FORMULES GÉNÉRALES

RBLATITBS A I.^BTABLI55BMBKT DBS CONTBBPOIDf .

Notations.

53. Sens des abscisses positives , et origine des coordonnées. — Pour fixer les idées , concevons que la locomotive s'avance dans un sens déterminé , mais cependant entièrement arbitraire. Les abscisses positives seront comptées dans le sens du monvement de translation et à partir du milieu de la droite qui joint les centres des cercles décrits par les extrémités des bielles motrices. Dans toutes les machines , excepté celles employées au chemin du Nord , dont il a été question plusieurs fois, cette origine des coordonnées coïncidera avee le milieu de Taxe de l'essieu moteur principal.

Sens de Vinelinaison des axes des cylindres, — L'inclinaison est l'angle formé par l'axe des abscisses avec l'axe du piston^ mesuré dans le sens des abscisses positives aux abscisses négatives, en passant par le zénith ; en sorte que cetta inclinaison sera de 180* pour les cylindres horizontaux placés à l'arrière [voir fig. (i) et (S)].

Q désigne l'inclinaison ainsi définie.

Mùnivelte principale.

r rayon de la manivelle principale.

BUlle.

M' masse de la bielle ; B longueur de la bielle ou distance des axes du bouton de la

manivelle et de la tête du piston ; W distance du centre de gravité de la bielle à l'axe commun de la téie du piston et de la bielle , comptée de cet axe vers le bouton de la manivelle } W^ distance du centre de percussion relatif à l'axe commun de la tête du piston et de la bielle , ou longueur du pendule

simple qai aceomplit ses très petites osciUaiions autour de

cet axe dans le même temps que la bielle ; T durée des petites oscillations de la bielle autour de Taxe

de la tête du piston.

Piston.

W masse du piston ; A distance de Taxe du piston au plan méridien , ou demi-

écartement des axes des cylindres.

Manivelles n principale ou d'accouplement; boutons de manivelk; bieUes d^aecoupUment. — Ces pièces sont supposées symétrie ques par rapport au plan parallèle au plan méridien qui passe par leur centre de gravité ; s'il en était autrement, il faudrait les décomposer en parties distinctes qui satisfassent à cette condition :

M^'^ masse de Tune quelconque de ces pièces ou parties

dbtinctes d'une même pièce ; C"^ rayon du cercle décrit par son centre de gravité ; U" abscisse du centre de ce cercle ; A''' distance du centre de gravité au plan méridien. Contrepoids des roues motrices principales.

Notations communes aux deux roues :

fi masse d'un contrepoids ; { abscisse de l'axe de l'essieu moteur principal, quantité qui

sera nulle dans toutes les machines, excepté celles du chemin du Nord rappelées plus haut; y. distance du plan du centre de gravité des contrepoids au

plan méridien y valeur compaune aux contrepoids portés

sur toutes les roues.

Notations particulières :

i"*. Contrepoids de la roue située du cêté de la maniv elleui est le moins avancée dans le sens du mouvement de rotation ; p distance du centre de gravité du contrepoids à l'axe de

l'essieu 3 I angle du rayon qui aboutit à ce centre de gravité , avec le

rayon de la manivelle principale située du- même côté.

mesuré dans le sens da mouyemeni de rotallon ; 2*. Contrepoids de la rone siloée du cdté de la manivelle qui est le plas avancée dans le sens da moavement de rotation ; p, rayon aboutissant au centre de gravité du contrepoids^ c^ angle de ce rayon avec la manivelle située du même côté. Cantrepoidê ie$ rauei portées par Vun de$ deux outrée es$i$ux. Notatickos communes aux deux contrepoids :

II' masse du contrepoids ; y rayon j

c' angle de p' avec la manivelle située du même cété ) V abscisse de Tessieu.

Contrepoidi de Vautre paire de rouée. — Mêmes notations que

les précédentes^ avec deux accents au lieu d'un seul. Indéterminée 9'.

Q,' angle qui jouit de la propriété de faire disparaître les ten« dances aux mouvements de tangage et de /o^al, lorsqu'on lui donne la valeur o ou dzir , et de détruire les tendances aux oiciUationM normaUê au plan de la voie et au mouvement de rouliê quand on le fait égal ^ ± ^-

En négligeant les termes du ^* ordre, on trouve que le mouvement relatif du centre de gravité d'une locomotive munie do contrepoids calculés suivant nos formules est rectiligne. L'an* gle 6' se trouve être Tangle que fait la trajectoire rectiligne de ce centre de gravité avec le cOté inférieur de la perpendiculaire au plan de la voie, mesuré de ce côté vers Tarriére.

Deux systèmes de contrepoids calculés avec des valeurs égales et de signes contraires de G' présentent le même degré de stabilité ; il n'y a de différence entre eux que les positions du système pour lesquelles des actions pertubatrices de même intensité se développent.

A défaut d expériences qui fixent la valeur la plus convenable de cette indéterminée dans chaque cas donné, il paraîtrait préférable de lui attribuer une valeurentredi30*et dz/i5*, plutôt que de la prendre égale à zéro. Cet angle serait indifférent si l'on pouvait rendre nulle la quantité k ci-dessous.

l^ûkun ûuû6iliair$i.

fr rapport de la circonférence an diamètre, da 180 degrés

sexagésimaux sous les signes sin et ces } g accélération produite par la pesanteur par unité de temps;

Tangle f doit être pris entre zéro et -|-^» c'est Tangle aigu de

la bielle et de Taxe du piston , pour un angle de la manivelle

avec cet axe, égal h ^o^ ^ r> dans le cas de e=-,on a

ah DO

»=8*7'48'», logsinf =9,160615.

l'ambiguïté de Tangle e est indifférente.

*=M'(B— B')+Jr'B, (c)

8in(e+|)

Dans ces deux formules et Tune des suivantes » les sommes S s'étendent à toutes les masses M"^ situées d'un cdté seulement du plan méridien, et les signes -|- ou — doivent être employés suivant que le rayon G" est de même sens que le rayon r dé la manivelle située du même cOké, ou de sens opposé.

B cosf ^ '

La quantité — s^ peut être remplacée par sa valeur très ap-*

prochée --;;= jdans lecas où 5=rf on a— 2- =1,005 077. Kcoff B 5' 00S7 '

Formules généralei.

Les formules guimeintes, qai sont relatives au niou?eineiit de galop , suffiront au calcul des contrepoids de masses / dans le cas de quatre roues couplées seulement; autrement il faudra joindre deux relations arbitraires k ces équations :

/p'(r— j) sinf/ ^itffpff(yr j;^ sîne" =z «'.slQô +l'k^ 8in(ô + 0') co8(0 + e')

j*y(P r)co8f'+ft'V"('"— Ocosc''=0'.cosô — ^j'^+i^U— *gsin»(ô+e'))

Nous avons dit que le plus généralement { sera nul , ce qui apportera des simplifications.

Les éléments des deux contrepoids des roues motrices principales s*obtiendront ensuite par les formules

^p8ine=— (//sinî' + f*Y'sinc'0--*(D— y)— *'8în(0+6O<»s(d

ftpco8c=— 0*ycosf'+fiV'<»«O--|(u+y)+*'8in(ô+e08^^

PP.sînf,==--(^ysins'+fxY'8»n«'0+^fu— ^)— A'sInCe+ôOcosCô+ô^

fip,cosi,==--(/xycose'+fAV'coBf'0--^(U+T-J+A'8in(6+ô08in(ô+6'— e)

et les calculs pourront être vérifiés par les relations

pp 8ins-f-fAPi8inri= — *'8in2(0-f-O cûs© — 2(fA',o'8ini'-j"f*'y 8Îni'0 fjLpcosg — fiip^cosr,= — ^'8in2(ô+6') sine.

Disons un mot de la résolution des équations (h), (t)» ()). Si le nombre des roues accouplées était de quatre seulement, l'une des quantités /' ou ^t' serait nulle, et en divisant les équations (h) par V — { ou V — {, les premiers membres prendraient la forme de ceux des équations (i) ou (j). Dans le tas où les six roues seront accouplées, on pourra toujours en pratique disposer de deux relations arbitraires pour ramener les premiers membres des équations {h) h cette forme. La résolution des équations (i) s'effectuera on divisant la première par la seconde, ce qui donnera la valeur de tangt-, d'où Taugle t lui-même, avec

— iV) —

une ambigQÎté que Ton fera disparaître par la considération que, fi/> étant essentiellement positif, e devra être pris de manière que son sinus et son cosinus aient respectivement les signes des seconds membres des équations (î). L'une ou l'autre de ces équations donnera ensuite ^ip en divisant par sin c ou €08 s. Les équations (/) feront connaître de même t, et /&/>,. Quant «ux valeurs séparées de fi, p et f^^ elles se déduiront de ta consi* dération de Tespace disponible entre les rayons des roues ; toutefois, en ce qui concerne les roues motrices principales , il ne «uffiira pas que les produits fxo et np^ satisfassent aux équations précédentes, il faudra encore disposer des distances p et p^ de manière que les valeurs de fx soient égales (*;.

Enfin, nous ferons remarquer que, B'^ tenant Heu du moment d mertie de la bielle i, les équations précédentes sont bomogè'^ nés par rapport anx masses , et que dès lors on y peat remplacer les masses par les poids ; on peut également y remplacer les distances A, A"' et >, au plan méridien^ par le double de ces quan« tités ou les distances qui séparent les plans qui contiennent les centres de gravité des organes correspondants dans les deux machines dont se compose la locomotivci.

(*) Si l'on ne suppose pas les masses /i des contrepoids appartenant à an taième essiea assajetties à être égales, Pane étant fi, l'autre yu,, on trouve que imy' étendu à toutes les niasses de la tocomoUve n^est plus nul ; et le deuiième membre de FéquaUon (18) devrait alors être augmenté de

[ gsiny' ^y-] zmy', ou, en ayant égard aux notaUonsdu tableau du n» 15, de

gsSuff — -2 ] U^io^i)^ > quanUté variable avec -^ , mais très petite. Le deuxième terme de Téquation (19) devrait , par la même raison , être augmenté de —geonçf (/>«— /«,)> , quantité constante.

Donc, en négligeant les variations de -^(ycc— Mt)^ dans le mouvement de Xaeeif et se rappelant que m^i entre dans toutes nos équations comme une quantité unique, on pourra écrire /ut,/9, à la place de /k/»., et disposer arbitrairement du rapport de /« et de /x, pour faciliter rapplicaUon des contrepoids.

Si ft et /te, sont Inégaux , le mouvement du centre de gravité général, au lieu de se faire dans le plan méridien , aura lieu dans un plan parallèle à celui-ci et sera le même du reste.

DÉTBEIIIIIATION DBS GOMTKBPOIDfl DANS LIS DIFFAEBNTS StOkmÉÊ

DB MACHINB8 L0C0M0TITE8.

54. Nous laisserons de côté dans ces applications les machines dachemin de fer du Nord, où l est difiérent de zéro. Pour les autres machines, les termes en I disparaîtront des seconds mem« bres des équations (A) , et les abscisses seront comptées de l'axe de l'essieu moteur principal. A l'aide des données particulières k chaque machine, ou pourra dans tous les cas effectuer le cal* cul des quantités auxiliairei dun* précédent à l'aide des mêmes équations (a), 16)..., (/*), (y).

La résolution des équations (A) fera le principal objet de la discussion. L'emploi des équations (t) et (/) nécessitera l'adop* tion d'une valeur de l'indéterminé G' } or, avons-nous dit, l'ex* périence seule peut prononcer à l'égard du choix de cette quantité. Cependant, lorsqu'on entreprendra d'expérimenter» il sera nécessaire de faire l'application de nos formules : nous procéderons donc comme si 6' était une quantité donnée.

Machines à six roues aecouplées.

Machinée dont les cylindrée iont à l'arrière» La quantité tv. est généralement négative avec la forme que l'on donne actuellement aux bielles des machines locomotives , et la valeur absolue de cette fonction est d'autant plus petite [2* équation if)] que la masse de la bielle est plus accumulée autour du bouton de la manivelle. D'après nos conventions relatives k Tin-' clinaisoo, est peu différent de 180*, ce qui rend cosd négatif, et par suite positif le produit nfjcosBj avec la forme ordinaire des bielles. Les machines dont il s'agit étant à cylindres exté* rieurs , les rayons C sont de même sens que le rayon de la manivelle principale; les abscisses W sont d'ailleurs toutes positives : il s'ensuit que la fonction m», est nécessairement positive. Le signe de la quantité ff^.cosG-^K'. ne saurait doue être généralement prévu que dans le cas où la forme de la bielle satisferait k la condition h^,=:o.

Il 86 présente un cas remarquable , c'est celui oii les cylia* dres étaal horizontaux , on pourra disposer des masses des ma« niyelleset des bielles d'accouplement de manière que l'on ait K^^s— ^,. Dans ce cas, on aura la faculté de ne point appliquer de contrepoids aux quatre roues de devant, car, tétant nul, les équations (h) seront satisfaites en y faisant fA'=o, /'=:o. On y pourrait satisfaire d'autres manières; mais le 2* membre de la 2* équation {h) élant nul, et les facteurs de ciose' et cosc'^ étant positifs dans les premiers membres , il faudrait que l'un de ces cosinus fût positif, ce qui est défavorable à la réduction de la somme des quantités p/s, d'après notre énoncé du n* 32.

!• Soit wfiosO — «'i>o.

On pourrait joindre aux deux équations (A) des conditions telles que celles-ci s

// sin e' =fAV' ^^^ «"i f*V' ^^ «'=fi"p'' co»«" 9 (* 05)

et les équations (Ji) deviendraient

(r +i")fty sin«'=i:M'„sinô , {V -j- F) f*y coss' = w.cos $ — fVi»

Les contrepoids des U roues autres que les roues motrices principales seraient identiques. Les abscisses P et P étant positives» ainsi que le 2* membre de la 2* équation, il s'ensuit que cos c' sera positif, circonstance défavorable h la diminution de la somme des quantités yip. L'angle $ étant voisin de deux droits, sin s' sera très petit, et cosc' voisin de l'unité : d'où il suit que la somme des quatre quantités /i'p^ serait sensiblement égale à

^q-^ («'.coso— «'J.

Mais on réduira la somme des masses des contrepoids si Ton supprime ceux des roues du milieu, se bornant à en adapter aux roues de devant et d'arrière. Supposons que V% /y et e'^ se rapportent aux roues d'avant; en faisant fA^=o il viendra t

} (ioe)

r/y8în8"=ff,8in0,

r^pi'ycO8e"=*J',COS0 - ^,.

-^ ISO — et la somme des deux quantités /y sera sensiblement

quantité moindre que la précédente à cause de r<r'.

Il conviendra donc dans ce cas de ne point adapter de con* trepoids aux roues da milieu , et de calculer ceux des roues d'avant par les formules (107).

Les contrepoids des roues d'arrière se calculeront ensuite par les formules (i*) et (j) en y faisant fA'=:o.

a» Soit ^f^cos «- «^j < 0.

(Cette circonstance aurait lieu nécessairement si Ton prolou'' geait la bielle de manière à avoir ff^^^o.)

Le 2« membre de la 2* équation (A) étant négatif, les deux cosinus pourront être négatifs ; et , si Ton veut profiter de cette circonstance pour diminuer la masse des contrepoids des roues d'arrière, il y aura avantage à conserver des contrepoids aux roues du milieu, et simplicitéàemployer les équations (105) et (106). Les contrepoids des roues d'arrière dépendront des équations (i) et (j) , dans lesquelles on remplacera

/ / sin ri ff rt sin „ e^ t r sin #

«^Vcos'+f^^cos* P^' 2^Veos*-

3» Soit fï^^cos e — fi', = 0.

En faisant les deux hypothèses qui conduisent aux équations (106) et (107) , on voit que les angles e' et e'' seraient égaux à

— z^^^ que les contrepoids ainsi déterminés n'auraient aucune

influence sur la somme des quantités fii/>cos( étendue à l'ensem-" ble des contrepoids j or il y a de l'avantage à réduire la somme fA^^'-f-fA'y. On y parviendra en supprimant les contrepoids des roues du milieu et faisant usage des équations (107), puis achevant le calcul au moyen des équations (î) et (j), privées de leurs termes en fi',

Roueê motrieeê princtpàUs au milieu, cylindres à VavanL — Dans Tétat actuel des choses ^v, est négatif; mais ici cosO est positif^

ce qui rend négatif le terme m^oCosO. Quant à m»,, les abiscisset U^' relatives aux bielles d'açcooplemeut f étant de signes con-< trairas si l'on a affaire à deux bielles distinctes y donneront lien à des termes qui se détroiront h peu près, et à un résultat voi-< sin d'être nul s'il n'existe qu'une seule bielle équivalente; les termes relatifs aux manivelles donneront des résultats variables, suivant que les machines seront à cylindres intérieurs ou extérieurs, en sorte qu'on ne saurait fixer généralement le signe de ^oCosG — ff,.

!• Soit ^ocos ô — «>, > 0.

Les dbscisses ¥ eil" étant de signes contraires , et pfèsqoe» égales d'aîllearB, il est visible qu'il sera avantageux de supprimer les contrepoids des roues d'avant. En convenant que {^^ f^S p' et e', se rapportent aux roues d'arrière, il est évident que cos tf deviendra négatif , résultat important h obtenir. On aura donc pour 'èakuler ces quantités :

UyJp' sia s' = fip0 Sio 9 y

l'in'p'caêi'sziç^eosB — »»jj

et les contre-poids du milieu se tireront des équations {i) et (;), dans lesquelles on fera fx'^rzo.

2* Soi t wjnos 9 — «»» < o .

On sera conduit dans ce cas h supprimer les contrepoids des roues d'arrière, et l'on se servira des équations (107) pour calculer les éléments des contrepoids des roues d'avant. Les équations (i) et (j)f en y faisant p^=o, feront connaître les contrepoids des roues motrices pripcipales.

3* Soit HT^cosG — Wj =0.

Bans eetle drcoostance on peut à volonté choisir l'une ou i^àtlre des deux solutions précédentes, ce qui est évident ; les contre poids de masses fi ou /^ seront d'ailleurs très foibles , à cause que sine est une faible fraction.

ttachines à quatre roues aceoupléest

8tt. Roues motrices principales à Varrière. -^ Il est clair qull he peut être question que de l'accouplement avec les roues du milieu. Les quantités V, ^'ip\ «'^ se rapportant à ces roueS) les équations (A) deviendront

^/p'sin (' = f f^^sin 9 ,

r^y C08 1' = f^'.COS — «'i.

et l*on en tirera e' et fi^/)'. Ce mode d'accouplement ne sera ^ avantageux, au point de vue de la réduction des masses des contrepoidSi que si la fonction wfiOêB — fp^ se trouve être né^ gative; dans le cas contraire on serait obligé d'admettre une valeur positive de cosc% ce qui nécessiterait un accroissement des masses des contrepoids des roues motrices principales* Quoi qu'il en arrive^ les équations (i) et (j), en y faisant fA"=:0| serviront à déterminer ces derniers.

Roues motrices principales au milieu. — Les abscisses V et V sont de signes contraires : nous emploierons les accents ' pour les roues d'arrière, et les accents'^ pour les roues d'avant.

!• Accouplement à t arrière. --» On fera usage des formules (108) i et Ton observera que cose' ne sera négaiif qu'autant que l'on aura f^.cosG — »^i> o ; dans le cas contraire ce mode d*ac-» couplement serait désavantageux.

2* accouplement à Vavant. — On se servira des formules (107)^ qui ne donneront cose'^ négatif^ que si Ton a çvjcos B — '^^ < o.

Il s'ensuit qu'en l'absence de motifs étrangers qui con^ doisent à préférer l'un des deux modes d'accouplement à l'autroi il faudrait accoupler les roues à l'arrière ou à l'avant, suivant que la fonction correspondante «f^cosO— f<^, est positive ou négative (*).

MMW

(*) Je profiterai de la circonstance pour Justifier une assertion que f ai émise detant la Société des ingénieurs civils. C'est que, si Ton ne se préoccupe

— ISS —

Les équations (î) et (J), en y supprimant les termes affectés de f&'' dans le premier cas, et de p' dans le second, feront con* naftre les éléments des contrepoids des roues motrices principales.

Machines à roues Indépendantes.

36. Dans ces machines, le seul terme que contienne la somme ZdiM^''C'''U" est relatif à la manivelle principale; mais ce terme est nul, attendu que Tabsclsse correspondante L"' est égale à zéro : on a donc w^^^^o. Les masses [t! et p'' étant nulles aussi, les équations (h) n'admettent d*autre solution que

laquelle se réduit en vertu de la 2* équation [f) à

Nous avons déjà dit que cette condition ne peut être avantageusement remplie que par un prolongement de la bielle différent de celui qu'exigerait la condition it=o, relative à la destruction simultanée des tendances aux mouvements de tangage^ laeet, oicillationi normalei et mouvement de roulii. Il faut donc renoncer, dans les machines à roues indépendantes, à détruire les tendances au mouvement de galop^ si Ton ne consent pas à prolonger la bielle de manière à satisfaire à l'équation (111), et, dans tous les cas, renoncer à faire disparaître simultanément les tendances aux divers mouvements qu'on peut redouter dans une machine locomotive. La facilité qu'offrentles machines

que du monvement de galop, et que Ton sappose Pa^ f, et la varitUon de M», à peu près insignifiante par rapport à wocosd lorsque l'on passe de l'on des modes d'accouplement à Pantre , il est indifférent d*accoapler à Pavant ou à Parrière; mais que, dans cette inversion, les contrepoids des roues ei* trêmes doivent être disposés en sens contraires. Cela résulte en effet de la comparaison des équalioas (i07) et 106), où, les seconds membres restant les mêmes, les coefficients W et V des premiers deviennent égaux et de signes contraires et conduisent nécessairement aut relations if'— <'»:(:«, /i»f^^fiffi'

à cylindres exiériearB de prolonger la bielle ne serait-elle pas une raison de les préférer aux machines à cylindres intérieurs ? Le calcul des contrepoids s'effectuera au moyen des équations (%) et (j)9 privées des termes qui ont pour facteurs les masses ja' et fx"*

Machines employées aa chemin da If ord.

57. Noos vouîons parler des machines qui présentent cela de particulier, que le centre du cercle décrit par Textrémité de la bielle ne se trouve pas sur Taxe des roues motrices principales. .

On appliquera à ces machines te mode de discussion dont nous avons fait usage dans lesn^* 3& et 35 ; seulement, l n'étant pas nul, on pourra considérer comme essieu moteur principal celui qui est le plus voisin de la droite qui joint les centres des cercles décrits par les extrémités des bielles, et prendre l pour l'abscisse de cet essieu. Il faudra donc, dans la discussion et les applications, conserver les derniers termes des seconds membres .des équations {h). À cela près, le calcul des contrepoids s'effectuera, pour ces machines, de la même manière que pour les machines étudiées plus haut qui présentent le même mode d'accouplement.

BASES d'un projet RATIONNEL d'eXPÉRIENCES A ENTREPRENDRE POUR RÉSOUDRE LES QUESTIONS ACTUELLEMENT INACCESSIBLES A L* ANA- LYSE MATHÉMATIQUE DANS LA THÉORIE DE LA STABILITÉ DBS MACHINES LOCOMOTIVES EN MOUVEMENT.

38. Les expériences que nous proposerons aux ingénieurs ont leur point de départ dans la théorie exposée dans ce mémoire* Il se pourrait cependant que Ton trouvât utile de vérifier expérimentalement l'exactitude de la théorie elle-même. Nous commencerons donc par dire quelques mots des procédés à employer pour effectuer cette vérification. Une opinion très

généralement répanduo consiste en ce que les résultats obtenus au moyen d'expériences faites en petit ne prouvent rien iorsqu il 8*agit des applications en grand. La question qui nous occupe offre un exemple où^ au contraire, une expérience en petit peut être rendue plus démonstrative qu'une expérience en grand. Les expériences faites jusqu'ici sur la stabilité des locomotives ont consisté à suspendre une telle machine munie successivement de divers systèmes de contrepoids et à mettre en mouvement l'appareil moteur; puis on constatait plus ou moins imparfaitement les oscillations du bâtis de la machine. Or il est clair que les effets provenant du mouvement de l'appareil moteur devaient être d'autant moins sensibles que la masse entière de la locomotive était plus considérable par rapport aux masses des pièces mobiles, et que ces effets se seraient trouvés considérablement augmentés s'il avait été possible de réduire la masse des pièces fixes au seul bâtis de la locomotive. Ce mode d'expérimenter^ impraticable avec une locomotive, peut au contraire s'appliquer avec la plus grande facilité à un petit modèle. Imaginons un châssis très léger et aussi très résts* tant, sur lequel on établirait trois paires de roues pouvant être accoupléesde diverses manières, et deux systèmes de manivelles, bielles et piston, dont les masses seraient considérables par rap* port à celles du châssis et des roues. Quant à la mise en mou* vement de ces pièces, elle derait obtenue, soit au moyen de la vapeur, soit plus simplement à l'aide d'un mouvement d'horlogerie communiquant directement avec l'axe de l'essieu moiteur principal. Cet appareil serait suspendu à des lames élas* tiques, dont les flexions mesureraient les exeursions verticales des points de suspension. Des indicateurs, ou tout autre mode d'observation, donneraient la mesure des excursions du bâtis, tant dans le sens longitudinal que dans le sens latéral. Les premières expériences auraient pour objet de constater les divers mouvements du bâtisi lorsque les roues motrices non munies de contrepoids seraient animées de vitesses moyennes de rota* tion déterminées. Voici ensuite les vérifications de la théorie

que Ton pourrait 6e proposer à l'aide de cet appareil : i* on appliquerait aux roues autres que les roues motrices principales des contrepoids calculés à Taide des formules {h) n* 33, et Ton constaterait que le mouvement de galop a disparu } 2* on armerait en outre les roues motrices principales de contrepoids calculés d*aprè8 les formules (t) et (J) en y faisant 6'=o, et Texpérience montrerait que les mouvements de tangage et de lacet sont supprimés, tandis que les oseillationa verîieaks et le mouvement de roulis subsistent; 3^ ces derniers contrepoids seraient remplacés par d'autres calculés suivant les mêmes formules,

mais en y faisant G'=di - , et Ton trouverait que les oscillations

verticaleâ et le mouvement de roulis ont cessé de se produire, tandis que le tangage et le mouvement de lacet se sont manifestés de nouveau ; Zi* on pourrait comparer les effets de deux systèmes de contrepoids des roues motrices principales calculés avec des valeurs égales et de signes contraires de d', mais différentes de zéro ou --, et s'assurer que^ pour des vitesses égales,

les mouvements qui subsistent acquièrent des amplitudes égales respectivement; 5* enfin, l'appareil étant supposé avoir au moins quatre roues accouplées, il y aurait à changer la bielle en y substituant une bielle prolongée du cété du bouton de la manivelle, et munie, de ce côté , d'un contrepoids capable de faire équilibre au poids de la bielle et du pbton autour du bouton de la manivelle; en d'autres termes, la bielle devrait être disposée de manière à satisfaire à la condition kzzio ou ft'rzo, la valeur de ft étant donnée par l'équation (e) n» 33. Dans cette circonstance, tous les contrepoids seraient changés et calculés d'après les équations (A), (i) et (/)• L'expérience montrerait alors que tous les mouvements ont sensiblement disparu ; il ne devrait subsister que ceux qui répondent aux termes du 2'ordre et des ordres supérieurs, que nous avons négligés, et aux termes dépendants des variations de vitesse, dont nous n'avons pu réduire les coefficients à zéro. (Voir équations du n« 28.)

t)an8 cette (lernière expérience , il serait nécessaire d^employor un ressort moteur plus fort , ou une plus haute pression si l'on employait la Tapeur, pour vaincre les frottements qui se développeraient ^ p&r des vitesses un peu considérables, sur les glissières et les boutons des manivelles motrices; les sections des bielles , les boutons de manivelles et les glbslères elles-mêmes devraient , d'ailleurs , présenter une résistance suffisante aux efforts qui répondent aux variations de la vitesse angulaire des bielles et au carré de cette vitesse.

Telles sont les expériences qu'il y aurait lieu de Taire préalat)lement si l'on avait quelques doutes sur l'exactitude de notre théorie, et qui seraient de nature à en vérifier les points fondamentaux; mais les expériences que nous avons plus particuliètement en vue sont d'une tout autre nature et doivent être faîtes, non avec des modèles en petit, mais bien sur des locomotives faisant un service assez régulier pour qu'il soit possible de constater sûrement les inconvénients que peut présenter un système donné de bielle et de contrepoids.

59. Nous avons vu que toutes les conditions théoriques de la stabilité seraient remplies dans les machines accouplées si Ton prolongeait la bielle de manière à satisfaire à l'équation ik=: o, ce qui rendrait les autres équations de condition indépendantes de l'indéterminée 6'; nous avons dit aussi , n* 27 , quels inconvénients entraînerait la réalisation de cette condition. Quant aux machines à roues indépendantes, il n'est pas possible, même théoriquement, de satisfaire à l'ensemble des conditions de la stabilité. Hais i( résulte de ce qui a élé exposé au n* 27 que, dans tous les cas, il ne naîtrait d'inconvénients sensibles d'un prolongement de la bielle qu'à partir du point où l'on aurait ^9;=- o ou B''=B; en sorte qu'il sera toujours avantageux de prolonger la bielle au moins jusqu'à ce point. La quantité A ne pouvant généralement être rendue nulle dans là pratique , et les conditions k =o et wr^iHï se trouvant incompatibles dans les machines à roues indépendantes , la détermination des

contrepaids dépend à la fois des quantités h et fi^^ relatives k la bielle , et de l'indéterminée 6' (on pourrait ici substituer h B' la somme 9 -]- 6^ considérée comme une seule variable^ mais d*autrès considérations vont nous conduire à conserver }a variable G'). Le problème général qu'il nous reste h aborder consiste h déterminer la distribution de la masse de la bielle et la valeur de 6S qui , dans un systèmp donné de locomotive , entraînent la moindre somme d'inconvénients.

Les inconvénients relatifs à Taccroissement des pressions exercées sur les glissières et les boutons des ipanivelles ont été examinés n* 27 , et Ton a vu que cet accroissement dépend particulièrement de k^, et à un moindre degré de h. En se reportant aux équations du n* 28, qui donnent les variations des «ommes des composantes des actions exercées par les rails el de leurs moments, on reconnaît que les variations restante» après l'application des contrepoids dépendent principalement de keiQ\ tandis que ip, n'exerce qu'une assez faible influence. (L'indéterminée Q' se présente^ dans ces équations « isolée de l'angle d.) Admettons que l'on puisse assigner numériquement la somme des inconvénients à redouter, et soit x cette somme: la quantité ^ ^^^ ^^^ fonction des trois variables k^ iP^f y, lorsque la forme de la bielle est indéterminée , et de la seule variable $' lorsque l'état de la bielle est fixé d'une manière définitive. La recherche du minimum d'une fonction de trois variables par voie expérimentale étant à peu près impraticable , il convient de réduire ce nombre à deux , si cela se peut. On y parviendra de la manière suivante : dans le but d'accroître le moins possible la masse de la bielle , et par suite celle des contrepoids, supposons que l'on prolonge la bielle au moyen d'une tige prismatique, sufl&samment résistante, d'une quantité telle que réquation m^.z^o soit satisfaite, et admettons d'ailleurs qu'aucun obstacle ne s'y oppose; puis adaptons à l'extrémité de ce prolongement une masse de forme soit lenticulaire^ soit sphérique , ou mieux un simple disque. Si l'on fait croître cette masse en changeant seulement l'une de ses dimensions^

par exemple le rayon de la lentHIe, delà sphère oq du Risque, i| est clair queif, aagmenteray tandis que If diminuera : le^ deu]| variables se Irouverooi ainsi remplacées par ui^e variable unique, qui sera ce même rayon. Désignons cette nouvelle variable par iH; X no sera plus fonction que de i^ e^ 6^ Ajoutons que» si quelque obstacle s'opposait à ce que Ton prolongeât la bielle i^i^ moyen d*une tige prismatique capable de satisfaire à l'équation w^'=io sans addition de masse à reztrémité. le prolongement serait restreini dans les limites afsignée^ par les otistacies , e^ Ton ajoulerail une masse telle que l'on ^ûtf^,= o. llans les expériences^ on ferait croître successivement le rayoi^ A » J/^ centre étant assujetti à se trouver sur un point constant di| pro-r longement.

Quant à la variable 6% il convient de fixer les limites en^rç lesquelles on devra en étudier les variations.

Nous avons fait remarquer» n« S2, que le changement de B' en ir -f- d' dans les formules (7/i) n'apporte aucqn changement dans les expressions qui servent è calculer les contrepoids ; d'où il suit que les valeurs des inégalités qui subsistent dans le^ équi|tfons de translation et de rotation appliquées à des sys^-r mes de contrepoids calculés avec les valeurs d' et fr + ^' sont identiques , ce dont on peut s'assurer d'ailleurs en constatant que les équations du n* 28 ne subissent aucun phangei;^ ent \pv^r que l'on y met v^tf à la place de 6^

On voit déjà qu'il suffirait d'étudier les variations de l'angle ¥ dans un espace angulaire égal à une depii-circonférence. Mais il a été établi, nf 28» que deux systèmes de contrC'? poids calculés avec des valeurs égales et de signas contrfiires de 6^ présentent la même degré de stabilité. Dans l'un ^t l'autre, les inégalités des réactions des roîls se âuccèdçnt dans le même ordre et avec la même intensité , k la seule différence prè^ que les situations de la manivelle correspondanteâ à (im effet; égaux ne sont plus les mêmes. Quant aux iaconvénief^ts qui se rattachent aux variatioosde pression des ^x^rémités de la bielle sur les glissières et les boulons de manivelle, ils ne 4épapdenf

qae de tv^ et h. II parait donc très naturel d'admettre qoe les incon vénîentâ relatifs à des valeurs égales et de signes contraires de ô' sont égaux. Au reste, l'expérience pourrait être utilement invoquée pour confirmer cette prévision. De ceci il résulte que généralement il suffira d'étudier les efiets de la variation de 6' dans Tintervalle angulaire d'un angle droit.

40. Examinons d'abord le cas le plus simple, celui dans lequel la forme de la bielle sera donnée d'une manière invariable, comme dans les machines à cylindres intérieurs : la quantité x représentant la somme des inconvénients sera une fonction de la seule variable Q\ Les contrepoids des roues, autres que les roues motrices principales ^ destinés à faire disparaître les tendances au mouvement de galop, seront calculés conformément aux prescriptions des n** 33 et suivants, et resteront les mêmes pendant toute la série des expériences. On adaptera successivement aux roues motrices principales des systèmes de contrepoids calculés avec des valeurs diverses de e', telles que 0% 30% 60% 90*. Chaque valeur de 0* fournira une valeur de Xi et l'on construira une courbe en prenant 6' pour abscisse et x pour ordonnée; il est clair que l'ordonnée x présentera un minimum entre les abscisses 6' = o* et 6'= 90°. On n'aura plus qu'à déterminer la valeur de 6' qui répond à ce minimum. Or, comme, dans le voisinage d'un maximum ou d'un minimum y les ordonnées varient très peu , on pourra prendre, non pas précisément la valeur de 6' qui correspond au minimum , et que d'ailleurs il serait difficile de déterminer exactement, mais une valeur de 6' correspondante à une ordonnée X peu différente de ce minimum. Il s'en trouvera généralement deux qui répondent à une même valeur x ; on sera donc libre de choisir celle qui présente le plus d'avantages à d'autres égards.

Si la machine est à cylindres intérieurs , et que la distribution de la masse de la bielle ait été faite de manière que la quantité 1^3 approche le plus possible d'être nulle , les expé-

riénces seront terminées pour cette machine , et Ton n'aura plus qu'à appliquer aux roues motrices principales le système de contrepoids correspondant à la valeur de G' que Ton aura admise.

Il y aurait avantage, dans une première série d'expériences, à essayer un plus grand nombre de valeurs de 6'; on pourrait, par exemple y expérimenter sur les valeurs 0% 15% 30% 45% 60% 75*, 90*, en ayant le soin de prendre ces valeurs alternativement positives et négatives : la courbe des valeurs de x étant ensuite construite y^ns avoir égard aux signes de 6^ c'est*à-âire en prenant toutes les abscisses positives, la continuité de la courbe ainsi obtenue confirmerait ce que nous avons avancé sur ce qu'il y a dlndifférent à employer des valeurs égales et de signes contraires de 6'.

Considérons actuellement le cas général où la distribution de la masse de la bielle et la quantité B' sont indéterminées. Une première série d'expériences, faites sans addition de masse a Fextrémité do la bielle prolongée , ou même, s'il est nécessaire pour obtenir u^ozzio^ avec une masse additionnelle de rayon ^, fera connaître la valeur de 6' correspondante à une valeur nulle ou positive do A. pour laquelle x est un minimum. Dans une seconde série d'expériences, on augmenterait le rayon A , et l'on constaterait encore les valeurs correspondantes de B' et du minimum de x* En faisant varier de la sorte le rayon A progressivement , on obtiendra une série de valeurs minima de X « ot l'on s'arrêtera lorsque le décroissement du minimum de X devient insensible, ou lorsque ce minimum commencera à croître. On obtiendra ainsi le minimum des minima dexi puis la valeur correspondante de 6' , et le problème sera résolu. Noos observerons, comme plus haut, qu'il ne sera pas nécessaire d'atteindre ce minimum, et que l'on pourra s'en tenir h un autre peu différent et qui exige une moindre masse addi-. tionnelle. Il est extrêmement probable que ce minimum absolu se présentera avant que l'on ait atteint la limite théorique A=:o, même dans les machines à marchandises, qui ne sont

pas destinées aux grandes vitesses. Ayant fixé le minimum de X auquel on s'en tiendra, les valeurs correspondantes de «iR. el 9' servirent à calculer le système de contrepoids qu'il faudra adopter définitivement.

On toit que, dans ces expériences y les contrepoids destinés à faire disparàttre les tendances au mouvement de gahp devroiit être cliangés cliaque fois que l'on changera la valeur de a.

Nous pourrions presque nous dispenser d'ajouter que , dans chaque sérié d'expériences , le serrée des ressorts de suspension devra être réglé de manière que les oscillations du bâtis restent sensiblement comprises entre des limites données. S'il devenait nécessaire de serrer lès ressorts de telle sorte que leur élasticité ne fût plus suffisante pour parer aux actions imprévues^ il faudrait rejeter le système de valeurs correspondantes de A et $', On devrait rejeter égalemeiit tous ceux qui laisse* raient subsister des mouvements que la pratique ne tolère paâ^ bien que l'usé local des bandages et les frais de traction donnent une valeur admissible de x ; ^^^ nous pensons que cette dernière circonstance ne se présentei'a guère que pour des va-

tears de d^ voisines de ±i^.

Én6n , nous croyons devoir revenir Sur les conditions de résistance , en engageant les expérimentateurs à s'assurer par le calcul si, pour chacune des valeurs de A., l'étendue et la forme des sections transversales les plus exposées de la bielle présentent une garantie suffisante contre les accidents , et à faire des calculs analogues en ce qui concerne les boutons des manivelles principales, et même les glissières.

41. Nous avons maintenant à dire quelques mots de l'évaluation numérique de la fonction Xv évaluation que nous avons lout d'abord supposée praticable , afin de simplifier notre exposée A cet égard , nous croyons que les ingénieurs attachés aux services des chemins de fer seront plus compétents que nous ne le pouvons être. Néanmoins , nous allons indiquer un

moien qae noos recommandertons, si le temps qo*il semblé devoir etiger oe nous paraissait pas trop cofisidêrable. Nous présenterons ce moyen comme un exemple de la possibilité d'évaluer numériquement la fonction xj ^B^ Q^^t ^^ ^'^^ ^®^^ '®* chercher un procédé d'expérimentation plus facile et plus rapide, on ne perde pas de vue le caractère de cette fonction.

Il faudrait, avons-nous dit , rejeter les expériences dans lesquelles la stabilité obtenue ne se trouverait pas su£Bsante: la fonction x ne doit donc plus représenter que les inconvénients qui subsistent après que la stabilité désirable aura été réalisée, inconvénients provenant tant des petits mouvements non détruits que de la tendance d'autres mouvements à se manifester; puis aussi ceux qui pourront provenir de la stabilité obtenue.

Les tendances aux mouvements et les mouvements eux-méihes déterminent, de la part des rails, des réactions qui produisent l'usé local des bandages. D'ailleurs la stabilité peut avoir été obtenue au prix d'un accroissement de l'intensité deS réactions mutuelles des organes de la machine. De là un accroissement du travail des frottements, une détérioration plus rapide de quelques uns de ces organes « et la nécessité de les réparer plus fréquemment.

Ceci posé , voici comment la valeur numérique de x ^^™~ blerait pouvoir être déterminée. On ferait fonctionner la locomotive à étudier, avec des contrepoids calculés au moyen de valeurs données de iH et 9^, jusqu'à ce qu'elle dût rentrer dans les ateliers pour y être réparée, en ayant soin que, pendant tonte la durée des expériences , elle soit consacrée à un même service, qu'elle soit alimentée de la même espèce de combustible , et que la vapeur y soit produite et utilisée de la même manière. On constaterait les frais de tourtiage des roues et ceux qui leur correspondent dans la détérioration des bandages , pbb les frais de réparation et d'entretien des autres organes mobiles de la machine, enfin la dépense de combustî-

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ble. On ramènerait ensuite , au moyen des registres dç service de la machine y la somme de ces fr^is à. la partie proportion-, nelle qui est relative au transport d'une tonne à un kilomètre : le résultat représenterait la valeur numérique de x* H doit être entendu que Ton ne ferait pas figurer dans l'état des dé- . penses celles qui seraient occasionnées par l'expérience elle- . même : en effet, certaines pièces, manquant d'une résistance, suffisante , pourraient être brisées ou mises hors d'état de servir davantage. On devrait aussi, dans le cas d'un changement survenu, pendant la durée des expériences, dans le prix des, matières premières ou de la main-d'œuvre, ramener ces prix . à une unité commune , etc.

Telles sont les réflexions que j'ai l'honneur de soumettre à . l'examen des ingénieurs* Il ne me paraît pas possible de pous-. ser la théorie plus loin que je l'ai fait, tant que l'on négligera l'effet des ressorts de suspension, et que l'on n'aura pas tiré de l'équation des forces vives les conditions propres à faire disparaître les variations de la vitesse. Lors même que la théorie serait achevée sous ces deux points de vue , il est probable que . des conditions incompatibles , comme nous en avons trouvé , , exigeraient encore le recours à l'expérience.