SUR LA

STABILITÉ DES MAGHIISES.

4S. Nous avons fait observer, à la fin du n® 9 , que nos équations ne sont pas particulières aux locomotive? , et qu'elles conviennent à toute machine remplissant les conditions de symétrie que nous avons admises pour les locomotives : elles conviennent donc aux machines de bateaux à vapeur et aux machines fixes composées do deux machines remplissant les mêmes conditions de symétrie et réunies par un bfltis commun.

Dans ce dernier cas, nos formules se simplifieraient par l'an* '

nalationdès termes affectés des dérivées -i^, -^*, ^.

dr ai* dt*

En écrivant ce Mémoire, nous avions particulièrement en vue les machines locomotives , et nous n'avons pas cru nécessaire d'exposer la théorie générale de la stabilité dés machines fixes. Il ne sera peut-être pas inutile d'en dire actuellement quelques mots.

Considérons les machines dont les organes sont renfermés dans un bfttis commun, et supposons d'ailleurs que ces organes puissent prendre des mouvements quelconques, sous la seule condition qu'ils soient dépendants, les uns des autres ou solidaires. Les équations de translation et des moments (S) f (6), (lA) et (15), en y réduisant chaque second membre à son dernier terme , feront connaître les sommes des composantes et des moments des réactions exercées sur le bâtis par les fondations ou supports de la machine. En exprimant les seconds membres en fonctions d'une variable unique et de ses dérivées, puis égalant à zéro la somme des coefficients des termes variables de même espèce, on aura les conditions que doivent remplir les masses en mouvement pour que les réactions exercées par les supports soient constantes. Ajoutons que, si les travaux des forces qui sollicitent la machine sont susceptibles de recevoir une expression analytique déterminée en'fonction de la variable que l'on aura choisie, l'équation des forces vives et sa dérivée permettront d'éliminer des six équations de translation et des moments, soit la variable elle-même et l'une de ses dérivées, soit plutôt ces deux dernières ; ce qui pourra don-' ner lieu à un système de conditions différent de celui qu'on obtiendrait en faisant abstraction de l'équation des forces vives. Hais lorsque, comme dans les locomotives, l'expression du travail moteur ne peut être assignée d'une manière générale, on sera souvent obligé de se* borner aux seules conditions que fournissent les équations de translation et des moments. ii Ton peut employer simultanément les équations de trans-

lattoQ et Aéê mofnénts ^ t^h 1 -équ&tion ded torces vives , la dei* tinatipû de la machine exigera le plas généralement qae Ton se pose une noovelle condition, qui consiste en ce que la vitesse de l'un des organes reste comprise entre des limites données ou même soit constante. Cette nouvelle condition , considérée isolément , conduirait à remploi des régies ordinaires que fournit la théorie des volants; mais lorsque Ton se propose en même temps de satisfaire aux conditions de la stabilité que nous avons indiquées , on comprend qu'il est généralement difficile de traiter séparément les deux problèmes. En d*autres termes, il est visible que les conditions de stabilité des machines et celle de l'uniformité de leur marche donnent lieu à un problème complexe.

Lorsque tous les points des organes d'une machine se meuvent dans des plans parallèles, les différents termes qui dépendent des coordonnées ou des vitesses dans les équations ci-dessus peuvent s'obtenir facilement et sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours k d'autres notions que celles exposées dans ce Mémoire^ mais, si quelques uns des organes sont susceptibles de prendre des mouvements plus variés , il sera indispensable d*avoîr recours aux théorèmes généraux sur la composition des moments et des vitesses angulaires des corps solides, ce qui conduit à la notion du moment principal , de l'axe instantané de rotation, et des moments d'inertie principaux. On trouve ces diverses théories exposées dans le Traité de Mécanique de Poisson.

Il ne suffit pas que les réactions constantes ou variables exercées par les fondations ou supports sur le bâtis soient connues, il faut encore que le bâtis lui-même soit capable de résister aux actions intérieures qui se développent pendant le mouvement. Dans la recherche de ces actions, on devra fractionner le bâtis en diverses parties^ dont chacune reçoit de colle qui l'avoisine, ou des organes mobiles, des actions égales et contraires à celles qu'elle exerce sur eux et qu'il s'agit de déterminer. Ceci suffit pour faire voir que les procédés à employer pour la détermination des effets auxquels sont soumises

les différentes parties da bètis fraèttonné de la sorte s'ap'^IU queraienl également aux supports isolés des machiiles qui ne seraient pas enfermées dans un bâtis comman j h cela près que, poor ces machines , il n*y aura pas lieu de rechercher à priori les conditions de stabilité auxquelles on peut vouloir assujettir les machines que nous ayons envisagées d'abord : 11 faut alors chercher h satisfaire h ces conditions pour chaque support en particulier j si cela est possible.

Ceci posé , en appliquant Féquation des forces vives h l'en*sembte d'une machine , et négligeant dans une première approximation les parties actuellement inconnues du travail du frottement , on obtiendra > k l'aide des équations qui expriment les liaisons du système, la vitesse de chacun des points mobiles pour toute situation de la machine, et, par suite> la vai*iation de vitesse par unité de temps ; en sorte que l'état de mouvement de chacun des organes sera complètement défini. On écrira alors, pour chacun des organes séparément, les six èqua* tiens de translation et des moments, dans lesquelles on connaît déjà les forces qui proviennent de l'action de la pesanteur, puis les forces motrices et résistantes qui répondent au travail moteur et à TeSét utile de la machine. On y joindra , suivant le besoin , des équations en nombre suffisant potor lever llndéterminatiott qui nattrait de l'hypothèse de la rigidité absolue des plèces(ceséquationsseraient fondées sur la considération de leur élasticité). La résolution de l'enSëmble des équations , en ayant égard an principe de l'égalité de l'action et de la réaction, fera connaître chacune des composantes des actions mutuelles des organes mobiles et de celles qu'ils reçoivent des Supports ov des parties fractionnées du bàlis. Lorsque chaque organe mobile ne communiquera pas directement avec plus de deux organes de ce genre , la résdlution des équations sera eonsldérablement simplifiée : elle pourra s'eflectuer de proche en proche.

Les actions mutuelles étant ainsi déterminées, il sera possible de procéder à une seconde apprOxiâoiatton, dans laquelle an complétera ou rectifiera le travail du frottement dans l'équation