CO8(^4.«O0
-5=cose^-s.nS.^
d< di^'^dt di^^ dt di^ "*" dt dt' * /
Telles sont les valeurs qa'il faut actuellement substituer dans les équations (15), (18), (19), (20) et (22) : nous allons opérer cette substitution, et nous supprimerons ensuite les accents, afin de ne pas compliquer l'écriture ; seulement nous n'oublierons pas que les coordonnées dP et jr se rapporteront à des axes l'un parallèle et l'autre perpendiculaire aux axes des cylindres. Ajoutons encore que nous nous réserverons plus tard la faculté de rapporter les positions de quelques masses aux anciens axes, et qu'il sufi&ra pour cela de faire 9=o dans les termes correspondants. En effet, il vient, dans cette hypothèse, en vertu des équations (2S) , «=a/', jj=a''.
Voici le résultat de la substitution :
Equation» du mo«vMn«nl dt trantlMion.
2X=r^ —gtàng>\ 2M+co89 2M ^'+sine M ~ [«] 2Y=o [y] } (26)
2Z=— jco»s'2M+co862M5-ï— 8ine2M-jp. [*]
£jua(toit« iu mowotmtnt rolatoire, 2CYa'-Xv')=-cos92My ^ - sinSSMy ^ («)
Les notations [x]^ [y], [z], rappellent que les équations auxquelles elles se rapportent sont celles du mouvement de translation parallèlement aux trois axes x, y, Zf primitifs.
Les notations (2), (a:\ (y), rappellent que les équations correspondantes sont les équations du mouvement de rotation autour des axes Zj â? et y.
(Nous nous dispenserons d'opérer les Bobstitutions dans l'équation des forces vives, attendu que nous n'en ferons pas usage dans le présent Mémoire.)
Il s'agii actuellement de calculer les valeurs des dtffdrenls terme$ qui entrent dans ces équations, et de les exprimer en fonctions de l'angle a de la manivelle avec Vaxe du piston et des deux premières dérivées de cette quantité.
CALCDL DBS GOOaDONNÉBS â?, Z, D*DN POIIfT PBIS SUR l'AXB DB LA BIBLLB, DBS DÊBIVÉBS OB CBS COOBDONNÉBS,
et de raccélération de vitesse angulaire de la bielle.
12. Il nous sera facile de déduire, à l'aide de ces déterminations , celles qui se rapportent au centre de gravité même de la bielle et au piston : c'est pourquoi nous préférons traiter la question analytique qui concerne un point quelconque j^is sur Taxe de la bielle.
Soient , (fig. b) *:
r le rayon de la manivelle située du côté des y positifs, ou
plus généralement le rayon du cercle décrit par rextréniieé de la bielle^
(Fig. 4,)
a Tangle de r avec Taxe des x compté de x vers js , ou en sens contraire de l'angle y" du n' 9 ;
B la longueur de la bielJe ;
b la distance d'un point Jf , pris sur Taxe de là bielle , à la tête du piston, comptée de celle-ci vers le bouton de la manivelle}
X, y y x^ les coordonnées du point Jf ;
p l'angle aigu de la bielle avee le prolongement de l'axe des Xj positif pour a compris entre 0* et 180*, négatif pour « compris entre 180* et 360*; l'Mgl^ p croît dans le sens de l'angle 7'', et, d'après la signification de cet angle, on a
lû-Tt ^"^
relativement à la bielle.
Les coordonnées âii point M en fonction des angles a et p, et de la distance fr, sont
â?=rcosa-|-(B — b)eoêp, \
La seconde de ces valeurs de z résulte de la proportionnalité des iinuB, ^ui fournit la relation
sin^zzgsina. (30)
- UQ — En différentiant les équations (29) , il vient
^=-r«Da-CB-&)«np, )
(31) dz , r . det 1
Au moyen de ces valeurs et des précédentes, on obtient dx dz ^hd'A , IN*/. c^^ i c^A
^Tt''''Tt=^^'^Vdr''^^^^^lV'^^^^^
Différentions l'équation (50) | nous aurons
^dfi r doL .^^^
Cette dernière et l'équation (30) donnent
sinasinpjj + cosacosp — =:-(8in2p+cos»f)^=-g^; on a donc simplement
d'où ensuitOi par la différentiation ,
n resterait encore à différentierles équations (SI) et (32) et à
éliminer langle p et ses dérivées ^^ -^^ mais l'obligation
où nous serons de combiner deux à deux les termes de même forme qui sont relatifs aux organes correspondants ou conjugués des deux machines séparées par le plan méridien , nous détermine à recourir à l'emploi des séries. Cette combinaison serait impraticable sous forme finie, à cause du radical introduit par cosp. Notre mémoire déposé aux archives de la Société contient les expressions des dérivées sous forme finie; nous nous dispensons de les reproduire ici, attendu que nous ne devons point en faire usage.
B1PBB9S10V8 DBS COORDONlfÉBS LIMÉAIBB8 DBS CBNTBB8 DB GRAYITt DB hk BIBLLB BT DU PISTON , DB LBDB8 DÉRIYBBS y BT DB hk Y1TB8SB
▲NGULAiBB DB LA BIBLLB , eo séiies ordoiiDées luiYant les sinus et «osious des multiples de rsngle de la msDiTelle avec Paie dn piston.
15. L'angto p étant nécessairemeiit aigu , son cosinus est esBentieliement posUit; on tire de Téqoation (30)
cos~~ ^
La quantité entre parenthèses peut être remplacée par
Posons
cette même parenthèse se changera en
1 — sîn'^ 4" *'^*? COSÎa =r COS^y + sîn^y G0S2a ;
ety si nous convenons que f soit toujours un angle aigu, afin que son cosinus reste positif, il viendra
cos ^ j3 = cos ^ f (1+ tang^y cosStf ) ^ • .
Nous développerons cette double expression au moyen de la formule de Newton, et nous aurons
cesp=cos7 ( 1+ - UDg'f cosîa— — - tang^f co&^2r-|- r-f-^ taug^f cos'2«\ 1 l/i 13 135 /(^^)
+ jjj;^ ^^^^9 cos*2«— €ic. j . /
L*angler ^^^ '& valeur de p qui répond à «zi:^ ou 66% et
à«=3^ ou 135».
On pent exprimer tang'f directement en fonction de r et B comme il suit :
La première série (36) contient les puissances entières de eosSff^ et comme celles-ci s*expriment, an moyen de formules connues, par les premières puissances des cosinus des multiples entiers de Sa, nous pouvons poser
cosj3=cos7ZrA«cos2ia. (38)
La seconde série (36) s'exprimerait de la môme manière au mofen de termes de la forme A\cos2îa : il s'ensuit que la fonction — ^ qui entre dans l'expression de ^j, équation (32), se
compose de termes de la forme A'flCosa cosSta.Or on a, par les formules trigonomètriquesi
COS« C0S2ia= - C08(2t— 1 )a-|- - C08(2t + i )«•
/:..'' * Le premier des (aeteur^ de cette forme se lédiiirait évidem-
ment à cosa : nous pouvons donc poser encore
^ = — 2:fB.cos(2f+l)«. (39)
cos|3 cosy \ i y ^ y
Les sommes S comprises dans les expressions (38) et (39) doivent être considérées comme formées en donnant à l'indice f toutes les valeurs entières , depuis et y compris zéro jusqu'à l'infini.
Si l'on se reporte aux développements (36) et qu'on ait égard aax formules de transformation des puissances de cosinus en cosinus de multiples , on observera que les coefficients Â< et Bi sont des fonctions de tang^r, dans lesquelles la plus faible puissance de cette quantité est t. En convenant de prendre tangr pour type des quantités du premier ordre de petitesse, on devra Considérer les coefficients A» et B*- comme étant de l'ordre 2î. Nous ne présenterons point le calcul de ces coefficients, que chacun pourra effectuer sans difficulté , attendu
— (iS —
que le seul d'entre eux qui reste dans les équations de condilion est le coefficient B., Il est d'ailleurs associé à cos^^ sous la
forme — ^, valeur qui peut, dans le cas des locomotives, être remplacée avec une très grande approximation par . .
K COSf
Mais comme ces coefficients pourraient être employés au calcul des réactions des rails dans le cas de machines imparfaitement équilibrées, noos donnerons dans la note ci-jointe les expressions de ces mêmes coefficients (*).
Au moyen des expressions (38) et (39), dont il nous suffisait à la rigueur de justifier la forme, il vient d*abord, par les^équations (29) et (32),
\a?=:rcosa-|-(B — è)co8f 2f A< cosSioc,
^ = n-^2rBico8(«+l)«^.
dt Bcos^ ^ ' ' rfl
(*) Bn posant , pour abréger,
?.«jtâIIRî»,
on aura
^ S.4 i ^' î,4 6 8 1.Î ''' "* a.4.e.8.io.ii i.a.3 "^^ "
,33,. 3.5.7 5.4 - , 3.5.7.9.11 7-6.5 , . ^.^ ^«-'^'+4:6Ï^*+4:651ÔTî^'+4.6.8.ie.lî.i4ÎA$^* +^
i ,^ 3.5 4 ^ 3.5.7.9 6.5 e-tc.
""î*"' ilelSÎ^* 4.6.8.10.1Î1.Î**
^ 4^8 '^^ 4.6.8.10.tt 1 '^^ ^^
h -, Il ^•^•'^ r K t 3.5.7.9.11 7 | i ^|^ ^* ^4.6.8.10'^' ^4.6.8.10.12.14 l*^* ^•^
— 6û — On en tire par la différentiation
^ = -[r8in«+2(B~6)co572rtA.siii2ta]^,
!?—==■- [r8in«+2(B—d)co8t2rtA,sin2t«]^,
— [rC08«4"K^8 — d)C0Sf2?t^AtC082ta]^.
Ces coefflcients sont d'ailleurs liés entre eax par les relation^ A.— 1 (5A.+8^)
^'■+-— 2iT3((''-=''^-+*i;)'
aa moyen desquelles les coefficients se dédairaient successiTemenl des4eox premiers , si ces formules n'exigeaient pas remploi d'un grand nombre de chiffres pour donner de bons résaltats. Tontefois, on en lire la combinaison suivante, qni peut servir à vérifier Tensemble des calculs :
Ai(i+|?.)+(i+2?.)[2Aa+3A5+4A44- +[i - 2)A,-,] '
Les coefficients B< s'obtiendront indirectement de la manière suivante. Soit
5?î?«2o*C.C082l«; COS/3 "
la comparaison des développements de ^^ et — | , équations ( 36 ) , montre qne Ton passe do premier au second , en multipliant les termes affectés des
L'équation (3A) donnera ensaito très aisément
pnissaDcestacoessifes de tang^f on des coeflIcleDU
respectivement par — i, —3, —5, —7,... — (în—l).
Les coefficients Gr se déduiront de ▲/ en multipliant généralement la puissance n'èmo de 7b par Sa— 1 ; il vient de la sorte
^^=+^•'+4:6:8 Î^'+ÂMÂÔÂ^T7^^"+^'^'
Les coefficienls Bi se déduisent des précédents par les relations : Bo«Co+|c.
Ba-J(Ca+C5)
On en lire, pour le ealcnl direct de B» ,
B— 4-* J-1:5* 1 1.3.5 3 ^ , 1.3.5.7 4.3 ^ 1.3.5.7.9 5^ fi-n- • 2^*"*"2.4 î *"• 2.4.6 ï ^* "*■ 2.4.6.8 1.2 ^' "" 2.4.6^10 i.2 ^' "*" •^
EgttatioH» du mouvement rotatoire.
!(¥«'— Xy')=—cos92My ^ - sinSSMy ^ iCZy* -Yjs'>=+co8ôSMy ^ — sinôSMy ^
2(Xji'— Zœ')=:rjco8(j'-Ô)— sine ^IsM*— rj8i«(j'— e)-«>89 tj pWa
Les notations [a;], [y], [jz], rappellent que les équations auxquelles elles se rapportent sont celles du mouvement de translation parallèlement aux trois axes ax^y^Zj primitifs.
Les notations {z)^ Qt\ (y), rappellent que les équations correëpondantêB sont les équadons du mouvement da rotation autour des axes x^ x et y,
(Nous nous dispenserons d'opérer les substitaiions dans l'équation dea foroes vives, attendu que nous n*en ferons pas usage dans le présent Mémoire.)
Il s'agii actuellement de calculer les valeurs des dtffftreDis terme$ qui entrent dans ces équations, et de tes exprimer en fonctions de l'angle a de la manivelle avec Taxe du piston et des deux premières dérivées de cette quantité.
CALCUL DES COOaDONNÉBS X^ Zj D*DN POIIfT PBI8 SDR l'aXB DB LA BIBLLB, DBS DÉBIVÉBS DE CBS COOBDONNÉBS,
et de raGCélératioD de vitesee angulaire de la bielle.
12. Il nous sera facile de déduire, à l'aide de ces déterminations , celles qui se rapportent au centre de gravité même de la bielle et au piston : c'est pourquoi nous préférons traiter la question analytique qui concerne un point quelconque j^is sur Taxe de la bielle.
Soient , (fig. A) *:
r le rayon de la manivelle située du côté des y positifs, ou
plu9 généralement le rayon du cercle décrit par rextréniité de la bielle y
(Fig. 40
u Tangle de r avec Taxe des x compté de x vers js , oa en sens contraire de l'angle y" du n» 9 ;
B la longueur de la bielle ;
b la distance d'un point Jf , pris sur Taxe de là bielle , à la tétedu piston, comptée de celle-ci vers le boutonde la manivelle^
Xf y, z, les coordonnées du point Jf ;
p Tangle aigu de la bielle avee le prolongement de Taxe des Xf positif pour a compris entre 0* et 180*, négatif pour « compris entre 180* et 360*; Tatigl^ p ctolt dans le sens de l'angle 7", et, d'après la si^ification de cet angle, on a
-dT-Tt ^"^
relativement à la bielle.
Les coordonnées du point M en fonction des angles a et p, et de la distance by sont
âP=rcosft-|-(B — b)eùsp, \
s::^bs\fïp=^b^nQc. J ^
La seconde de ces valeurs de x résulte de la proportionnalité des dDU8> ^Qt fournit la relation
8in?=^sin«. (30)
Equations du mouvunent rotatoire.
2(Ya'— Xy')=— cos«2My ^ - sinflSMy ^
l(Zr/ -Y«'>=+co8«SMy ^ — sinôSMy ^
2(Xjï'— Za!')=rtfco8(j'-«)— sinô^lsM*— r^simCj'— e)-co»fl-^ jSMa
Les notations [x] , [y], [js], rappellent que les équations auxquelles elles se rapportent sont celles du mouvement de translation parallèlement aux trois axes x,y^Zf primitifs.
Les notations (z), (œ), (y), rappellent que les équations corrMpondantês sont les équations du mouvemest de rotatkm autour des axes Zy x et y.
(Nous nous dispenserons d'opérer les substitutions dans l'équation des forces vives» attendu que nous n'en ferons pas usage dans le préseni Mémoire.)
Il s'agii aicluellemeAt de calculer les valeurs des dtffftrenis termea qui entrent dans ces équations, et de les exprimer en fonctions de l'angle a de la manivelle avec Vaxe du piston et des deux premières dérivées de cette quantité.
CALCDL DBS GOOBDONNÉBS X^ Zj D*UN POINT PBI8 SUR l'aXB DS LA BIILLB, DBS DÊBIVÉBS OB CBS GOOBDONNÉBS,
et de raGCélération de vitesse angulaire de la bielle.
12. Il nous sera facile de déduire, à Taide de ces déterminations , celles qui se rapportent au centre de gravité même de la bielle et au piston : c'est pourquoi nous préférons traiter la question analytique qui concerne un point quelconque pris sur Taxe de la bielle.
Soient, (fig. A)*:
r le rayon de la manivelle située du côté des y positifs, ou
plus généralement le rayon du cercle décrit par rextréniité de la bielle i
(Fig. 40
a Tangle de r avec Taxe des x compté de x vers js , ou en sens contraire de l'angle 7'' du n' 9 ;
B la longueur de la bielle ;
h la distance d'un point Jf , pris sur Taxe de là bielle , à la tête du piston, comptée de celle-ci vers le bouton de la manivelle}
Xy y y jT, les coordonnées du point M\
^ l'angle aigu de la bielle aveo le protongement de l'axe des Xj positif pour a compris entre 0* et 180*, négatif pour « compris entre 180* et 360*; l'a^glt) p ctolt dans le sens de l'angle 7", et, d'après la signification de cet angle, on a
relativement à la bielle.
Les coordonnées du point U en fonction des angles a et p, et de la distance 6, sont
â?=rcosa-j-(B — fr)GOsp^ \
La seconde de ces valeurs de % résulte de la proportionnalité des AvWy ^ui fournit la relation
8in?=58ina. (30)
— sodé l'aagle a ; mais afin de comprendre tous les cas dans une Yormule unique , si nous désignons par n' le rapport de la vitesse angulaire de rotation à celle de la manivelle principale , nous écrirons i
n' étant nul pour les bielles d'accouplement, et égal à l'unité pour les autres pièces.
Les manivelles et bielles d'accouplement sont toujours disposées de manière que le rayon p soit parallèle à celui qui répond il la manivelle motrice ; seulement il arrive que ce rayon p se trouve disposé tantôt dans le même sens , tantôt dans le sens contraire. Il faudra donc faire, pour ces pièces, c=:o dans le premier cas, et s=180* dans le second. Par suite nous devrons remplacer les quantités 8in(«+« — ®) ®* cos(a + e — 6) respectivement par ±:sin(a— 0) et ±cos(a — 6) dans les termes des équations (&2) et (AS) lorsque nous les appliquerons à ces pièces.
Occupons*nou8 actuellement des roues non accouplées et des demi-essieux. Nous ne confondons pas en une seule masse cdlTe d'une roue et du demi-essieu correspondant, attendu que l'ensemble de ces deux pièces ne jouit pas de la propriété d'être symétrique par rapport à un plan parallèle au plan méridien , et passant par le centre de gravité commun.
Soient { et n les coordonnées parallèles aux â? et jt des axes de ces pièces. Par la raison que leur centre de gravité coïncide avec l'axe de figure, on aura simplement
«=:!, z=fi. (45)
E«es dérivées et combinaisons de dérivées de ces quantités sont toutes nulles.
L'angle y" étant compté en sens contraire de l'angle a, et n' ayant la même signification que ci-dessus , on aura encore
