Raideur du ressort longitudinal d'une tige prismatique

On nomme ainsi le rapport —y qui est égal à -^ • Il est

proportionnel à la force nécessaire pour produire un allongement déterminé.

8. Extension de la fonte de fer. Des expériences sur la fonte de fer donnent des résultats analogues à ceux du fer foi^é, mais moins réguliers. Le coefficient d'élasticité E pour les charges inférieures à 6*^^ par mm.q. est d'environ p.io', moins de la moitié de celui de la fonte, c'est-à-dire que , sous une même tension et avec les mêmes dimensions primitives, la fonte s'allonge plus que le fer dans le rapport de ao à p.

La rupture de la fonte a lieu sous une tension de 9*^^,5 à li^i par mm.q. Dans la pratique, la règle suivie est de ne faire subir à la fonte qu'une tension permanente qui n'excède pas le sixième de la charge produisant par extension la rupture, c.-à-d. de i*'*, 5 à 2*^8 par mm.q. La valeur correspondante de test de 0,00017 à 0,00022.

9. Contraction latérale des prismes allongés. Un prisme soumis à un effort longitudinal se rétrécit transversalement en même temps qu'il s'allonge, phénomène dont on peut apercevoir la cause dans la constitution des corps solides

(6) uaturelfi, eonsidërës comme des assemblages de points matériels dont les actions mutuelles varient avec leurs distancés. Pour rendre cette considération sensible par un exemple très'simple , imaginons un système de qtutre points malériels m', m'', m'^' et m*^ {fiS' » ©g^ux et situés aux quatre sommets d'un quarré. Supposons- le en équilibre sans Faction d'aucune force extérieure \ il n'est pas nécessaire pour cela que les actions mutuelles entre ces quatre points soient nulles ; il suffit que la résultante des forces que chaque point reçoit des trois autres le soit ; qu'ainsi les forces que le point m' reçoit des points m''^ et m*^ dont il est plus voisin que de m''' soient réptdsives par suite de la supériorité de l'action de la chaleur sur celle de la gravitation, et que, au contraire, la force dirigée suivant la diagonale soit attractive , c.-à-d. qu'entre les deux points m' et m'''^ la gravitation , quoique moindre qu'entre m' et m^^, l'emporte sur la répulsion due à la chaleur et décroissant suivant une loi plus rapide par l'augmentation de la distance. Supposons maintenant qu'aux deux points m^ et m'^^ diagonalement opposés soient appliquées deux forces extérieures F' et F" égales et contraires, qui tendent à écarter ces deux points. Pour que le repos s'établisse après la déformation du système, il faut non-seulement que la diagonale m' m'" soit plus grande que dans le premier cas, mais aussi que l'autre diagonale soit diminuée \ car le point m'' qui n'est soumis a aucune force extérieure, doit être encore en équilibre sous l'action des forces qu'il reçoit des trois points m', m''^ m^*^. Si la distance jq'/q^iv resuit la mème^ les forces répulsives totales entre m'^ et m' d'une part, et entre m" et m'^' d'autre part se trouveraient diminuées, parce que les distances m'^m' et m'^m"' seraient devenues plus grandes \ l'angle w!ïn!'m!^ serait d'ailleurs augmenté ^ donc par une double raison , la résultante de ces deux forces serait diminuée, tandis que la force attractive entre m'' et m*^ serait restée la même, l'équilibre n'au-

(7) rail par conséquent pas lieu , donc il faut , par compensation , qtie la diagonale m'' m'^^ soit diminuée, ce qui augmente la plus petite et diminue la plus grande des forces inégales dont nous venons de parler.

La déformation contraire aurait lieu si les deux forces extérieures tendaient à rapprocher les deux points m', m''' ^ les deux autres devraient s'écarter pour que l'équilibre pût se rétablir.

Suivant une savante théorie due à M. Poisson, si un prisme homogène est soumis à des forces égales Uniformément réparties sur lés deux bases, la longueur et Taire de la section droite du prisme étant Z et îl dans son état naturel, et devenant Z-f-AZetfî — Ad, on a, pomrvu que la limite de l'élasticité ne soit pas dépassée ,

^D, I aZ

c,-à-d. que la contraction superficielle par unité de la section droite est numériquement la moitié de V extension par unité de longueur du prisme , d'où l'on conclut, à cause de la petitesse de ces variations , que la contraction linéaire relative en travers du prisme est le quart de son extension relative longitudinale i.

On voit par là que dans la pratique la contraction latérale est peu sensible, sauf le cas de rupture imminente.

10. Compression d'ui prisme chargé longitudinalement. L'expérience prouve que dans le cas de compression longitudinale , pourvu qu'on prenne les précautions convenables pour empêcher le prisme de fléchir, et que la pression reste suffisamment inférieure à la valeur qui produit l'écrasement, la relation iV=j5Ilf subsiste encore, le coefficient E conservant la même valeur, et les quantités iV^et i changeant de signe en même temps.

Quant à la limite pratique , la pression' qu'on ne dépasse

( 8 ) pas ordinairement par mm.q. est de 6^^ pour le fer forgé qui s^ëcrasé soiis mie pression de ûS'^k^ tandis qu'elle pourrait aller à plus de io^s pour la fonte qui ne s'écrase que sous une charge d'environ 60*^8 par mm.q.

11. Conséquences des données expérimentales précédentes. Par la comparaison des coefficients d'élasticité du fer et de la fonte, ainsi que des tensions et pressions qui produisent leur rupture et leur écrasement, on voit que la fonte supporte une moindre tension et une plus forte pression que le fer, mais que, soit par extension, soit par compression, elle se déforme plus que le fer 5 c'est ce qui porte à préférer ce dernier dans les ouvrages qui doivent être exposés à des efforts variables et où Ton désire éviter les déformations trop sensibles^

12. Maçonneries. Pour les ouvrages en pierre qui ne sont guère soumis qu'à des pressions , on admet assez généralement , d'après l'observation des constructions dont l'expérience a constaté la solidité , qu'on ne doit charger les maçonneries en pierres de taille que du dixième, et les maçonneries en moellons que du vingtième du poids qui suffirait pour écraser les matériaux dont elles sont composées.

§ II. De la déformation par glissement observée dans la torsion des prismes.

13. Angle de torsion. Résistance par nnité de surface. Un prisme (ou portion de prisme) étant fixé vers l'une de ses extrémités et sollicité à l'autre bout par des forces qui équivalent à un couple situé dans un plan transversal , on remarque que sans altération sensible ni dans sa longueur ni dans la figure de sa section droite , il subit une torsion qui consiste en ce que les tranches transversales très-minces

(9) dont le prisme est composé tournent en glissant les unes relativement aux autres autour d'un axe intérieur du corps. L'équilibre qui s^établit, après celte déformation, exige que toute partie comprise entre Fextrémité fixe et un plan transversal, exerce sur la partie située de l'autre côté de ce plan , des forces dues au déplacement relatif de ces deux portions du même corps et réductibles à un couple égal et de sens contraire au premier. Si Ion appelle :

9 Fangle de torsion de la pièce, par unité de longueur, dw l'aire d'un élément superficiel pris dans une trancbe

quelconque 9 r la distance de cet élément à l'axe qui ne change pas dans

l'état de torsion ,

on satisfait aux phénomènes observés en admettant que cet élément est sollicité à revenir à sa position naturelle par une force Fd(ù ( analogue à la résistance au frottement d'un corps sur un autre), proportionnelle à l'aire dco, à l'angle de torsion et à la distance r. On pose donc

Fd(ù = G9rd(ù ou Fr=zG9r, [i]

équation dans laquelle Fesl la résistance , par unité de surface, tangentielle au cercle dont le rayon est r, et G est un coefficient à déterminer par expérience suivant la substance du prisme, et dont l'expression numérique dépend des unités auxquelles sont rapportés l'angle d et les dimensions linéaires.

Cela étant, en désignant par Pp le moment résultant des forces qui agissent extérieurement sur le prisme , on doit avoir pour l'une des conditions de l'équilibre d'une portion quelconque de celui-ci , l'équation de moments autour de l'axe de torsion

Pp = Ge/r'd«, [a]

{ lO )

et par suite de la relation précédente entre G et F, F Pp

L'intégrale Jr'^à.tù est le moment d'inertie de Faille de la section droite du prisme autour de Taxe de torsion. En le représentant par /i, on écrit ainsi les deux dernières équations :

Pp = Gei, et - = ^.

14. L'axe de torsion passe par le centre de gravité des sections transversales. Lorsque la section droite du prisme est un cercle ou un.polygone régulier, il est évident que Taxe de torsion passe par le centre de cette figure. En général les forces G9rd(ù étant équivalentes à un couple, la somme de leurs projections sur un axe quelconque doit être nulle. Soit O {J!g» 2) le centre de rotation d'une section transversale y et soient dans son plan deux axes rectangulaires Qx, Oy. En désignant par x et y les coordonnées de l'élément doi), on a la projection de Fàtà ou Gdrdco sur Ox égale à

Gfldwrsîn(r,a:), ou Gô/dw.

Or l'ensemble des forces Fà(ù faisant équilibre à un couple, la somme dès projections de ces forces sur un axe est nulle; donc G9yydw= o, donc le centre de gravité est sur Ox, c'est-à-dire sur un axe quelconque passant en O *, donc il est en O.

15. Eitiemple, Lorsque la section droite est un cercle dont le rayon est ri , on a

/r'da)= I r".aTrrdr=^^;

ainsi

Pp=='-G6nr\ et 1=^.

16. Inclinaison des fibres longitudinales. Les molécules qui dans Tétat naturel du corps étaient sur une parallèle à l'axe, à une distance r, se trouvent dans l'état de torsion situées sur une hélice dont Tanglea avec l'axe a sa tangente égale à Or] ainsi, d'après les équations [i] et [2], on a

tanga = y7 ou bien tanga = -^j-

17. Valeurs expérimentales de G et de la limite de F, En rapprochant de l'équation [2] les résultats de l'ensemble des expériences connues , ou a été conduit, comme le dit M. Morin (ouvrage cité au n** 2) , à admettre assez généralement pour le coefficient G les valeurs suivantes en kg.

Fer forgé, d« 6000.10" à 6666.1 o"

Acier d'Allemagne 6000 . lo'

Acier fondu très-fia... 10000.10*

Fonte aooo. 10*

Cuivre 4366. io«

Bronze 1066. lo*

Chêne. . 4oo . 10*

Sapin 433.10*

Ces] valeurs supposent que l'angle ô est exprimé par le rapport de Tare qui le mesure au rayon, que l'unité superiicidle est le mètre quarré et que l'unité de force est le kilogramme.

D'après les expériences citées par le même auteur la valeur de tanga peut aller pour le fer forgé, sans altération de sou élasticité, jusqu'à OyOoaS, ce qui correspond à /^=Gtanga = 6o.23. io* = i4-io®, c'est-à-dire li^^ par mm. q. Il a été reconnu qu'avec du fer très-doux l'inclinaison tanga pouvait être portée jusqu'à 0,124 (de sorte qu'une barre de fer quarré de o"*,o56 de côté et de 8"* de longueur a pu faire en se tordant quatre tours), sans rupture, mais non sans déformation permanente.

De ces observations et d^expériences directes faites sur la

rupture du fer par cisaillement ou glissement transversal ,

on a conclu que dans la pratique, la limite de la valeur

de F égale k G9r peut être prise la même que dans le cas

de l'extension , c.-à-d. 6^^.10^ pour le fer forgé, et de

ijSo.io* à îi.io' pour la fonte. Les valeurs correspondantes

F de tanga, égales à -pj sont 0,001 pour le fer et de 0,00075

à 0,001 pour la fonte.

§ m. Généralités sur la flexion plane d'une pièce solide naturellement prismatique.

18. Plan de flexion. Forces élastiques. Effort tranchant. Tension moyenne. Moment fléchissant. Lorsqu'un corps prismatique est sollicité, dans l'espace compris entre Tune de ses extrémités et une section transversale, par des forces qui ne sont réductibles ni à une force unique dirigée suivant l'axe passant par les centres de gravité des sections droites, ni à un couple perpendiculaire à cet axe, l'équilibre ne peut s'établir à moins que ce corps ne se courbe d'une manière plus ou moins sensible.

Si la section transversale du prisme a des dimensions qui ne diffèrent pas trop entre elles , comme dans le cas d'une poutre ou d'une solive ordinaire, et si la limite de l'élasticité n'est pas dépassée, l'expérience constate, au moins approximativement, que les éléments matériels qui se trouvaient primitivement dans une tranche quelconque perpendiculaire aux arêtes longitudinales, restent encore après la déformation du solide, dans un plan normal aux courbes qui remplacent ces arêtes rectilignes , sans déformation notable de la tranche.

Nous admettrons dans tout ce qui suit que ces conditions soient remplies.

Soit*A'A''L (fig-'i) une portion d*un prisme ainsi fléchi. Nous supposons, ce qui. arrive le plus souvent dans la pratique, qu'elle soit sollicitée, dans l'intervalle du plan A' A" à l'extrémité L , par des forces extérieures P situées dans le plan de la figure ou symétriques deux à deux relativement à ce plan , et que ce même plan divisant le prisme en deux parties symétriques soit par conséquent le plan de flexion. Les tranches transversales dont nous venons de parler lui sont perpendiculaires.

L'équilibre n'existe sous l'action des forces P que parce que la portion A! K"h du prisme reçoit des molécules voisines , appartenant à la portion qui est de l'autre côté du plan A'A-' (à gauche dans la figure), des forces qui réunies aux forces P satisfont, comme forces extérieures, aux conditions de cet équilibre. Ces forces dites forces élasliques peuvent être décomposées en forces parallèles au plan A' A" et en forces perpendiculaires à ce plan. De sorte que si nous prenons dans le plan de flexion deux axes Gx, Gy passant par le centre de gravité du plan A' A'', et l'un perpendiculaire, l'autre parallèle à cette section, les forces élastiques qui lui sont parallèles ont leur résultante exprimée par— 2 Py 5 celles qui lui sont perpendiculaires ont la leur égale à — SP^, sauf le cas d'un couple^ enfin la somme des'^moments des forces élastiques autour de l'axe projeté en G est égale à — 23TIqP, le sens positif des moments des forces P allant en tournant de l'axe Gx vers Taxe G y.

La force 2Py s'appelle Yejffort tranchant des forces P, qui tend à faire glisser la portion du prisme située à droite de A' A'' sur la partie à gauche, suivant ce plan.

La force 2P^ étant divisée par l'aire îî de la section, le

sP

quotient -~ s'appelle la tension moyenne entre les deux

portions contigiiës au plan A'A'^ Elle devient pression

moyenne quand la somme ZP, ^^^ négative, allant dans le sens de L vers G.

La somme ^OTLqP s'appelle le moment résultant des forces Jléchissan tes ou plus simplement moment fléchissant des forces P autour de l'axe G.

Nous le désignerons souvent pour abréger par la lettre /x, et nous nous rappellerons qu'il est égal et contraire au moment résultant des forces élastiques exercées sur la partie GL du solide par la partie située de l'autre côté du plan A' A".

19. Répartition inégale de la tension. Pour soumettre au calcul les forces élastiques , nous considérons le corps dont il s^agit comme composé, dans le voisinage du plan A' A'', de files de molécules, dites fibres, (jui dans l'état primitif du solide étaient perpendiculaires à fce plan A' A", et nous les imaginons coupées par un plan B'B'^ infini- * ment voisin, contenant toutes les molécules qui avant la déformation se trouvaient dans une tranche parallèle h hUi!'^ comme la figure l'indique en b'b'^, tandis que le plan B' B'' rencontre le plan A' A^ et le plan b'b'' suivant les droites projetées en C et en o. Il en résulte qu'en général certaines fibres, telles que Ab devenue AB, se sont raccourcies, et d'autres, telles que la fibre Mn devenjie MN, se sont allongées , tandis que les fibres situées dans le plan Oo ont conservé leur longueur. Ces fibres ne sont pas restées exactement normales au plan A' A''' puisqu'elles subissent des efforts transversaux dont la somme est 2Py, Mais on a vu par ce qui a lieu dans le cas de la torsion (15), que la déviation transversale, exprimée par tanga, n'a qu'une très-petite valeur (environ o,ooi pour le fer et la fonte), pourvu que, comme nous le supposons, la limite de Félasticité ne soit pas dépassée. En conséquence nous admettons que les composantes normales des forces élastiques qui

s'exercent en A'A''^ suivent la même loi que si les fibres

traversant ce plan lui étaient exactement perpendiculaires.

Si donc nous considérons autour de A dans le plan A' A"

un élément superficiel d co , à cet élément répond une force

bB

élastique normale exprimée en valeur absolue par Edw rr-

et répulsive (dans le sens des x positifs) , si bB est un raccourcissement^ à un élément superficiel autour du point M pris entre O et A' répond une force attractive, négative^

jBdw=r=r-, Mn

Cela étant, appelons i comme au n** 3 rallongement proportionnel ou par unité de longueur de la fibre passant par

le centre de gravi lé G et dite fibre moyenne. Ainsi '=pir »

et la tension de cette fibre , rapportée à Tunité de surface de sa base, est jE'/(n*' 6). Pour exprimer la pression sur la base de la fibre AB, désignons par v sa distance 'GA à l'axe projeté en G , et appelons V la distance GO au même axe des fibres projetées en Oo , dites ^£re^ neutres^ dont la longueur n'a pas varié. Nous avons pour la pression en A, vu la similitude des triangles obB, ohH et l'égalité Ab = gH,

Ad y un r

et nous égalons cette quantité a Rdfù en appelant R la pression par unité de base de la fibre j4B. Nous avons ainsi

équation applicable, eu égard aux signes, à toutes les fibres qui traversent le plan A'A'^ Pour y=S on a /î = o^ pour f^<^f^ positif ou négatif, jRcst négative, c.-i-d. quelaforce élastique agit suivant les x négatifs^ c'est une tension pro«»

( i6) prement dite. C'est le contraire lorsque ^^ est > J^ comme pour la fibre AB de la figure; elle est soumise à une pression. Si Ton fait ^^ == o , on retrouve jR= — £*/, c.-à-d. que la tension de la fibre moyenne GH est Ei,

Introduisons l'expression des forces élastiques normales dans les équations d'équilibre de la portion A'A^L \ nous obtenons en étendant à toute la surface A' A'' les intégrales indiquées, et observant que J'i^dwr^o, puisque G est le centre de gravité de A' A'' : équation de projections

2;P.= — r/fdw = JFi /"deo — ^ C^d(i = Ei[l, [2]

équation de moments

2^lGP==|Vî^'dco = ^' r.Mo)— £:i /Vd«===~ [3]

On représente ici par /le moment d'inertie fv^àtù de la surface A' A'^ 'autour de l'axe projeté en G, c.-à-d. mené dans le pla^ A' A'' par le centre de gravité perpendiculairement au plan de flexion. ^

Des équations [2], [3] et [i} on tire trois formules générales , eu égard aux signes :

ou, en représentant par iV^ la somme 2P, des projections ou composantes normales au plan A' A'^ des forces P, et par /x la somme des tnoments de ces forces P autour de l'axe G , somme dite moment fléchissant (18),

Ed. ait la L*fJ

20. Valeur moyenne et valears extrêmes de la tension longitudinale. La première et la troisième de ce.s équations,

( »7) quand dans celle-ci on faiti^=o, prouvent que rallongement et la tension de la fibre moyenne GH sont les mêmes que si les forces P se réduisaient à une seule égale à 2P, et dirigée suivant cette fibre. Les deux quantités i et R au point G changent de signe quand SP, est négative, et signifient alors raccourcissement et pression.

En donnant à j' ses deux valeurs extrêmes — v^ pour le point A' le plus éloigné de l'axe G du côté de la convexité, et v^' pour le point analogue A'' du cèté de la concavité, on aura les valeurs extrêmes de /?, savoir :

2t. Antre forme des équations précédentes. Lorsque les forces P ont une résultante qui rencontre le plan A' A'' en un point D que nous supposerons à une distance u du centre de gravité, du côté des i^ négatifs, on peut, sans altérer ni 2P, ni ^SIÏLqP^ transporter la résultante en ce point, et ensuite la décomposer en deux forces , l'une iV, perpendiculaire à A' A", l'autre dans ce plan. Supposons N dans le sens des x positifs, et remplaçons / par flA*, c-à-d. que k est le rayon de giration de la section transversale A' A'"^ autour de l'axe projeté en G. Les formules [4] deviennent

22. Exemple. Supposons une section droite rectangulaire dont la hauteur A' A" soit b. On a alors

i.= J i., r=±. et R^lll^-^\ 12 12W a \ 6* /

Soit R la pression par m.q. en A' où 1^= i, et soît

( '8) K^ la pression en A'' où v=z-b, on a

d'où

Si Ton suppose m= ^ i , c.*à-d. que le point D est entre A' et A", et que A'D = iA'A^ il en résulte

ff=2 — ^ et R'=o.

Si l'on fait m= - i , c'est-à-dire que D coïncide avec A', on trouve

/l'=— 4$ et /î''=2?-

Ebqiérience. En éprouvant des barreaux de fonte de manière que la traction résultante fut, dans un cas, dirigée suivant Taxe de figure de la pièce, et, dans un autre cas , suivant une des faces , M. Hodgkinson a trouvé que pour la fonte essayée, la chaîne de rupture était, dans le premier cas, de i2'^«,o43 par mm.q., et dans le second, de 4^^5124. On remarquera que la théorie précédente, bien qu'elle indique la cause de ce fait, n'est pas présentée comme s'appliquant même approximativement aux cas de rupture.

23. Courbure de la fibre moyenne. Lesplans A^A'^etB'B'^ étant approximativement normaux, à la fibre moyenne GH, le point C est le centre de courbure de cette fibre flécbiê. D'après la figure et l'équation [3], on a, en négligeant 1 au-

( «9 ) près de i et appelant p le rayon de courbure GC^

GC oh