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il +[V8inO-f-^^cos9— )2vfpsin«+>2.^PjC08eJsiD6^] d^«
j — [ Vsinô — V C08Ô — >SfAp cos — ^Sup^ 8in e J cosx j dt^ I + [V 8iD9 + V' C089 — >2î*p 8iD e -|"*; ^i^Pi ^^^ * J ^^^ \ ^«* |-f-[Vsin9— V'co89 — )2apcos« -)St/pj8În«j8in« j dt^
+ksm9X II cosi»2*(2i+ 1 )A,.+, 8in(4t+2)y. ^
+^-sin9A.8cosf2r(2i4-l)2A,.+,cos(/ii4-2)a.^.
SIOx
CO&a
Équation (y), - - b- ^R-i- .H-hB.:/+(H'+H'.)r+(H"+H".)t"=
^ j +( ^nj'— -j; ) [U sinô — U' cos9 — 2 u/i lin e — 2ja o^ cos f J I — [w^ — «'jCosÇ — w^smO — 2ap{cose4-2up,IsîoeJcosa ) di^
POBMATION DBS ÉQUATIONS DB CONDITION BBLATIVKS A LA STABIUTft, BT TBANSPOBlf ATION DES PBÊCÈDBNT&S ÉQUATIONS.
19. Nous allons mener de front deux opérations distinctes quant au but : comme elles se rattachent à la même analyse ^ on nous permettra de les confondre un instant; nous éviterons de cette manière de reproduire certains calculs algébriques.
En faisant l'application des six équations du n* 18 à une locomotive munie ou non de contrepoids , on obtiendrait à chaque instant les sommes des projections des réactions exercées par les rails suivant les axes x^y^ z^ et les moments de ces composantes par rapport aux mêmes axes. Ces quantités seraient données en fonctions de la résistance Q opposée par le train , de la résistance de Tair Qf, puis de Tangle « de la ma«
nivelle avec Taxe du piston, du carré de la vitesse angulaire, et de Taccroissement de cette vitesse par unité de temps. (La quantité -j est elle-même proportionnelle à cet accroissement en
vertu de l'équation (8), lorsqu'il ne se produit pas de glissement longitudinal des roues motrices.) La variation de vitesse doit être censée donnée par des instruments appropriés à ce genre ^e mesure, autrement il faudrait la tirer de Téquation (22) développée, en fonction de la vitesse, et au moyen de la lot supposée fournie par d'autres instruments , suivant laquelle la pression de la vapeur agit sur les pistons dans chaque position des manivelles. Nous reprendrons la discussion de nos équations après que nous leur aurons donné une forme plus commode pour les calculs numériques.
Le but essentiel de notre travail consiste, d'autre part, à tirer de ces équations les conditions que doivent remplir les masses mobiles pour réaliser la plus grande stabilité possible.
Nous avons établi (n* 5) que les conditions relatives à l'invariabilité des réactions exercées par les rails, en ce qui concerne la constitution de la locomotive elle-même , se réduisent, lorsque l'on fait abstraction de l'élasticité, à l'invariabilité des sommes de leurs composantes et de leurs moments. En observant que ces quantités sont, pour des valeurs données de Q
est conduit à égaler à zéro, dans les seconds membres des équations du numéro précédent, la somme des coefficients des termes de même espèce (*) qui contiennent ces variables Les
C^) Nous désignons par termes de même espèce cent qui sont affectés des
mêmes fictenrs variables. Ainsi les termes enyï on -j^ qui comprennent un
coefficient de la forme
Asinx-{-Bco8:<
équivalent en réalité à deux termes distincts ; si Ton pose en effet
Asin«+Bcosx=Oy
dans le but d'annuler nn ferme ^^'T^^^'Tâ P®^' ^^^^^ valeur de Tangie»,
et Q', fonctions des seules variables «i -7:5 ou 5- ^j;, ^^rn^» ^'^
— es ^
relations que Ton obtiendra ainsi serviront à déterminer certaines quantités, masses ou dimensions, qui no seront pas fixées d'une manière absolue par des conditions d'une autre nature. Nous pourrons nous assurer si ces relations n'indiquent aucune incompatibilité ou impossibilité, en observant toutefois que les termes affectés de ^ ont moins d'importance. En effet, la bonne distribution de la vapeur, d'une part; d'autre part, la grandeur des masses de la locomotive et du train, ont pour résultat, lorsque les ressorts de traction sont convenablement bandés, de rendre très petite la plus grande valeur ^® rfïl' aussitôt que l'on a atteint la vitesse périodiquement uniforme que doit garder le convoi.
Nous allons du même coup écrire les notations abrégées par lesquelles nous remplacerons les coefficients des termes do môme espèce pour faciliter le calcul numérique des équations du nMS dans les machines non équilibrées ou imparfaitement équilibrées, et les équations de condition qui résultent de ce que ces mômes coefficients doivent être égalés à zéro- Toutefois, nous donnerons préalablement quelques explications.
Il se présente des conditions impossibles que nous ne ferons pas figurer dans le tableau suivant. Par exemple, l'équation [a:],
»• 18, nous présente le terme variable ^2M, dont nous ne pouvons pas égaler à zéro le coefficient 2M. L'équation (y) nous offre deux termes indépendants de « que l'on pourrait réunir en un seul en vertu de l'équation (8)j on aurait ainsi la condition
Ry-S=o, (62)
Il fant écrire tépeirément
Ceci se prooTO très aisément comme il sait : La foncUon donnée, devant être naile ponr fonte valeur de «, doit être nulle pour sin«=o ; dans cette hypc^thèse, il vient ±B=o. Pareillement elle doit s'annuler pour cosje«o; on a par suite ±A«= o : donc la condition proposée conduit aux deui conditions dIsUnctesAssO; B=o.
sur laquelle nous reviendrons pins loin. Noos laisserons de côté ces termes pour Tinstant. Disons seulement qu'ils auront un effet d'autant moins sensible que Ton sera parvenu et
rendre plus petites les valeurs extrêmes de ^ dans le cas du
mouvement périodiquement uniforme ; et aussi que les valeurs de cette quantité, nécessairement sensibles lorsque Ton veut augmenter ou diminuer la vitesse moyenne , ne produiraient aucun effet nuisible relativement à Tusé local des bandages , si l'on parvenait , au moyen d'une distribution convenable de la
vapeur, à rendre -77 indépendant de l'angle «^et dépendant
seulement de la manœuvre du conducteur de la machine poar faire varier la vitesse.
Le tableau suivant présente, en regard des équations de condition, l'indication des équations qui les fournissent, l'ordre (*) de grandeur des termes qu'elles sont destinées à faire disparaître y et les coefficients de ces termes qui ne sont pas des ginus ou cosinus de l'angle œ ou de ses multiples.
En jetant un coup d'œil sur les équations de condition que présente le même tableau , on remarquera immédiatement que ces équations sont indépendantes explicitement de l'inclinaison g' de la voie à l'horizon ; ajoutons qu'elles en sont absolument indépendantes : c'est ce dont on s'assurera en remontant aux expressions (AS) et (51) des quantités U, V, etc... Il s'ensuit que les conséquences auxquelles conduira la discussion des équations de condition auront lieu quelle que soit la pente de la voie. On pouvait prévoir aisément ce résultat.
(*) Noos devons rappeler (voir n» 43} que les coefficients Âj, B.*, sont de Tordre 2i lorsque tang^ est supposé être du premier ordre par rapport k Inanité. Nos désignations ne doivent être considérées que comme s^étendant au premier des termes en A, on B/ compris sons les sommes z. Les termes indépendants des coefficients A/, B< antres qne Ao et B^ seront considérés comme étant des termes principaux, dont la grandeur relative sera dans quelques cas robjet d^une discussion spéciale.
«fi
NOUUODS
EipialiODS de condition
C cos* z=:Ucosô -f U'sinO -j- 2fA a cos e — liipfiln e, = o
Csin * zrUcosô—U'sinfi +2 t*p sin e+2ftp.eo8e .= o,
C'cosi-'izrU sînô — U'cosO — 2 » p sîn e — lupfios e, — O;
C'sin^'zrUsînfl+U'cos© + 2fip cos « — 2pp,sin e,= o j
D sinT=Vco80— V'siii9-|->2 up cos e-|- >2up,8în 6, =o , D cosT=Voa8ô+V'sinO-— >2ap sin e-|-^ 2f*p,cos e, =o ,
D^sin^' zizVsinô+V^cosô— >2ap sin e+>2fAp,co8«,=o , ^D'cosY'=V8În0 — V'cosO — Map cose— >2fip,sîn e,=o j J slno-z^w,— «'.cosô+iv^hiô— S wpl sin « — ^]SiAp,i cas e,=o,
Jco8ff=K'^— ^♦'.cosô — ff,sinÔ— 2fxûico8e-f-2ùip,isine,=:o;
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aSBSaBB8HBSaBaaHBBJB
SO. Avant de nous occuper de la discussion des équations de condition , nous allons transformer les équations du n* 18 , en faisant usage des quantités Ccost, Csin«, etc. L'état de la locomotive étant supposé connu , ces dernières quantités se calculeront aisément par leurs expressions ci-dessus : en les divisant deux à deux on obtiendra les tangentes des angles 4», etc., et par suite ces angles eux-mêmes, qui resteront ambigus^ mais cela sera sans inconvénient, puisque les coefficients C, etc., que Ton obtiendra en divisant par cos4» ou sin4»t prendront les signes qui conviennent ^ la valeur admise de l'angle ♦.
Voici la forme que ces auxiliaires permettent de donner aux équations du n* 98.
(On a supprimé dans Téquation (x) le terme du premier membre, qui s'annule en vertu de l'équation [y]).
Equation {x]^
-Csin(ot4-*)-5^-Ccos(«-h*)-5^
— ikcosd./ïcosfilf 2iAaiSin4fse. -^
dtL^ — A;co80.8cos7lf (2t/AaiC0S&Î9c. -rjs
Equation \y] , G+G'+G''=o. /(^7j
Equation [z],
+C'sin(«+*')^+C'<»»(«+*')^
*]-ks\ïïO,beoSflf%iAii sin ^tx. -^
da^
^ftsin0«8co872f (2î)'A9,€0B ftîx. -^^ J
Equation (ir), \
Gi+GT+G'^l"— (F—F. )E=—D co8(a + Y) ^ +D siii(« +»r ) -^
+*co80A.ft C085»Sr(2t+l)A,H-. 8in(4i+2)2. ^ +*C08ÔA.8 COS^I? (2»+l)»A„4.^ cos{At+2)a. -^
Equation (a?), [H.+H^+H^-(H+H'+H")]E=-Iy co8(«+>ï ^ +iy sinU+^rO ^'
+iksinôA.Û co?y2r(2t4-i)A.H-. 9iDC6i+2>. ^
+*8lnôA.8co8y2r(2i4-i;2A3.+,co*(6i+2)«.—
Eqaation (y) , (F+FOR+(H+H.)ï+(H'+H'Or+CH^'+H''jr'=
Qî+W+»r;sM+28'^-2sg
+g cosg'C C08(a +#)4.r5f 8ill j'— •£\ C cos(a + 1^')
+ J-2î^êo<2i+l)jB<co8(2f+l)(« + î).
- ^2* 2 C08(2f +1) l (« 4- l)R«in(2î+i) («+ J).^; )
Ces expressions 8ont rigourea9einenteidl^|9s^ mais dans la pratique on pourra les réduire considérablement en conservant une suffisante exaciitade.
En faisant complètement abstraction des termes en h dans les équations [ar], [z] et (y), on ne négligera que des termes du 4« ordre. (Si Ton se reporte h la note du n« 13, on y verra
qoe la yalear nnmériqae da coefficient A9, le premier de ceux qae l*on néglige sous les sommes 1 n'atteint pas même trois cent-millièmes. )
Od pourra dans les autres équations négliger les termes qui sont affectés des coefficients Ag et Ba , et les sommes 2 se trouveront réduites à leurs premiers termes. Au moyen des v(dears numériques présentées dans la note du n* IS, et qui supposent la longueur de la bielle égale à cinq fois celle de la manivelle , nous avons calculé les expressions suivantes , auxquelles peuvent se réduire les termes en k et tPm dans cette circonstance t
Equation (z)
-f 0,0&0 &077 k\ cosd sin2a -^ -|- 0,080 81 5& ftA cosG C082ft ^ ,
