zouv[2aK-4-(26 + l)K'|/^==:oo (12).

VALEURS DE >, |UL, v POUR LES COMPLÉMENTS DES ARGUMENTS.

Dans les formules suivantes, si le signe db se trouve dans les deux membres d'une égalité, les signes supérieurs se correspondent^ ainsi que les signes inférieurs.

MK'/::^±e) ==d= -L 05).

kit

k fxe k'

f.(K'(/-l±5) =±|/— Irr ('6). v(K'|/~-ld=e) =±|/— li^ (17).

kys ae

(K+Ky— l±e)=±/— 1^ (18). ).(K-.-Ky— ld=e)= t- (19).

) (K ± £) « g (20). KK ± e) = A»^^ (21).

VALEURS DE >, fx, v POUR l'aRGUMENT a -+- ^ OU THÉORÈME DE l'aDDITION.

..f„ .^ .. P A' P vavp-fcn«(.«)M .,.. >V-^K-HK'|/-l)->'fi (24)

X*a \tR i >»a )i*S

1— fcn*a>*p A:n»a x«(a + K'l/— 1) — X*^ ^ '