G OC

Or l'angle a étant petit peut être remplacé par sa tangente trigonométrique. On a donc

« = f'(jr), d'où d« = f"(jr)djr; par conséquent

dx

attendu que le rapport -r— égal à cos « ne diiTère pas sensiblement de

l'unité.

forces équiYalent à un couple , les formules [4 ] deviennent, à cause de J1P^= o,

/=o, ^ = 0, et R='^' [8]

La surface des fibres neutres passe alors par les centres de gravité des sections transversales A' A", B'B''. Si le moment fléchissant (i est positif, il y a pression et contraction du côté des v positifs , tension et allongement du côté opposé.

Du reste, les formules [6] et [7] subsistent sans changement dans ce cas.

Les nombreux exemples qu'on rencontre dans la pratique de pièces prismatiques sollicitées par des forces perpendiculaires à leur ligne moyenne , nous engagent à démontrer directement les importantes propriétés exprimées dans cette hypothèse, par les équations [6], [7] et [8].

Considérons (fig'i) la fibre AB qui, étant comprimée, reçoit en A sur sa base dw une pression que nous représentons par jRdci), de sorte que li est au point A la pression par unité de surface exercée sur la partie du solide située à droite de A' A'' par la partie du même solide située à gauche. En vertu delà loi de Félasticité (3) nous posons, d'après la figure, vu la similitude des triangles Bbo, OoC, et les égalités A b=Oo, bo = MO,

^ ^Bb ^AO

li est variable avec AO , tandis que E et OC sont des constantes. Représentons AO par z , et^l'équation

Rd(ù=^^zd(ù [9]

sera applicable à tout élément dw pris dans la section A' A", pourvu qu'on prenne z positif ou négatif, selon que cet élc-

ment superficiel sera au*de$50us dç O ou au-dessus , et pourvu que , dans ce dernier cas , il soit entendu que II d^ venant négatif, exprime une tension ou force agissant de droite à gauche.

Cela posé, toutes les forces élastiques Rdio, les unes positives, les autres négatives, doivent, avec les forces de même nature parallèles au plan A' A'' et avec les forces P, satisfaire aux conditions d'équilibre.

La première et la plus simple de ces conditions s'exprime par

2/{dco = SP,.

OrSP,:=o, puisque les forces P ont leur résultante parallèle à A'A^' ou équivalent à un couple. Mettons pour Jidtù son expression [9] ; il vient

j^S-5dc«>=o, d'où Szd(«) = o.

Donc l'axe projeté en O, qui traverse les fibres neutres, contient le centre de gravité G de la section A' A'', comme nous l'ont montré les équations « = Oy F^=o. Les points et G se confondant , OC est le rayon de courbure jo de la fibre moyenne *, les distances désignées tout à l'heure par zsont celles que nous avous précédemment représentées par i', et Téquation [9] peut s'écrire ainsi

La deuxième condition d'équilibre à laquelle doivent satisfaire les mêmes forces est l'équation, des moments autour d'un axe. En prenant pour cet axe celui qui se projette en G, et en mettant pour la variable iîdw cette dernière expression , on a

Sail(;P = SRda).P', ou a=£st^Mw=: — .

( a3) Enfin, de cette relation identique avec la formule [6] et de l'équation [lo], on conclut

qui est la troisième équation [8].

§ IV. Formules des moments d'inertie de diverses surfaces planes,

28. Parallélogramme dont un côté est parallèle à l'axe du moment d'inertie [fig. 4)*

1= r\^bdi^=—bc'=—cm.

29. Rectangle éridé symétriquement {Jig. 5). Le moment d'inertie est dans ce cas la différence de deux autres calculés par la formule précédente :

30. Parallélogramme dont une diagonale est l'axe du moment d'inertie (fig. 6).

3i. Section droite d'un cylindre ou d'un tuyau cylindrique. Soient {fig^ y) deux axes Ou, O v. La figure étant la même par rapport à chacun d'eux, on a

I=:fî^*d(ù el I=fu*à(>), d'où

/=i r(a«W-^*)da)=:i fr^dw, en appelant r la distance au centre O d'un élément super-

ficîel quelconque dw. Ainsi le moment d'inertie autour de Ou est la moitié du moment d'inertie de la même surface autour de l'axe perpendiculaire projeté au centre O. Supposant que. le cercle soit plein et son rayon r', on a

Çr^do^= f 27trdr./'=i7ri'*=-r'*n,

donc

Si la surface est la section d'un tuyau dont les rayons soient r' et r", on a

3Sl. Ellipse pleine dont nn des diamètres principanz est Taxe du moment d'inertie. En comparant l'ellipse dont les diamètres principaux sont 2a et 26 à un cercle dont le diamètre serait ai, on voit que les deux surfaces peuvent être décomposées en un même nombre de petits rectangles de même hauteur deux à deux et dont les bases sont dans le rapport deakb. Donc (28) il en est de même des moments d'inertie , et l'on a (31 )

ou

33. Triangle dont un côté est parallèle à Taxe du moment d'inertie. Les moments d'inertie qui entrent dans les formules du § m sont pris autour de droites passant par le centre de gravité des sections transversales. Lorsque celles-ci sont symétriques par rapport à Taxe des moments,

{ a5 ) il suffit de ne considérer que là moitié de la surface située d'un côté de cet axe, et de doubler le résultat. Dans d'autres cas , il peut être commode de prendre d^ abord le moment d'inertie autour d'un axe ne passant pas par le centre de gravité, et parallèle à celui qui y passe.

On connaît où l'on retrouve facilement .la relation qui lie deux moments d' inertie d'un même corps ou d'une même surface autour de deux axes parallèles dont l'un passe par le centre de gravité. Soit dw un élément superficiel, i^ sa distance à un axe mené par le centre de gravité, j- sa distance à un autre axe parallèle, a la distance des deux axes entre eux : on a

y=z{i^±ay et /j»doû=/i^Mw4-a«n,

à cause de

Appliquons cette propriété au moment d'inertie du triangle proposé (Jig. 8) autour de Taxe Ax parallèle à la base b et passant au sommet : on a

donc autour de Gu

34. Surface plane quelconque [Jig- 9). Soit une surface KLMN terminée par deux droites KN,LM parallèles à Taxe Ax du moment d'inertie, et par deux courbes KL, MN. Soit désignée par u la longueur d'une corde PQ parallèle à Ax et par (^ sa distance à cet axe« On a

Xk-hl

(»6) Pour avoir la valeur approximative de cette intégrale, on divise la distance / en un nombre pair n de parties égales ; on mène, par les points de division, des cordes parallèles à l'axe qui, en y comprenant KN et LM, seront dési-

gn,ées par z/o , i/j , Us , • • • 9 ^n 9 ^^ désigne par d la distance -

de deux parallèles consécutives et Ton pose d'après la formule de Th. Simpson

/==|[Aȣ/o-l-4(*+cJ)*Mi+a(A-h2d)*M,-h4(A+3o)'i/,-f-..-

Quand les courbes KL et MN sont peu accidentées, il suffit de faire n=:4* Les parallèles Uq et i/„ peuvent être nulles. Passons aux diverses questions qu'on peut résoudre à l'aide des théorèmes du §111, suivant la situation des forces et suivant la figure du corps sur lequel elles agissent.

§ V. Flexion plane d'une pièce naturellement prismatique sous Taction de forces transversales.

35. Cas de deux forces distinctes et d'une charge nniformémént répartie. Traitons d'abord, pour plus de clarté, une question peu compliquée. Un solide naturellement prismatique [fig, 10) a, dans l'état de flexion de sa partie comprise entre Mo et l'extrémité M|, sa fibre moyenne suivant la courbe Mo Mi Ms qui fait au point donné Mo avec l'horizon un petit angle dont la tangente trigonométrique est donnée cto ? il ^^ sollicité en Mt et à Textrémité M, par deux forces verticales Pt , Pi. Il subit en outre sur sa longueur Mo Mt représentée par a une charge uniformément répartie désignée par pa, de sorte que p est la charge uniforme par mètre de longueur. On connaît le moment d'inertie I et le produit El ou e .constant dans toute l'éten-

(»7) due de la pièce. On rapporte la courbe Mo Mi Mi à deux axes, Tun horîzontal, MqX, Tautre vertical, Mo y, et Ton demande pour un point quelconque M dont on donne Tabscisse x: i^. Quel est l'effort tranchant dans la section faite en ce point;

a^. Quelle est La pression longitudinale R positive ou négative, c'est-à-dire la pression proprement dite ou la tension en un point désigné de cette section *,

3^. Quelle est Finclinaison sur Taxe Mo x de la courbe Mp Ml Mt au point M^

4^. Quelle est l'ordonnée y du même point.

36. Efforts tranchants. D'après la définition donnée au n° 18, si le point M est pris entre Mq et Mi, leffort tranchant est Pi-H i^î-f-p (a — œ) ; pour un point situé entre Ml et Mj, il serait P-\-p [a — x). Pour une section faite tout près j mais avant le point Mi (à gauche de ce point dans la figure), Teffort tranchant suivant la section transversale serait Pi + Pf-h/? (a — /); tout près et au delà de Mi» il serait Pt-f-p [a-^l).

37. Tensions longitudinales.. Dans le cas actuel de force& toutes transversales , la fibre moyenne est aussi fibre neutre (n® 27), D'après la formule [8] de ce numéro, la pression pour une distance f^ à la fibre moyenne dépend du moment fléchissant qui suivant sa définition (18) a ici pour valeur,, si le point M est entre Mo et Mi,

(^=Pi(/™;r) + Pt(a-a:>-|-ip(a — a:)'; [ij

si le point M était entre Mi et M» , on aurait seulement

lx=P,(a-x) + lp(a-xy. [2l

Le moment jx étant ainsi facilement trouvé, quelle quo^ soit la valeur de x , on en conclura la pression en tout poinjt^

désigné de la section, par la formule précitée Ji=:-j»

Si les forces P^ P» p sont de même sens , sens adopté pour positif, /ixTest aussi. Les fibres situées au-dessus de la fibre moyenne, côté des i^ négatifs, sont tendues et allongées^ celles qui sont au-dessous sont pressées et comprimées. La plus grande tension répond à la plus grande distance w'

du côté négatif; elle est donc -y-» La plus grande pression

répond à la plus grande distance i/' du côté positif, elle

est-j--

Si les forces Pi P^p ne sont pas toutes de même sens^ le signe variable de (i fait connaître le sens de la flexion au

point variable M y et la formule li= -y^ reste applicable

eu égard aux signes de /x et de <^. En mettant pour if ses deux Valeurs extrêmes — i^ pour les points situés au-dessus de là couche des fibres neutres , et i^' pour ceux qui sont au-dessous, on trouve toujours pour R deux valeurs de signes contraires : l'une positive, signifiant pression^ l'autre négative, signifiant tension. Si Tune des courbes, Mo Mi , Ml M, , a un point d'inflexion , on en trouvera l'abscisse en posant pour cette courbe /x = o , et cherchant la valeur de x autre que x:=oetx=za qui satisfait à celte condition.

En tout point, extrême ou intermédiaire, où /x=o , il n'y a pour toute la section ni pression ni tension longitudinale ; la courbure est nulle et le mot inflexion signifie noti-Jlexion .

38. Inclinaisons de la fibre moyenne. Remplaçons [l par 6 f " [x) dans l'équation [i] -, nous avons pour un point quelconque entre Mo et Mj

tV (x)= i p [a}-^ax+x') -t- A (/-x) -hP, {a~x) ,

( ap ) d^où en multipliant par do: et en intégrant, eu égard à H condition que, pour x = o^f^(x) devienne aoj

Pour les divers points de la courbe Mj M, Téquation des moments se réduit à

Multiplions par dx^ et intégrons en déterminant les constantes de manière que les deux courbes M© Mi , Mj M, aient la même tangente en M t , de sorte que pour x = l^ f[ (x) devienne égale àf (x). Nous avons ainsi de M j à M,

Les équations [3] et [4] résolvent la troisième question. Si la fibre moyenne après s'être abaissée se relève , ou Finverse, on trouvera Tabscisse du maximum ou du minimum de l'ordonnée en posant f ' (x) ou f '^ (x) = o et en excluant les valeurs x=-o et x=a.

39. Ordonnées de la fibre moyenne. Multiplions les équations [3] et [4] par dx et intégrons la première à partir de Torigine Mo où Ton a simultanément x== o et ((x) = o, la seconde à partir de M| et par conséquent en déterminant la constante de manière que pour a: = /les deux valeurs de { (x) et de fi (.i^) deviennent égales. Remplaçons

( 3o ) • d'ailleurs la notation f (x) par y^ il vient entre Mo et Mi

entre Mi et Mj

C'est la réponse à la 4^ question. Si , par exemple, on veut connaître Fordonnée j^i du point Mt, il faut faire dans la dernière équation x=:a. Il vient

e(y.-«,a) = i^«*+iP,/»(3a-/)4-|P.a». [7]

Remarque. Si y^ était donnée , cette équation servirait à déterminer Tune des autres quantités qu'elle contient, supposée inconnue.

Nous allons montrer par divers exemples Tusage .qu'on peut faire des formules qui précèdent.

40. Cas particulier [fig. ii). «0 = 0, Pi = o, P^ = P, L^équation des moments [i] se réduit k

l^ = \p{a—xY-^P (a—x)

qu'on trouverait immédiatement et qu'on peut écrire plus simplement en comptant les distances horizontales x* k partir de L vers Mo

(3.) Si P est positif comme p^ la plus grande valeur de /a est

en Mo où x'=tf. C'est donc fXe=: ( -/?a-HP ) Uy ce qui

prouve que quant à Tétat de tension et de flexion de la pièce prismatique en Mo et par conséquent quant au danger de dépasser la limite d'élasticité , la charge répartie pa produit le même effet que si elle était réunie au milieu de MoL , ou que si, réduite à moitié, elle était appliquée à TextrémitéL. Si la force P est négative et que la même lettre P désigne sa valeur absolue, l'équation précédente devient

La valeur de fx est donc représentée par l'ordonnée d'une

parabole dont le minimum algébrique est 9 répondant

P nP

à 0?'= - • Tant que x' est < — 9 [i est négatif, la courbe

tourne sa concavité dans le sens de P. Si a est assez grand

nP pour que a?' devienne >► — » le moment /x est alors positif ,

et au point où x'= la courbe a une inflexion. Dans ce

cas la plus grande valeur absolue de /x est la plus grande des deux quantités

— et -pa* — Pa.

La valeur dej^ , quand on fait dans Téquation [4] a = o , ^4 = 0, Pt = P^ devient

Ainsi la partie de j^t due à la charge pq uniformément ré-