M'(B— BO+M"B

B— B' est la distance du centre de gravité de la bielle à l'axe du bouton de la manivelle; par suite M'(B~BO est le moment de la masse de la bielle par rapport à cet axe ; M'^B est le moment de la masse du piston supposée concentrée à l'extrémité de la bielle : la valeur de k est donc égale au moment de la bielle supposée chargée à son extrémité du poids du piston, par rapport à Taxe du bouton ; il s'ensuit que la condition ft=o ne peut être remplie sans l'addition d'une certaine masse appli^ quée sur le prolongement de la bielle. C'estd'ailleurs ce que l'on obtiendrait en tirant de l'équation ft=:o la valeur de B' — B } il viendrait en effet

ce qui signifie que la distance du centre de gravité de la bielle à la tète du piston doit être plus grande que la longueur B de la bielle.

Il ne parait pas que cette condition puisse être complètement

réalisée , tÈêtm dans les machine^ à éylindres eitérfentB où l'espace permet le prolongement nécessaire , à caâse dé Tacèroissement de rigidité qu'il fandrait donner à cette pièce et aùt boutons dé manivelle pour résister aox efforts énormes qui se développeraient dans les grandes vitesses. D'ailleurs ces éffortâ eox-méme» donneraient naittance U des fkrottements qui absorberaient un travail mécanique trè^ oèntidérablè. Cependant, entre la forme actuelle de là bielle et ilne mbdlBca*tion de eetie forme et de sa âtasse « qai serait accompagnée de fâcheux résultats , on conçoit la possibilité de medifieatieiis avantageuses au point de vue de la stabilité , et exemptés h peu près des inconivéiiients que Âous venons de signaler. Nous retiendrons bientét sur de sujet.

Des considérations qui précèdent il résulte qu'il n'est pas généralement possible de satisfaire à l'équation (63)) et, par suite, à rénsemble des huit équations (63); aussi regarderons-nous, pour le moment, la qualité k comme étant quelconque et donnée en fonction des masses de là bielle et du piston, de la longueur de la bielle et de la distance de son centre de gravité à la tète du piston.

a. Revenons eut équations de condition (53). Il convient d'y mettre eu évidence la Quantité k. A tei effet, on tire des équations (62)

U'=U— *g, Y'z=:V-*gA.

Au moyen de ces valeurs, les termes en U, U^, V, Y^ de nos équations dé condition, donnent respectivement

Ueos9+l]'sin9c=-f-U(cos9-fsind)— Jfc^sînO Ucosô— U'8lnO=+Û(co80— sinô)+*^sinô

Usinô— U'cosôz=— U(cosô— sinO) + *^oo8ô

UsinO-|-ï^'cos0s:-|-U(cosO-}"SÎû0) — k:^co%9.

Vcosô— V'sîn0=+V(cosô— 8in^-f it^Arine

Vcos 9 +V' 8in =+V(co8 +8in o) — * 1 Asin ô

y8{D9-4-V'C089=4-Y(C(»94-8iD9)— fc^AcotS

V8in9— V co89=— V(co8ô — 8inô)+ fc ^ Acos d

Ces .valeurs doivent actuellement être substituées dans les équations (53); mais nous profilerons de ce que ces équations renferment deux à deux les mêmes combinaisons des somimes Iff paur écrire les huit équations sous la forme de quatre seulement. Les premiers membres seront comniuns à deux équations dont les seconds membres auront deux valeurs distinclives. En divisant ^ en outre, les quatre dernières équations par > , nous aurons les équations multiples que voici t

U (cosfl + Bïnif) -jr2t*f çpse— 2{*f » sîns^ ;^= -^ * ^ fiaO

U (cosô — sinô) +2fi/î çine -|-2f*j3^ cose^ = — ^ - 8in9

—• (cosô — 8in6)-f-2(4/} cose-^lup^sine^z^ — * TTsinî» —

— (é08« + sînô) -j-2fA/) sine -}-2f*^^ cose^ = -j- ifc -jr sine Y

cotd

(66 6if}

La ^ignifici^tioa de ces ^uations ^t facile k soUir; ea ^> lant |e3 premiers membres aux termes de la colonne (A), on satisfera aux conditions de rinvariabillté des composantes parallèles h Taxe deio; et des moments autour de Taxe des z, puisqu'il n'existe p^ d'autres équations marquées [x]^ (js) relatives èi des termes principaux. Ge qui revient à dire, en employant le langage des ingénieurs , que, ces équations étant sa-

tisfaites, il ne devra se produire aucune tendance aux mouvements de tangage et de laeeU En égalant les premiers membres aux termes compris dans la colonne (B), on satisfera pareillement aux conditions de l'invariabilité des composantes parallèles à l'axe des x et des moments autour de Taxe des œ; ce qui revient èi dire que les tendances aux osciUations normales h la voie et au mouvement de roûlU n'existeront pas si les nouvelles équations sont satisfaites.

La notation (y) commune aux deux premières équations rappelle qu'on fera disparaître, dans l'un et l'autre cas, des inégalités qui affectent les mouvements autour de l'axe des y, el qui répondent & la tendance au mouvement de galop. Ces inégalités sont peu considérables, puisqu'elles ne dépendent pas du carré de la vitesse, mais seulement du poids des pièces mobiles et de la variation de vitesse. D'ailleurs , il existe d'an* très conditions plus importantes relativement au mouvement de galop ^ ce sont les équations (5&).

Nous pouvons donc, en faisant abstraction de la notation (y), énoncer la proposition suivante :

Si Von satisfait au système des équations (A), on fera dispa-rattre les tendances au mouvement de tangage et de lacet ; si Von satisfait au système des équations {B), on fera disparaître les len* dances aux oscillations normales au plan de la voie et au mouvement de roulis } mais il est impossible de faire disparaître à la fois ces diverses tendances si la condition ^ zzo n^est pas remplie.

La dernière partie de cette proposition est rendue de nouveau évidente par l'égalité nécessaire des termes des colonnes (A) et(Bj situés sur la môme ligne horizontale; les quatre équations qui en résultent ne peuvent avoir lieu que sous la condition k:=zo.

' L'énoncé qui précède nous dispensera, dans ce qui va suivre, de conserveries notations [x], [z], etc; nous conserverons simplement la notation (A) et (B), qui les résume.

En combinant par voie d'addition et de Bousfiraction les équations (65 frû), ou obtient aisément :

fu— ^)coeô— ^U+y)sinô+22f*p8ine=— *g8inôA+^^ f U+ y) «^-- (u - 7) rin«+22f*/).co8e,==- Jfcgrfnô ^1--^ Tu— y)co8ô— ^U4-Y)8inô + 22c;p,8in«.==-*J«inôri+^)

Ces relations nous permettent déjà de constater que l'on ne pourrait faire à la fois pour chaque couple de roues p,=: p et e,=: — $ que si l'on avait en môme temps 9:=o et ^=0.

La substitution de la valeur t — 9 à la place de e (67) va nous offrir le moyen de remplacer les deux systèmes (A) et (B) par un système unique (C) qui restera indéterminé. A cet effet, il faudra développer les sinus et cosinus de t — 9 et de c, — 0, en observant quesindet cos9 seront des facteurs communs des sommes 2. D'autre part, nous allons changer dans les seconds

membres les facteurs (i — -rj et ( A+t)*

Soient Y et e des quantités auxiliaires telles que l'on ait

Ysîne=).— A,

Yoose=X-f~^y

on aura 9 pour déterminer l'angle e, l'expression

).— A tange=:

puis d'où

■).+A' Y (cos e -f sin e) = S> , 2 ^. j/i

"k cose-|-8ine

sJn(e+j) En divisant les expressions (67) par >.; et substituant la valeur

pfé|çé^|fiin^d0

On doit reiqarquer que Tambiguïté de l'angle e n'on^ produit pa« d^ni lea valear» pjrècédeiites, paisque le ckangement de e en e ±:ir produit un changement simultané des signes des nuip^teors el d|es dénominateurs.

Posons enfin

ou> on ^ctrt^ de l'équatipn (3d),

— 1. 8ÎB9

ifc's::*

sin(e+j)

nous aurais

S&'cose*

Ea efTectuiint ces divers changements dans les équations (66), il viendra

-|-( D-f'Tj^^^'f'(U^T ]^ÎD^~i~-^^^^/^P cosc -|-2sin92fxp sini =4-2^sin0sine — rU-f-YJ'^'^^'^V^ — Y ]^^^^ — SsinoZfip eoss -f-2co802fip sins =— Sit'sindcose +rU4-Y)co69— ^D— -^sin94-2cosd2;^.eosi,4-2ri^ — rU+YJslnô--f^U— r-jcos^— 2sin©2.tip,cos?,+2cosô2pp.sîûî,=— it's^

rz-j^^it^cosOsine =:+2ik'cos0cose

z=:^^kfco99 sine /

MuUipliaat mainteoaQt la pr^miôrar de «er équatianii parsin^y la dauxiône par coa^, et ajoutant ;pitif^ la premièfe par oasd^ et b deuxième par 8in«, et retranchant; el^ opérant de métùm 8uff le» deux autiet, on aura

+ Tu + Y^+22fii/) eoai =:2+2JI/5iirôâin(6+e) — Tu — -) 4- «2fAp,8în •,= - îifc'sin ô go8(0 — e)

=4- SI/<Md€Q8(d+ 6}

=-|-2*'co8e«ln(ô— e) =+ 2ife'ce«ff co8(ô — e)

Il e8t vi8ible que» 8i l'on changOv dans le système (A)t an

Bdt^fOa obtiendra le système (B). Ces deux systèmes pour-

ront donc être représentés par un système unique (C) ayant la forme (A), pcfurvu que l'on y change 9 en S-f^» ^ désignant un angle indéterminé tel que, le hisanl égal à zéro ou db ir , le

système (C) reproduit le système (A), et, en bisant ^=db|

il se change en le système (B). En effsctuant ce chaogemeni dans le système (A) et tirant les valeurs des quantités 2, on obtient le système unique et indéterminé

S^p.sin ..=+g(U— y)— *'8iii(9+ 6')c««(94-6'-e)

2(«/>,cosf.=— I (u+y) +*'8in(e+«08in ( 9+6'— e)

dan8 lequel, pour plus de géoéralitè , nous àmotu regarder «' comme affecté du double signe ±} nous sapprtmoiu ce doo-

bleaigneafin de nepatcoDipliqoer les notattons. On remar* quera que le changement de 6^ enit-^-B' n'en apporte aucun daoB ce système. Nous préciserons plus loin la signification mécanique de i*angie 6', en étudiant le mouvement du centre de gravité de la locomotive armée de ses contrepoids.

De ces équations on déduit aisément les deux relations suiyantes, qui peuvent être employées utilement h la vérification des calculs numériques ;

2ftp sin e -j- 2pip, sin s, = — hf slû^i$ -f~ ^0 ^^ ^ 2f/p cos c — 2fi/)j cos c. = — k' sln2 (ô + ^0 wn ô

Ces relations montrent que, dans le cas oti k^ ou k n'est pas nul, on ne peut pas faire èi la fois pour chaque paire de roue p,=zp et f/=: — e, si Ton n*a pas sin2(d4~6'}=o, ou bien si la somme des angles e et B' n*est pas égale à zéro ou à un multiple de l'angle droit.

En observant que le système (A) est caractérisé par s'=:o

ou li: 9r dans les équations (G), et le système (B) par 6^=i::Ë:^y

nous pouvons transformer la proposition énoncée plus haut dans la suivante :

Si l'on satisfait aux équations (G) en y faisant B' zzzo ou ±i: ^ on fera disparaître Us tendances aux mouvements de tangage et de lacet ; si Von satisfait à ces mêmes équations en y faisant

6'=d:^, on anéantira les tendances aux oscillations normales

au plan de la voie et au mouvement de roulis \ mais il sera impossible d'anéantir à la fois ces diverses tendances tant que la condition k=zo ne sera pas remplie.

L'association des angles 9 et G' soos la forme d-f-^^^^^"^ '^^ formules (C) est digne de remarque. Elle montre que la disparition des deux derniers mouvements s'obtient par [les conditions qui feraient disparaître les deux premiers dans une locomotive où Taxe du piston serait à angle droit avec la direction donnée de cet axe.

- Les équations (C)^ quand on y faitàla fois 9=o eH'=o,soDt

éqnividentes aux règles données par M. Lechatelier dans le cae des machines à cylindres horizontaux. Il estciairi dès lort^ que le procédé de M. Lechatelier ne peut pas détruire les ten«> dances aux oscillations normales et au mouvement de roulis. Ces règles sont d^ailleurs les seules que l'on trouve dans Fou^ vrage de cet ingénieur; et, comme les équations de condition relatives au mouvement de galop ^ qu'il a entièrement négligées, établissent de nouvelles relations entre les quantités sous les sommes 2, il est èi craindre que l'emploi des seules règles de H. Lechatelier n'ait souvent pour résultat de développer des tendances au mouvement de^afep, qui n'auraient pas existé avant l'application de ses contrepoids.

En désignant par fx la masse d'une roue motrice, et p la distance de son centre de gravité à Taxe de Tessieu , notre inten-* tion était de montrer que la théorie de la stabilité aurait con* duit èi l'emploi des contrepoids ^ si ce procédé n'avait pas été déjà indiqué. En efTet, les équations (C) et celles que nous obtiendrons plus bas relativement au mouvement de galop montrent que la quantité p ne saurait généralement ôlre nulle, et que, par suite, le centre de gravité des roues motrices doit généralement être distant de l'axe , résultat qui indique évidemment la nécessité d'employer des contrepoids. La théorie nous aurait donc conduit èi ce résultat, comme elle nous a liait connaître la nécessité de prolonger la bidie.

Le produit iip se compose de deux termes , l'un relatif à la roue supposée centrée , et l'autre au contrepoids dont elle est armée. Le premier de ces termes est évidemment nul s en vorte que nous pouvons, dans nos équations de condition, supposer que fA désigne la masse d'un contrepoids , et /> la distance de son centre de gravité à l'axe de l'essieu. C'est ce que nous ferons dorénavant.

Avant d'employer les équations (C) à la détermination des contrepoids et de nous occuper des équations (5A), il est convenable de rechercher ce que deviennent les auxiliaires Ccost, Csint, etc. (53) ^ lorsque les contrepoids sont calculés de ma-

mère à «i^Halaire aux éqnfttioBS (C) : l*aDalogie deBeâkrak à eflebtuer avec oeax que nous venons de présenterinoatenlatt 4ine obligation.

CALCUL DB8 VALBOmS QUS nVNNBlCT LB8 COBPFiaBlfTS CcOSt, CsiO^i BTC.t L0B8QUB LB8 C0NTBBP0ID8 SATISFONT AUX ÉQUATIONS (76).

85. Les fvalears (53) contionnont sous les sommes JS les angles e el e.. Nous avons à déduire les valeurs de ces sommes- des expressions (lU) qui oontienaent t ou e, sous les signes 2,n,k cet effst f l'on aura

. 2fip«ia s crz icos 9,2f<j»^ « --r sia 6 £f4».«os c , 2^(i/»coss=:sin6t2^(/>sincr|-eos^2f4/ftGOSf }

on aurait deox autres formules toutes pareilles en affectant de lYndloe.leS' lettres set t. En y substituant pour les sommes ^n • el e, leurs valeurs (74), et réduisant , il viendra