DÉSIGNATION DES ORGANES
Bielle.
Piston.
Roue non accouplée; partie distincte d'un demi-essieu.
Demi-ensemble des pièces fixes.
Roue motrice , y compris le contrepoids.
de tram
Masse
Manivelle,
Bouton de manivelle, < M'"
Bielle d'accouplement {**).
Mf
Moment (TiDertle autour d^un axe passant par le centre de gravité et parallèle à l'axe des y.
MF
Rayon
du cercle
décrit
par le centre
de gravite.
yt
MVIV2
pi-
'Nf
Angle du rayon /9
avec
la manivelk
principale.
Eqi (y)
>s0sin«j;BO^| is0cosag^B')ïï
B0Acos02j«»B,c</
B0Aco8d2j«»(2ff'
osdsina:: n '
>s9cosct-r
di )S9.2C08^
:'"A"o«n«iil
"'A"')c')cos,' i"'A"')0«/i«('
Fna
DSee DSa
In
(•) Il faut se rappd)o ou iSQo
Relativement aux demi-essieux des roues motrices , on aura
Quant aux roues non accouplées et à leurs demi-essieux , R' désignant le rayon de ces roues , les valeurs précédentes deviendront
en supposant que les roues ne glissent pas.
Il nous reste à dire un mot des pièces fixes.
Nous désignerons par H^ la moitié de la masse des pièces fixes réunies, et par Lf et N^ les coordonnées du centre de gravité de H/> parallèles aux x et je. Leurs dérivées sont nulles, ainsi que celle de la vitesse angulaire, puisque ces pièces n'ont pas de mouvement relatiL
Tsbieaa des termes des secoodf membres des éqoaUoni (S6)ei (37) retetifi à chaque espèce particulière d'organe sitoé dn côlé des y posiU&, et Sommes des termes de mémo forme.
IB. Les formules que nous avons réunies dans les deux numéros précédents sous les marques (60) h (fiS) donneift les valeurs des termes des équations (26) et (27), ou de leurs équivalentes qui sont relatives à chaque espèce particulière d'organe faisant partie de la machine située du côté des y positifs. Elles n'exigent d'autre soin que d'y introduire les valeurs particulières des masses, dimensions , etc. La formation de ces termes revient à peu près à une simple transcription. Toutefois , afin d'être sûr de n'omettre aucun terme et aussi de ne pas trop fatiguer l'attention ultérieurement, nous avons cru indispensable de présenter en un tableau l'ensemble des divers termes dont il est question.
Le tableau ci-joint n'exige que peu d'explications pour être compris.
La première colonne contient la désignation des organes ; les six colonnes suivantes indiquent les lettres qui servent à repré-
senter les valeurs particnltères des quantités inscrites en tête de chaque colonne.
Pour compléter ces indications, nous rappellerons que B désigne la longueur de la bielle, et B^ la distance de son centre de gravité à la tête du piston.
r est le rayon de la manivelle.
R est celui des roues motrices.
W désigne le rapport des vitesses de rotation à celle de la manivelle motrice.
n' est égal à Tunité pour les manivelles et boutons de manivelle, et nul pour les bielles d'accouplement.
N^ désigne l'ordonnée z des pièces tournantes dont le centre de gravité coïncide avec Taxe de rotation^ N^ est nulle pour toute autre pièce que les roues non accouplées et leurs essieux.
R' étant le rayon de ces roues, on a N'^ =R — R' et n'=ç7j
n' est égal à l'unité pour toutes les antres pièces du même genre.
Plusieurs des quantités désignées par des lettres, accents, ou indices différents , pourront dans beaucoup de cas se trouver égales; nous devions, pour donner à nos formules la plus grande généralité , tenir compte de différences qui n'existent pas toujours en réalité.
Afin d'éviter la reproduction des termes de même forme, nous avons compris sous une désignation générale unique les termes de même espèce qui répondent anx manivelles, boutons de manivelles et bielles d'accouplement. Le double signe qui accompagne ces termes provient de 8=0<^ ou 180* : on prendra donc le signe -f* ou le signe — , suivant que le rayon du cercle décrit par le centre de gravité sera de même sens ou de sens opposé au rayon de la manivelle motrice. Nous avons développé les quantités sin(a — G) et co8(a— 6} contenues dans les équations (62) et (43).
Enfin, dans les termes relatifs aux roues motrices et contrepoids, nous avons développé aussi sin(ft4-£ — 3) et cos(a-|-e — 6)^
seulement) l'angle c — 9 y a été remplacé par un angle unique e :
Ayant notre tableau sous les yeux , il sera facile do faire la somme dos termes de même espèce, ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de a , et d*y séparer les ternies affectés
des facteurs -r- et -tt. En faisant ces sommes, qui seront unior at^
quement relatives à Tune des deux machines dont se compose la locomotive, nous réunirons sous le signe S les termes qui se rapportent à un même genre d'organes» attendu que le tableau n'en renferme qu'un seul pour chaque genre.
Posons, pour abréger :
•/.= MVj.A,
• *■ ^""Bcosy ' '
*=z:M^(B-BO+M"Bî (49)
nous aurons :
Équation [or],
Somme des termes +cosô M -rir -l-sind H tt :
' dt* ' di*
— L(t«,+ti,)cos0+2txfîcose]sînx-^ — [(ti,+ti,)cosô+2ftpcose]cos« — -f [ ti',-j-ti,)sin0 — l'jLpsineicwoL— — [(t«',+ w,)8inô - 2pif8iDe]sina ^
d^Qt, do^
— ftCOSO . 2 COSf Sf « Al SlD2ta. -r^ *COSÔ . &COSf 2f t^AiC0S2»a. TTi
at* dr
Equation [z]f
éPz éPx
Somme des termes + cosô M -t:? — b\û$ M -rs- '
d^oL do?
+[(«*•+«.)«»«— 2u.o8ine]8ina jp + [(u.+ti.îrinô— Sfi/:^sîn«]co8« ^
+ ft8in9.2co8f S^tA{8ln2ta.^-f ik8in9.4coftrS* t'A»cos2ta. j^î
Equation (x).
Somme des termes — cos9 My j^ — sindMy jj :
+[K+OCÛS0-f-2pi/)>CO8«]8Îna j^+Kt'.+^^SOSÔ-f 2^pACO8e]C08a ^
d'à da'
— [(^o+*'i)'>o6— SfA/ï^îne]cosa ^ +[(^,+«',)8în0 — Sfzp>8ine]8ina j-j-
-f ilïcosdA.ScosfSf tAi'SinSta. jY-f'^co6GA.4co872f «^AiCosStoc. j^, ^
Equarion (âP), Somme des termes -^coBQiSy -^ --B\nBlAy -jj :
+[C^«+0*>n^— 2ppi*>D«>"n«5jr +K*'«+^.)*»"^ -'2f*f>).8ine]cos«^ +[W+*'.>5o*^+2f*f>>cow]co8a ^ '-'[(f^^'{'(',)cos$+ltip)coseisinoi ^
-f-iksiD9A.2cosr Zj^t Atsin2ta. ^-f~^^î°^-^ . ôcosflJ^t^AtCOS^ùc. ^;
Equation (y) , Posons, pour abréger :
!j^ lT^M=co8rj'-e)(M"a+ikA,co8f)
+co8j'[M/LH-2M"'L'"+2MvLv+2pO ^ ^'***"^ — 8lnj'[M/N^+2M»Nv3,
S'=M^N/'+2MvNv— 8in6[M"o+ikA.co»y].
Les quantités S, t. et S' seront des constantes , et Ton aura, en effectuant les oèveloppements néeessaîres,
S» d. ter. +Ucos(/— e)— sinô ^ I ILc— jsfsiaC/ - ô)— cosO^ M«:
-|- g^^g%u^+ u,)8ln9 — Iftpsioejcosa
dv +J^co8^'[(ii',+t«,)sîn0— Ipt.o8îne]8inot+ — [''tt',-|-ti,>îosô +2;*/ïC08e]sîn«
— flf8io9'[(a'^+t«,)co«©+2ppcew]8ina
dp +^C08(^' — 0)*.COSy I*AtC082«x — — A^iod.cos^Z^^At COS^ta.
/ d^x d!^z\ Somme des termes +M( z -^ — « ^73- j+MI
+f«'o"~ <«',CO80— S^plC0S«)C08a jy — (w^ — ff'.OOSd — SfiplC06e)8ina —
C^a do?
— (wfiXnB — If&pisiiie) sioa -7-5 — (u^.sinO -— Sf*/)Z8lne)co8a ^ + J S-B, C08(2t + 1)«. ^," - ^- 2r(2*+« )B.sin(2i+l)«. ^'
Règles povr déduire des résaltats précédents les valeors des Sommes dans les équations (26) et (27), étendues «ai deux machines dont se compose la locomotive.
16. Pour déduire des yaleurs précédentes celles qui se rapportent à la machine située du côté des y négatifs , il suffira d'y changer « en «-{-79 (ir désignant le rapport de la cir-
conférence au diamètre), et d'y changer en mémo temps les signes des valeurs de y. Nous supposons que la manivelle située du côté des y négatifs soit en avant de celle que nous
avons considérée jasqn^ici , d*un angle droit compté dans le sens de a. Nous sommes en effet autorisés à la supposer en avant , puisque le côté des y positifs restant indéterminé , on pourra toujours le choisir en sorte que cette hypothèse (soit
réalisée. Quant aux facteurs -^ et -^ « ils sont communs aux
termes correspondants des deux machines, à cause de la liaison des manivelles.
C'est ici le lieu de rappeler que nous avons admis pour les roues motrices munies de contrepoids la possibilité de déroger h la loi de symétrie du n* 2. Pour distinguer les termes dépendants des contrepoids et qui sont relatifs à la machine située du côté des y négatifs , nous écrirons p, et e, à la place de p et e dans ces termes, en laissant le même fA pour deux contrepoids conjugués^ à cause de la condition d'égalité des masses de ces organes, condition qui nous a permis de supprimer certains termes dans les équations générales.
Si nous nous reportons aux expressions des sommes dans le n* précédent, nous observerons que tous les coefficients binômes ou trinômes qui multiplient sina et cosx peuvent être mis sous la forme
KifcS,
en désignant par 2 la somme des termes en np (*) } ce sont d'ailleurs les seuls termes qui dépendent des contrepoids. Pour distinguer les termes de même forme qui se rapportent à
(*) Par eiemple, fl ron considère le coefficient
{Uo+^^) COS0 + ZfAfi COM ,
K représentera ( tio -f-ti,) cos , et z représentera ifip ooss ; dans ce cas il fandra affecter i da signe +• Antre exemple : considérons le coefficient
K désignera we^ m'|Cos0 , et z tiendra j lieu de z/x/*Icose ; mais alors on devra faire précéder z du signe •— .
la machine située du cdté des y négatifs , nous désignerons ces coefficients par
K restant le même que dans l'expression précédente, et Tin* dice i rappelant que les lettres p et e, comprises sous les sommes 1, devront être marquées par Tindice i.
Occupons-nous y en premier lieu, des termes qui ne sont point affectés du facteur y, ou qui font partie des équations [x], [z] et (y).
i* Les termes non affectés de facteurs trigonométriques donneront lieu, pour la machine située du côté des y négatifs, à des ternies égaux , en sorte que la somme des termes étendue aux deux machines s*obtiendra en doublant les termes de cette espèce qui se trouvent dans les expressions du n* 15.
2* Les termes de la forme (K ± 2) sina devront être changés en *
(K dt S) sina + (K ±: 2,) oosa ,
à cause de sin f a + ? ) = cos«.
Les termes de la forme (K±:2)co8k donneront
(KdbS)cos«— (Kd=I,)sln«,
à cause de cos ( «+ s) ^^ — *'^*'
3* Les termes en ^*° 2»a (*) ont pour facteurs des constantes
cos '
indépendantes de fi ou des contrepoids : ces facteurs restent donc les mêmes dans les deux machines. Il s'ensuit qu*en faisant abstraction de ces mêmes facteurs, il faudra changer
sInStoe en sinSta+sinSîf a-j-^J, cos2»a en cosîta+cosStY a-|-^j,
C) Nous aTerUisoDs qae le I7iiil)0le !!^2<ce lignifie sio3i« ou cosSiV.
cos
dans les expressions du n* 15, pour avoir les sommes étendues à la locomotive entière. Nous pourrions obtenir de diverses manières les valeurs simplifiées des Tonctions trigonométriques que nous venons d'écrire ^ pour suivre une méthode uniforme, nous ferons usage des formules qui servent à convertir les sommes de sinus et de cosinus en produits. Ces formules donnent
=2cosî^ (àû%ia cos »~-j'C0s2iasint| j
=:2cosH'~sin2fa-|-siQtir cos2îoc.
Mais on a sinfVrro. La somme des cosinus étant effectuée de la même manière , il viendra
• slo2ta-f-sin2t f a+^ ) =2cos'» ^ sin2ta ,
C0S2 ta -f- C0s2t f a -}- 5 ) = 2C06^f j C0S2îa .
Or cos't - est nul pour t impair, et égal à 4~i po^r ^ P^î^*
Afin de n'avoir point à faire cette distinction dans les sommes
2 qui portent sur les fonctions ^|^ 2«a, on voit qu'il suffit d'y
changer t en 2t ,- en conservant la limite intérieure des indices i éigale ë l'unité. De oette manière on a
ïf A<co88«t+SfA< cosîfYcc -}-| j =2Sf A„co«4t« , 2f tÂ<sin3iK «f S «tA^sinSi («+|) = ^^ f^^A, < sio «•« ,
i:fi»A<co85i«+2*»2AjCOs2tY«+|)=2îf(2ij»A„cos4t«.
&• Les termes en (2t'-}-l)tt donneront ln(2vf l>+8ta(«+î) r«+|)=2cos(2»+l)^ slij(î»-f l)f a+^\
;2»+l)«+C08(2tH-l)(«+|)=2cos(2i+l)Jcos(2.-+l)(«+j).
sm
ces
Le déyeloppement du facteur indépendant de « est
2«o<2t+i)^=2^«ost^co«^-8int58i0j)=J/i^^ Cette formule donne:
pour i pair, 2co<2t+l)^=(-l)«(/i,
pour t impair, 26(K^(«+i) J =— (— i)T(/ît=(— i)Tf,/l. Il en résulte la série de valeurs suivante» :
-yi
2cos{2t+l)^
En conservant la valeur algébrique de cette quantité, on aura
S«B,co<2t+l>+ 2«B»cos(2f+l)^«+0 =
= 2.-2008(21 +1)2b,cosC2i.+ 1) {a+ ly If(2t+l)B.-8in(2t+l>+S,*(2t+l)BiSin'2î+i)r«+
=:Sf2cos(2t+l)J(2t+l)B,-8inr2t+i)fa+j\
Passons maintenant aux termes affectés du facteur y, ou qui font partie des équations (jk) et (x)^ (Voir le tableau du n* 15.) Nous avons dit que pour avoir les termes relatifs à la machine située du cété des y négatifs, il fallait non seulement
changer a en a -f^, mais, en outre, changer les signes des
valeurs de y.
i* Il résulte de ce qui précède que, s'il y avait des termes indépendants de facteurs trigonométriques , ces termes da* vraient être annulés dans les sommes relatives à la locomotive
entière. Mais les équations (z) et (ai) ne contiennent pas de pareils termes.
2* Les termes de la forme (Kd:2)8ina donneront pour la machine située du céié des y négatifs, des termes de la forme
— (Kd:2,)sin[a-j-^j; ceux de la forme (K±:2)cosa donneront pareillement — (K db2,) cos T « -|-^ j ; en sorte que,
pour avoir les sommes de ces termes étendues à la locomotive entière, il faudra, à la place de (K±:2)sina, écrire
(K ±: S) sîDa — (K d: I.) cos« ,
et changer (K±2)co6a en
(K ± S)cosa +{K± 2.) sioa.
3*" Les termes en 2{a, ainsi que nous Tavons dit plus haut,
ont pour facteurs constants des quantités communes aux deux machines; en faisant abstraction de ces facteurs, il faudra donc, pour avoir les sommes étendues h la locomotive entière, changer, dans les expressions du n* 15,
sin2ta en sinStoc — sinStYa-]---)^
cos2î« en Gos2«a— cos2t f ce-f* f ) « En procédant comme ci-dessus , il viendra
siD2ûc — sio2t/a+ j)= Ssin^t î siniûc,
COSSta— C0S2/a+ î^= 2sîn2t ^ C0S2ta.
Ces deux derniers résultats sont nuls pour t pair, et se réduisent respectivement à 28in2ia et 2cos2i'a pour toutes les valeurs impaires de t. Afin de n'avoir égard qu'aux valeurs impaires de t dans les sommes 2 qui portent sur les fonctions
cos^^' nous changerons t en 2î-{*l y mais comme ces sommes s'étendent depuis t = i jusqu'à t=:oo, nous devrons, pour
comprendre les termes qui répondent b tr:il, sobstitiier la limite t'zro à la limite »= 1. Il viendra de cette manière
l^iAi 8iQ2ta — 2 •tA<8in2t ra+^^=22r^2t+ 1)A,;+. 8inC4t+2«),
?A.C082t«-2*?ArfC082t/a+ j^=22r(2t+iyA,H.. C08(4t+2>
Les diflërents résultats qui viennent d*étre obtenus doivent maintenant être rapprochés , afin de faciliter la formation des équations du problème. Voici donc , sous forme de tableau , l'indication des substitutions à effectuer dans les expressions des sommes données au n* 15, lesquelles se rapportent à la machine située du côté des y positifs, pour obtenir la valeur de ces mêmes sommes étendues aux deux machines dont se compose une locomotive.
AU lieu des liBusteurs
lie la forme (K±:2)6ina
de la forme (K±:2)cosa
2J°AftC082îa
2f t'AiCos2tx
i;rB.iîos(2t-fl)a v*(2i+l,Btsin(2t+i)«
Substituer dans les Sommes inscrites au n» 15 et pro?eiiaDt des
Equations [â?], [z] et (y) ,
(K zt 2) sina + (R ± 2.) C08« (Kd:2)cos«— (K±2,)sina
22f Aa.COS&»«
22*îtAi;sinûta 22f(2i)'A.,cos4ta
Equations {z) et (x),
(K ±: 2) 8ln«— (K ±, 2,) cos« (K±2)cosa+(K±:20wn»
22r(2t+l)A,/+,sin(ût+2> 22r«î+l)»A.^,co8Cût+2>
2*-2cosc2t-f l)^BiC0s(2t+i) (« + ^)
2r 2cos(2t+i) l (2t+l)B,sin (îi+l) ^cc+j)
(*) La comparaisoo des deui deroières colonnes de ce tableao avec la première montre que la combinaison des deui machines ne change pas Tordre
En opérant danslea expressions du u* 15 toutes les substitutions indiquées par le précédent tableau , on pourra former avec la plus grande facilité les seconds membres des équations (26) et (27). Seulement, pour simplifier l'écriture, nous poserons :
Il nous reste à recueillir les éléments constitutifs des pre* miers membres de nos équations (26) et (27) •
FOIGBS BITÉBIBURBS DIFFftBBMTBS DE LA PBSAMTBDB y BT COOBDONN^S
DB LBDBS POINTS D*APPLI CATION.
17. Noua négligerons, dans les équations (26) et (27), la différence des pressions atmosphériques qui s'exercent sur la co* tonne ascendante de vapeur et de fumée d'une part , et la partie extérieure de la boite à fumée qui répond à la projection de la section droite de la cheminée sur le plan des xy de l'autre. Nous traiterons de même la différence de pression atmosphérique sur l'ouverture libre de la grille et sa projection sur la partie supérieure de la boite à feu. Enfin nous négligerons pareillement la différence des pressions atmosphériques sur les faces latérales de la locomotive ; maïs nous aurons égard à la composante de la résistance de l'air parallèle à la voie.
X , Y, Z, désignant généralement les composantes des forces
de graodeur des terroef principaui dans nne machine Isolée ; les terme» prtncipaai répondent aa facteur 1 ou aai facteara en sinx ou cosa dans la première colonne.
Les termes dn deatième ordre qui répondent à 1=1 (voir if 13} dans A^ se changent en termes du quatrième ordre dans les équations [j-], [z] et (y) , avec celte circonstance que leur période est réduite à moitié. Les termes du deuxième ordre en Bi, et qui proviennent de la bielle, y conservent leur ordre et leur période; seulement cette période n'est que les deux tiers de la période des termes en A..
Les termes du deuslëme ordre en A; conservent cet ordre et leur période dans les équattons (s) et {x).
extérieures diflérentes de la pe8anteur,et af^y\ z\ les coordoivnées de leurs points d'application y soient :
— Q la composante de la réaction exercée par le convoi , parallèlement à Taxe des dP ou à la yoie^
— Q^ la composante de la résistance de l'air parallèle au ménie axe ;
F la somme des composantes, suivant Taxe des x^ des réaction» des raiis exercée» sur les roues qui sont situées du côté dety poritib;
F, la mémo somme pour le cMèdes y négatifs ;
G la somme de» composantes, suivant Taxe des y , des réaction» exercées par les rails sur les deux roues dont Taxe de l'essien a pour abscisse / mesurée parallèlement à la voie ;
Gff G", les méoies somme» de composaiMes pour les paires de roue» dpnt le» axes ont V eiJf' poot abscisses ;
-^H la composante, suivant Taxe des x> de la réaction exercée sur la roue située du côté de» y positilii, dont l'abscisse est l)
— H, la même composante pour la roae opposée;
— H', —H/; — H", —H/', le» mêmes composantes relativement aux deax autres paires de roues \
E la demi-largeur de la voie; R le rayon des roues motrices.
Nous aurons le tableau suivant de» composantes et des coordonnées de leurs points d'application :
af +1
&QU1TI0N8 DfiTELOPPÉBS OB8 M0DVXMBKT8 DE TEANSLATION ET DE mOTAnON (26) ET (27).
18. Le tabieaa qui termine le naméro précédent nous fournit tout ce qui est nécessaire pour la formation des premiers membres des équations (26) et (27). Quant aux seconds membres , nous aurons à opérer dans les expressions des sommes présentées au n® 15, les substitutions indiquées dans le tableau (50)y en ayant égard en outre aux valeurs (51).
En nous reportant aux équations (26) et (27) et ayant le soin de passer dans les seconds membres les composantes ou moments qui ne se rapportent pas aux réactions exercées par les rails, nous aurons les équations suivantes, dans lesquelles tous ]es termes affectés de sina ou cosot se trouvent réunis en un seul f et le facteur l , qui est commun aux termes embrassés par les sommes 2, est mis en dehors du signe 1.
Équation [x].
F+F.=Q+Q'+(^-^sIn^^)sM
!-|- [U cosO + U' sinô -|- Sf*/3 ces e — 2^p, sine J sSn « | (Pa -f[Ucosô — ll'8în0-j-2f*/3sine+2f*/),cosejcosa ) dfi i + [U cosô 4" U' sin5 -f- Six/5 ces e— S^/), sin e J ces a 1 da* — [U cosO — U' sin9 + SfA/) sin e^- ^y^,\ ces e J sin « j dl^
— k CO80.4 cosf2f -21 AiiSinWa. -r-:
doL^ — *cose.8 cosySf (2t)2A,. cos4ti<. ■^.
Équation [y] ,
Équation [z],
- [H + H'+H''+H,+H'.+H" J= -^ cos^'ïM
( + [U sinO — U' C08Ô — Ipo sine — S/*/), cosej sina liP
1 +[U sinô+C cosO +Sf*/) cose — 2u/), sinej cosa J d\
J -j- [U sinO — U' cos9 — Spi/> sin e — If*/), cob e J cosa 1 da,^
"• ( — [U ôinô+U' cos9-|-2;a/>€086 — Z,a/},8ineJ sinoi ) dt^
da^ +ik8înô.8cos(p2f (2»)'AaiCos4t«. ^.
Équation (z),
Gi+C'P+G"P— (F— F,)E=
J + [V C08Ô — V 8inO+>S^p C08 e + ^Dftp, 8in e J 8în« J d^c
+1 — [Vco8ô+V'8inô— >2«p8ine+>2f*p,co8eJco8« j dt^
1 4.[Vco8ô— V'8inô+À2f*p co8e+>2fAp,8ine,]co8« | d^
\ +[Vco8ô+V'8Înô— Xlfip 8in«+>2pip,coseJ 8in« ) di^
+k C08ôA.ft cosfSr (2* -fi) Aaf+. 8în(ût+2>. ^
+*CO80A.8 COSf S? (2t+ i?Aaf+i C08(W+ 2)a. -jj;.
Équation (ar),
