PC

pour lesquelles -^ ayant la même valeur, les ordonnées n sont égales et de signes contraires.

Si nous convenons comme plus haut de séparer , parmi tes forces, celles qui proviennent de l'action de la pesanteur, le terme— 2Xy' devrait être changé en— 2Xy'— ^sinjf'imy'j mais nous avons déjà trouvé Smy'^zopour la masse entière de la locomotive. En étendant maintenant les sommes 1 au système entier, la première équation (16) deviendra

2(Y«'-Xy')=-2My^. (18)

Passons à la 2* éqaatioa (16). Le facteur y' -j^ devient, en vertu des équations (9),

Multiplions 'par m, et faisons, comme plus haut, la somme étendue seulement à la masse de l'un des organes, il vient

ou encore, à cause de 2m=: M, 2m<j^,=o, 2fiiQ=o,

éPz^ â^z d^^

(Pi

La remarque faite tout h l'heure à l'égard de 2m«i -rp ^'^P^

plique à Imij — qui s'annule par les mêmes motifs.

[.e terme 2Zy', qui devrait être changé en Uty'-^-geoBg'lmy', se réduit à SZy' lorsqu'on l'applique à la locomotive entière.

Etendons les sommes 2 au système entier, la seconde équation (16) deviendra

2^Zy'-Y;8')=+2My^. (19)

Il reste h transformer la 3« équation (16).

La partie du facteur 2,mz' qui se rapporte à un organe de la locomotive est évidemment Mz. Quant au dernier terme, il

vient, en verta des équations (9),

En mnltipliant par m et faisant la gomme étendue h l'ao des organes de la locomotive, il vient

OU bien ,

h cause de 2m =Hy 2mç=o, 2m;=o, Sm—J — ^, 2m«-r-2=o,

Le dernier terme de cette expression doit encore être transformé. Soient : p" la projection sur le plan des xx^ de la distance de m à Torigine des coordonnées mobiles qui passent par le centre de gravité de M, ou bien la distance de m à Taxe des y, qui passe par ce centre ^ a^' Tangle de cette projection avec Taxe des X compté de x vers â?: on aura, de la même manière qae nous avons obtenu l'équation (15 hU) ,

H^5P-'^5ïïJ= dt •

Toutes les masses m se mouvant dans des plans parallèles au plan des xx^ leurs distances p" à Taxe y qui passe par le centre de gravité de Torgane M sont des longueurs constantes. En outre y soient : y" l'angle qu'une droite prise arbitrairement dans un plan parallèle au plan des œx, et liée à l'organe en mouvement, fait avec l'axe des x dans le sens iex it x; y' l'angle

observe que -^ est le même pour toutes ces masses , il fient

On doit remarquer qu'en vertu du 2* principe fondamental , rappelé au n* 2 , celui de l'égalité entre l'action et la réaction, les composantes des forces mutuelles se détruisent deux à deux comme égales et opposées dans le premier membre de l'équation (4) , en sorte que la somme 2X ne contient plus que les composantes des actions extérieures à la locomotive.

La considération du mouvement projeté sur les axes des y et des X fournirait deux équations pareilles ; seulement, on observera que les équations (2) donnent

On aura donc simplement

Nous allons faire subir aux équations (&) et (6) quelques faciles transformations.

Soit p la vitesse de translation de l'origine des coordonnées mobiles I on aura

Soient d'autre part :

a l'angle de la manivelle située du côté des y positifs avec l'axe du piston, et mesuré du côté des œ positifs vers le côté positif de l'axe des z \

R le rayon des roues motrices.

En supposant que ces roues ne glissent pas, on aura

x,=const«4-«B9

d'ob

Actuellement 9 menons, par le centre de gravité de chacun des organes de la locomotive, trois axes rectangulaires parallèles aux axes fixes ou mobiles.

Soient : S, «^ (^ les coordonnées de la masse m par rapport à ces axes }

H la masse entière de Torgane considéré ;

â?, y, JT , les coordonnées du centre de gravité de H par rapport aux axes mobiles liés au bâti de la locomotive s on aura

y'zzzy+n, j (9)

et, relativement au même organe,

2iii=M, 2m;==0y 2mi9=o, 2fln(s=o, (10)

en vertu de ladéfinition du centre de gravité. Il s'ensuit , en ne considérant qu'un seul organe ,

2my'=My, j (il)

On observera encore que, tous les points de la machine étant assujettis k se mouvoir dans des plans parallèles an plan desâr^, les coordonnées yfy y et u, sont des constantes, relativement au temps, pour toutes les masses m; d'où il suit généralement

(Ceci ne serait pas toujours vrai pour les molécules d'eau ou de vapeur qui peuvent être entraînées dans des trajectoires non situées dans des plans verticaux, ou non symétriques, à un Instant donné, par rapport au plan méridien ; mais , vu leurs faibles masses, nous ferons abstraction du mouvement de l'eau . et de la vapeur.)

constant du rayon vecteur ç!' avec cette droite, en sorte que Ton ait

il viendra

dt^ dt'

La dérivée -7- est la vitesse angulaire de rotation du corps

M autour d'un axe parallèle à Taxe des y. Cette quantité étant commune h toutes les masses m, il s'ensuit

La quantité Zmp"^ est le moment d'inertie de la masse M par rapport à un axe parallèle à y et qui passe par le centre de gravité de M$ nous le désignerons suivant l'habitude par MV. L'équation précédente étant différentiée^ le terme qui nous occupe devient simplement

La dérivée seconde --~p est ce que Ton appelle accélération

de la vitesse angulaire par utiité de temps.

En ne considérant donc qu'un seul organe de la machine , on a

Il convient encore de séparer dans le premier membre de l'équation (16) les termes qui dépendent de l'action de la pesanteur. Il faudra Y pour rela^ ajouter à ce membre, ou, ce qui est préférable, retrancher au second , les termes

jsin^'Zm^' — gcosg'lmœ' ,

qui se réduisent, lorsque Ton ne considère qu'un seul organe, à

^gsmg^iiz — gcosg'i/lw*

— SI — La 8* iqaation (16) devient donc finalement

2Ç^—7af)=-gsing'IMz-{-geo9g'St&x+ JsM*

Les équations (18), (19) et (20)^ apntles transformées qa'il s'agissait d'obtemr. Ces équatioils, jointes ^ax trois équa-lions (13)» vont servir de baie aux développements que nou^ allons bientôt entreprendre.

Pbservons qu'elles ne ^ont pas particulières a^x locomotives , mais qu'elles conviennent à toute machine remplissait les conditions de symétrie auxquelles sont assujetties les roues, et 4ont certaines pièces auxquelles on rapporte les mouvements relatifs sont animées d'un mouvement rectiligne iquelconque, parallèle à Taxe des ^.

^UATioif im PomcBs vivn.

10. Nous ne ferons pas usage de l'équation des forées vives pour établir lès conditions de l'emploi des contrepoids. Cependant, si l'on voulait calculer les variations qu'éprouvent les sommes des projections des réactions des rails, et de leurs moments, dans une machine équilibrée plus ou moins imparlàitement, il serait nécessaire d'avoir recours à l'équation des forces vives, en l'absence d'indications Instrumentales sur les variations de

vitesse angulaire de la manivelle. Dans cette circonstance , la

éPoL quantité -^ que renfermeront les équations développées des

mouvements de translation et des moments ne pourrait être effectivement obtenue qu'à l'aide de l'équation des forces vives. Au lieu de la déduire de celle qui répond au mouvement absolu , nous la formerons directement pour le mouvement relatif.

Multiplions Téquation (8) par daf^ puis par dy', At!^ deux équations pareilles relatives aux axes des y et des sr, et faisons

— Su —

Le second de ces tarnoei doit étn» l^ao^tormé* Eayprtodlies équations (9) , il vient

=dœ^+ dz^ + 2(<terf5 + dzdç) + di^+dK^.

Multipliant par m, puis faisant la somme étendoo à la masse M de l'un des organes, on aura, en ayant égard aux facteurs communs et ^iix sommées qvi s'annulent

2m (da/^ -f dz'^)s::M(dx^+dz^) + 2an{de +4iç2) j

mais, en se reportant aux notations du numéro précédent , on aura

et par spite d'où

Différentions cette équation et divisons par 2iff, il viendra, relativement à l'un des organes de masse M ,

Enfin nous désignerons par ^mwdw le terme de l'équation des forces vives qui répond au mouvement relatif des fluides dans la loeomotive.

Réunissant ces divers résultats et divisant tout par dXy on obtient^ relativement k la masse entière de la locomotive

~ dt ~ di dt

. ^../<te d^x . dz d^z\ ~^ dt dJ» ^'^'^ dt

Telle est rèqaation des tote^ vives qo'tl convient d'appli^ quer aux machines locomotives. En supposant qu'il n'y ail pas glissement, toutes les variables qui entrent dans cette équation et leurs dérivées pourront s'exprimer en fonction de a et de ses dérivéesi lorsque le mode de distribution de la vapeur sera donné. Tous les termes de cette équation deviendront alors

divisibles par ^, et Ton en pourra tirer la valeur de -jp.

On parviendrait exactement au résultat que nous venons d'obtenir en partant de l'équation des forces vives établie pour le cas du mouvement absolu et y substituant les expressions (9) des coordonnées ; mais la transformation serait un peu plus longue que le calcul précédent.

Nous renverrons pour quelques explications concernant left quantités dTm et Ittnwdw à la deuxième partie d'un mémoire sur l'emploi de Tair chaud dans les hauts-fourneaux, que nous avons présenté k la Société des ingénieurs civils.

TIANSFORMATION DBS COOtDONIftBS , POUR AVOIE fteABD A L'fNCLfN A1S0N 1M» CTLnmSS*

11. Les coordonnées que renferment les équations (13) , (18), (19j , (2^0^ et (22), soni toutes relatives aux axes mobiles parallèle et perpendiculaires à la voie ^ a!y^jX\ désignent. piBi^ ticulièremeni les coordonnées des points de contact 4es roues et des rails, iandîs que m^ y, Zj senties coordonnées du centra de gravité d'un organe quelconque, fixe ou mobile: la dérivée

-^ est la vitesse angulaire d'un organe mobile mesurée dans le sens de x'^^x, ou en sens contraire du mouvement de rotationdela manivelle: --^V ^^^ l'accélération de cette vitesse angulaire.

Nous prendrons pour origine des coordonnées le milieu de la droite qui joint les centres ée»cereles décrits par les extrémitésdes bielles. Cette origine se confondra avec le milieu de l'axe des roues motrices principales dans la plupart des machines.

Les nouveaux axes qoe nous alluia employer auront la mAme origine; l'axe des y cointidera ègaloment avec le précédent ;

mais nous prendrons pour nouvel axe des x an axe parallèle h celai des cylindres , et pour axe des x an axe faisant arec l'ancieD un angle égal et de même sens que celui du nouvel et de l'ancien axe des ce. Nous désignerons provisoirement par Bcf' et z" les coordonnées des centres de gravité des masses H rapportées & ces axes.

Définissons l'inelinaiion des cylindres.

(fig. S) étant le centre du cercle décrit par rextrémité M delà bielle, Platétedu piston élevé au dessus de l'avant de la machine, nous désignerons par s l'inclinaison ir" 00;=: VOz. Dans le cas où les cylindres seraient k l'arriére sur le prolongement de Ox, l'angle e deviendrait égal à 180*. A l'aide de cette convention, nos formules conviendront à toute situation donnée des cylindres.

Les formules connues de la transformation des coordonnées nous fournissent les relations

x=ir"cose4-'î"rfn9, 1 , ,,

X ^ 2"cosS — «"sine ; I

on en lire, par la diffèrentiation,

d'où

àx dz „ dx" dz"

^H^'^li-^ Tt ^ HT'

dx^ . dz^ daf'^ i ^^"^ d|a+(/|i— dt^ "*" dt* '

pais, en différentiant de nouveau ,

d'x ^d?af^ , , d^zf'