iksin7ôinô*Rcos

-0,007 1978 «'.sin (3*+ jj^'*

Uldt^

— 0,021 598ftw'^cosl3a-f Hjjr

Les éqaaiiong [z] et (a;), en divisant la ^ par E, vont noui donner aisément les sommes séparées des réactions normales à. la voie^ qui se produisent sur les roues situées d'un côté et de l'autre du plan méridien. Posons, pour plus de commodité,

tang y = T î (98)

Ton trouvera aisément H+H'+H''=^cos9'^

, . COSô' . / , ^ , ,, , 7r\rfa* f

-^*''°*lï5^**°K^+^+""î)rfï2^ (99) — 0,020 2038* ;?î^sin2cc S

-0,0604077*.^ ces 2«^'

^Asinyî?ii'cosf«+ô4.6'-.-^ï]?2 ^sinu \ ^ ^ kjdi^

+0,0«0 2038Aiîîîi-sin2« ^ ' ' tangv dt^

+ 0,040 4077* iî5lco8 2a i^' ' tangv dt^

/tf*\(i'>'' ^3-?f^^?^.^ vg^ ^^^ jrécédentes")cootiennent encore

d'autres termes variables que les termes en k et u. ; y r»- *^«' {.. Nous trouvons dans Téquation {x\ la force de traction Q et

V " */ ' ^® *®™^ 3t ^**" ^^^ variations de ces termes ne peuvent dispa^

raîlre que par Temploi d'appareils de distribation de vapeur capables de maintenir la vitesse de rotation constante pour toute position de la manivelle.

La quautilé Q se trouve multipliée par q dans rëqualion (y)$ d'où il suit que , pour évitât l'effet de ses variations dans le mouvement de gtihpy il faudrait que la barre d'attelage^ dont q est l'ordonnée, fût placée à ta hauteur des essieux des roues motrices.

L'équation (y) contient* encore deux termes variables, l'on en S, l'autre en S^ qui nous ont fourni déjà l'équation de condition (62)

Ry— S=o.

Pour l'interpréter , il suffit d'observer , en remontant aux équations (&9 bii)^ que les pièces tournantes dont les moments d'inertie entrent dans la valeur de S sont une faible partie de la nfbsse M/>des pièces fixes. Considérant l'ordonnée N/>du centre de gravité de M/> comme inconnue^ l'équation précédente fournirait évidemment une valeur positive et très petite de N/. Il faudrait donc , pour annuler l'influence de la masse des piè^* ces fixes et des moments d'inertie des pièces tournantes, dans le mouvement de galop, que le centre de gravité des pièces fixes , ou le centre de gravité général , fût placé un peu au des'- BOUS du plan parallèle à la voie, qui passe par l'essieu moteur.

On arrive à des conséquences très différentes en posant d'au<^ très conditions que permet d'établir l'équation (97). Cette dernière et les équations (99) et (100) sont les seules qui renferment les forces H , sans contenir les forces F ou G.

Les deux dernières équations ne renferment pas Q ; cette quantité se trouve seulement dans l'équation (97) affectée du fac^ teur f — R. Il s'ensuit que la condition relative à l'invariabilité des actions normales au plan de la voie qui peuvent provenir de la variation de l'effort de traction est 9=R$ ce qui signifie que la barre d'attelage devrait être attachée au niveau des rails. Enfin cette même équation donne, pour condition de l'invariabilité des mêmes actions provenant de la variation de la vitesse , cette autre équation

On en tire, en vertu des éqaatioos (A9 bii)^ et observant que

^211 est un peu plus grand que H/-» cette conséquence , que

le centre de gravité des pièces fixes devrait être un peu au dessous du niveau des rails.

Une pareille situation du centre de gravité est plus impossible encore que la précédente, et Ton voit qu'il n'y a d'autre moyen d'éliminer Tinfluence de la hauteur du centre de gravité que de faire disparaître les variations de la vitesse.

Les deux conditions que nous avons trouvées pour la hauteur du point d'attache delà barre d'attelage ne sont pas plus concordantes. Cependant l'équation (97) peut nous offrir d'utiles renseignements. Au lieu de chercher à rendre les véac* tiens H indépendantes de la charge remorquée, il peut y avoir, au contraire , de l'intérêt à faire croître les pressions H avec la charge Q, afin que l'adhérence qui leur est proportionnelle croisse en même temps.

L'abscisse l est nulle ailleurs que dans les machines du che<> min du Nord déjà citées. Laissons de cêté ces machines pour le moment. Le premier membre de (97) se réduit alors à deux termes. Dans le cas de machines accouplées dont les cylindres sont à l'arriére, les abscisses V et V étant positives , il est visible que les pressions exercées sur les roues correspondantes croîtront avec la valeur algébrique du facteur q — R.

Dans les machines où les roues motrices principales sont au milieu , l'une des abscises V et l" est négative, l'autre est positive , et ces deux quantités sont à peu près égales d'ailleurs* Admettons, pour fixer les idées, que V se rapporte aux roues d'arrière et V^ aux roues d'avant , le premier membre de l'é* quation (97) sera à peu près proportionnel à l'excès des pressions des roues d'avant sur les pressions des roues d'arrière i cette différence diminue donc, ou^bien les roues d'avant sont soulagées relativement aux roues d'arrière, lorsque q diminue ou que l'on élève le point d'aitache. C'est, d'ailleurs, ce que l'on aperçoit aisément sans calcul. Pourtant il est bon de remarquer que, la quantité q étant toujours plus petite que R et

- lis -

produisant par cela même un accroissement de preftsion sur les roues d'arrière proportionnel à Q ou à la charge remor" quée, il paraîtrait à cet égard préférable, lorsque Ton ne reut accoupler que deux paires de roues, d'accoupler celles d'arrière plutôt que celles d'avant.

* Dans ces divers cas , il est visible qu'on se réserverait un moyen d'augmenter l'adhérence dans des circonstances asset graves , comme celles où , fortuitement, un fort courant d'air opposé au sens du mouvement ou une grande humidité des rails empêcheraient un train d'avancer, en disposant le mode d'attelage de manière à faire varier à volonté la hauteur du point d'attache de la barre (*)•

50. Enfin l'équation (97) peut servir à déterminer la posi'lion du centre de gravité d'une locomotive équilibrée. En sup^ posant cette machine placée sur une bascule p on aura la mesure des forces H; et l'équation (97), en y faisant Q etQ' nuls, ainsi que la pente g', puis la vitesse et sa premièi^ dérivée, donnera

(H4.H0Z+(H'+H',X+(H^'+H'\)r'— ^OM+S^fcsln^sinô' ces Ta+H 6'— -\

Or il est évident que le deuxième membre de cette équation est égal au moment du poids total glVL de la locomotive au*^ tour de Taxe des y. La quantité T., dans laquelle on a fait g'=Of peut donc être considérée comme l'abscisse moyenne du centre de gravité de la locomotive t Tabscisse variable du cen-» tre de gravité s'obtiendrait donc en ajoutant à I, la quantité

Jk 2M

sln^sinô'cosf a+^+^'"*t)>

(*} !<f oas avons admit dans nos éqoaUons que la force Q était horizontale. Les conséquences que nous venons de présenter ne sont rigoureases que dans cette bypottièse : il serait donc convenable d'eiaminer les limites de l'obliquité que l'on pourrait admettre sans inconvénients dans la praUque; mais cette diseussioa ne peut trouver plaee dans ce mémoire»

-- lU —

qui Aeràit nulle daod les machines éqoUibréeâ suivant les ré'* gles de M. Lechatelier, attenda qu'elles rentrent dans nos for-» mules (7/i) lorsqu'on y fait 9'=0k

On parviendra à cette expression d'une autre manière , en observant que ^Ha a pour facteur 17 cos y' dans l'équation (SO) désignée depuis par (y) « et recherchant l'ensemble des termes en g cos^'dans l'équation (y) du n<» SO ^ à l'aide des équa* tiens (/i9 Us) .

Si l'on se propose de déterminer le mouvement du centre de gravité perpendiculairement au plan de la voie, on observera

que son ordonnée est -^ïTi ^^1 d'après l'équation (20), qui est

désignée plus loin par (y) , la quantité 2Mjt: est le facteur de

( ^ — g%\tïg^\ dans ces équations. Il vient donc d'après les

équations (y), n<* 20> et (49 bis) ,

5Mfjùî=+2tM^N/4.SM^N']— 2(M"a+A,*cosrt8ind — .C'cos(«-|-*'),

ou, en vertu de (84) et (86)>

iMz „M/N/-|-2M^N^ ^M"a+A,ikcos(p . ^

tàm^^tm

SM

8inf>cos6' cos f a + e + ô' — j J.

Les deux premiers termes du 2* membre de cette équation

donnent l'ordonnée moyenne du centre de gravité , et le 3' est

la valeur qu'il faut joindre à cette ordonnée moyenne pour

avoir Tordonnée vraie de ce même point. En faisant G'=o, on

aura pour amplitude de l'excursion du centre de gravité per->

pendiculairement au plan de la voie> dans les machines équili-*

brées suivant les règles de M. Lechatelier, le double de la

quantité

ik .

ig||Smf».

Soient Zq^ôCq^ les coordonnées du centre de gravité rap-<

portées à des axes passant par sa position moyenne i on aura^ anz quantités près du &« ordre ,

jBTcsa — =7£îSinfcosô'co8(a+ô+6' — *)

^c=+5rr} sinf 8in6'cos(a+Ô+6' — - j doù par division,

équation qui est celle d'une ligne droite.

On voit donc que , dans les machines équilibrées conformé** ment aux équations (76), le centre de gravité décrit, dans son mouvement relatif, une ligne droite qui fait avec l'axe des a un

angle égal à^+^S mesuré dans le sens du mouvement de la

manivelle motrice ; et que les systèmes de contrepoids carac-^ térisés par des valeurs égales et de signes contraires de G' don« nent lieu à deux trajectoires rectilignes du centre de gravité, qui sont symétriques par rapport à une droite parallèle à Taxe des È et passant par la position moyenne de ce centre de gravité» Les équations (101) montrent d'ailleurs que cette ligne se ré-» duirait à un point; et que, par suite, le centre de gravité n'aurait aucun mouvement relatif, si la quantité k pouvait être rendue nulle.

Notons que ces résultats, obtenus en négligeant les quanti«* tés du 4* ordre, deviendront rigoureux dans le cas où^ la somme des angles e et 6' serait égale à un multiple impair de l'angle droit ; la trajectoire du centre de gravité serait alors parallèle aux axes des cylindres. Ce qui vient d'être dit précise nettement la signification mécanique de l'indéterminée 6'.

51. Les équations (99) et (100), qui donnent les valeurs séparées des sommes des réactions normales pour les roues situées d'un côté et de l'autre du plan méridien , seront utile* ment employées pour déterminer une limite inférieure des

réaclioùs ûorxnaVes H aatquelles une foud en particdliôr doit exposée dans une machine équilibrée. En effet, cette moindre valeur sera égale à la moyenne des valeurs maximum des trois ^ quantités H, W, Û'^, pour un côté, et H,, E\, W\, pour Vautre cété. Cette moyenne se composera, dans les deux cas^ du sixième de la composante normale du poids de la machine, augmenté, si l'on n'a égard qu'aux termes principaux^ de la quantité

dans laquelle kious supposons k positif, d'après la construction

actuelle des locomotives^ et le rapport -^ — également positif.

(Cotte hypothèse est toujours possible, puisque, l'angle u n'étant donné que par sa tangente ^98) , on pourra le prendre tel que son sinus ait le signe de cos^^)

Observons toutefois que ces valeurs maximum n'ont pas lieu simultanément : du cété des y positifs, le maximum a lieu pour la valeur de a , qui satisfait à la relation

dù cAté des y négatifs le maximum a lieu lorsque Ton à On peut se proposer de rechercher quels sont les points des

{*) Si Ton caleale la Tstoiir de cette eipreision an moyen des données dit n* S4, complétées par les suivantes r=0«,28, Bal»,375, A«'0»,944| Ëe=i0",75 , o^saO, et que Ton désigne par n le nombre de toors par seconde, on trouvera

^ittinf -r— -r:a*a61,7.n«kll.j

3 ^ 8inu dfl • '

ce qai donne 987 kil. poor 4 tours par seconde: ainsi, la moindre va-^ rialion de charge à laquelle Tune des roues se trouve exposée à chaque tour 8'élève à près de 1000 kilogrammes. Tel est 1^ résultat auquel conduit remploi des règles de H* Lechateller.

circonférences des roues en contact avec les rails anx instants où la somme des réactions normales est un maximum. Soient, pour le côté des y positifs, c? l'angle du rayon passant par le point de contact avec la maniTollo motrice , mesuré dans le sens de a; et pour le côté des y négatifs, -7^ l'angle correspondant au point de contact, mesuré à partir de la manivelle située de ce côté et dans le même sens que a. On aura, dans le pre^ mier cas,

TT

ce — O+C-P-j,

et dans le second'

De ces équations, jointes aux précédentes, on tire

(u étant pris de manière que son sinus ait le signe de cos6').

Il paraît assez admissible que dans les machines munies de contrepoids calculés pour faire disparaître les tendances au mouvement de galop, les points où se produiraient les pressions maximum seraient sensiblement placés de la même manière, par rapport aux manivelles, pour les trois roues situées d'un même côté. On peut présumer aussi que, dans les machines où la tendance au mouvement de galop n'est pas détruite par des contrepoids convenablement calculés, les roues du milieu doi^ vent à peu près échapper aux ettets de cette tendance. S'il en était réellement ainsi, l'application des équations (102) aux roues du milieu faciliterait l'étude de l'influence des réactions normales au plan do la voie relativement à l'usé local des bandages des roues motrices. En effet, lorsque les contrepoids sont calculés en attribuant à Q' la valeur zéro, il ne subsiste de tendances aux glissements dans le sens de la voie et dans le sens transversal que celles qui proviennent des variations de

vitesse , et d'autres qui sont représentées par des termes do deuxième ordre dans Téqualion (z) relative aa mouvement de ïaeei. Or la variation de vitesse provenant du mode de distribution de la vapeur est une quantité périodique : en un tour de roue elle présente deux maximum et deux minimum ; il en est

de même des termes de deuxième ordre. Si donc Tusé local des

bandages pouvait être attribué à ces deux causes, il devrait se manifester par quatre plats sur la circonférence des roues motrices , qui se confondraient en deux si les maxima des deux actions que nous considérons coïncidaient : dans ce cas, les deux plats seraient situés aux extrémités d'un même diamètre et différeraient peu de profondeur , la matière de la roue étant d'ailleurs supposée homogène. Mais il parait que le plus souvent il ne se produit qu'un seul plat assez profond sur chaque roue. On est donc conduit à attribuer cette dégradation à d'autres causes que les variations de vitesse ou aux termes de deuxième ordre dans les machines dont il s'agit.

Si, au contraire, on doit les attribuer aux variations des réactions normales H, la situation des plats ou flacbes devra coïncider à peu près avec les points des circonférences des roues motrices du milieu, que déterminent les valeurs de c et sr, (102) (*). Nous livrons cet aperçu à l'appréciation des ingénieurs de chemins de fer, et particulièrement des ingénieurs du chemin du Nord, qui ont entrepris de relever avec soin

(*} Inapplication des formules (102) aux machioes équilibrées diaprés les règles de tf . Lechatelier eiige une précaution particulière. Nous avons dit que nos équations (74) coïncident avec les règles de M. Lediatelier dans le cas des cylindres borizontaui lorsqu'on y fait d' =» o on «. Mais comme cet ingénieur n^a point indiqué les règles à suivre dans le cas des cylindres inclinés , il est possible que l^on ait déterminé les contrepoids dans tous les cas comme sMl s^aglssait de cylindres horizontaux. Dans cette hypothèse, il faudra faire O'»— 0ouir— 0,en choisissant celle de ces deux valeurs qui rend cosd' positif, afin que v paisse toujours être un angle aigu positif. En effet, les formules de BL Lechatelier reviennent à nos équations (74), dans lesquelles on supprimerait les termes en ii;'. Or cette suppression équivaut k 9^6^=0 un r. Il faudrait donc alors remplacer les valeurs de 1» ef». par

les profils des roues de leurs locomotb es, lorsqu'elles rentreni dans les ateliers après un service prolongé*

paOPOSITlON SUBSIDIÀIBS DEVANT SBaVlR ▲ BÉGLBB LA DISTBIBDTION DBS GONTBBPOIDS BT LB MODB D*ACG0UPL81IBNT DBS BOOBS MO- TBICB8 DANS LBS CAS INDÉTBBMINÉS.

52. Les équations (93) , qui sont au nombre de deux seule* raent, contiennent encore les quatre inconnues fA^sini', pycose'j fi'y'^'ï^s"» ii!'p"eos6*'. Une considération fort importante dans la pratique nous fournira un moyen de lever rindétermination. — Les masses des contrepoids peuvent de^ venir assez considérables pour que l'on ait de la peine à les loger dans les intervalles compris entre les rayons des roues. Il convient donc de faire en sorte que la somme des masses soit aussi petite que possible. Pour ne pas accumuler les difficultés analytiques , nous substituerons à cette condition celle du minimum de la somme des quantités np , ^y , etc. Les 2* et 4* équations (88) vont nous faire connaître les circonstances favorables à ce résultat. En les ajoutant , et ayant égard aux équations (92), il vient

f*/>cosî+fit|BjCOSf,+2XfAVcosf'= — f U+r- J +2*'cos0sin^(ô+6'),