IV

Spip^siDe,=+-U(cosô+6inô)---YC«®*^--«"^)-"*'«n(«+Ocos(6'— e),

Sf»/),co8s,=--5U (cosô— sînô)— â r- (co8e+6in5)+f sin(ô+6')sîn(ô'— e).

Ces quantités étantactuellement transportées dans les équations (5i5),<et les valeurs (64>et (65) mises à la place des deux premiers termes desseeonfds membres, les quatre premiers ee«ffieleats deviendront , toutes réductions faites ,

G cost =— ^gsinô+k'.ilA(ô4-e;)[8în(e'+e)+cos(6'-T^)]

G 8ln« =+*gsinô— ysin(ô+6O[cos(e'+0)— 8ln(6'~e)] Ccos»'=+*gCosô+*'sln(ô+ô')[cos(ô'+e)— sînCô'— e)] C'8iny=— »gco8ô4-ifsîn(ô+ô')[sin(6'+e)+cos(6'— e)]

Les qtiaftedafres coefficients, étant pour plus de simplicité divisés par>, deviendront de même

D sîn Y =+ *g Y*'^ ^ + fc'sînC^ +ô'y[8in(ô'+0)— cos(6'— e)]

D cosY=— A;gy sin +*'8în(e +0[cos(6'+e)+8în(6'— e)]

rA ?(77)

IVsIn Y'=— A;^ i^co8ô+*'8în(ô+60[co8(0'+a).4-sîn(ô'r-e>] f

lPcor¥'±z+k^ ^cosô — tfs\n{B + 6')[sin(6'+0 )— cos(6'— e)]

Les coefficients de ^sln(9-|-^0 ^^^ ^^^ expressions, étant développés, donbûbt

8iD(6'+ e)+ cos(ô'— 0)== + (cos e + sin a)(co86'+ ^^ ^') cos(6'+e) — sin(6^— e)=:+(co6e+8ineXco86' — sînô') . . 8in(ô'+0)— cos(6'— 0)=:— (cose— sineXcosô'— 8în6') ^ co8(ô'+ e)-4HBln(î'— G^)mrf(aHi e — ^ sin é)(eos è'+slri ô')

Dun antre' cAté, en ajoutant et retrànchlaiil ^les éqna* tiens (71), puis divisant par 2, il vient

ft'(cés0-f-8ine)=:iî;= , ifc'Ccose — 8îne)=iî;5--- .

If A

Si nous subèiMohs féS'déuxrprMriîSfeâ'VaTèon ^(78) dans les équations (76}y efrHi^e'TioiisDt70ndié^Fd'%')a première équation (79) , noQS aurons

C ces» si+fcgE— sin ô+rtnCô4-0(cos6'if slnéO]

Csin»=— *g[— sinô+sîn(e+60(eos6'— rinô')]

(80) (?citei'==4-*g[+<H)s'e+s1n(0+ôO(«o8ô'-sinéô]

G'sia f'?::— tg[+Qoa9— Un(e4-«fXcoi^H^«9f)j A Taide detf dernières valeurs (78), et de la deuxième équa-

tion (79) , les équations (77) donneront, en sapprimant le fac-

teur commun -■>

D sin y =— *5 A[— sin 0+8ili(ô+6')(cos6'— sinô')]

D COI Y =+*gA[— 8ine+sin(0+e')(co«ô'+«înO] lysinv'zs— ikgA[+c08ô— sin:ô+6'Xcosô'+8în60] iyco8^'=+i5V[+cosô+8Îû(ô+60(cos6^— slnô')]

Il reste à opérer ici des rédocUons. Oq a d'abord

d'ob

8in(9-f dO=sitidcosd'-{-cos^"ndS

tàùiB'\-B')€OB$'z=:%in Q cos^ 6'4-co8 B sin d'oo86'y 8iii(0 -|- G') sin 6'= ces 6 8in^6f '-{- sin $ sin 6'cos 6' 3

puis

Bin(9 -j- 6')(cos 0'4- sin d') = sin $ cos^d'-f- cos Q sin^d'-f (cos d -(- sin ù) sin 9'cos 6', 8in(ô+^'j(cosô'— sinôO=Mn^cosV— cosôsinV+Ccosô— sinô)sinô'cosô'.

Soient « pour abréger,

(a) = — sin ô + sinC© + e'Xcos ô'+ sin ô') (i)=gine+sîn(ô+60(cos6'— sinô') (c) =+ cos ô + sin(ô + e')ieoBB'—Biû ©') (rf) =+ cos — 8în(ô+eO(cos©'+Bin ô')

nous aurons , en faisant usage des deux précédentes rela-* tiens ,

(a):= — sindsinV-)^cos6sinV-^(cosd-j-sin6)sind'eos6' (b) =— sin 9 sin^d'— cos è sin^6'-f (cos — sin G)sin d^cos 6' (e)=-{-sin9cos'G'-fcosdcosV-|-(oosd — sin9)siné^cosG'

(if)= — sindcosV+cosGcos^d'— (cos9-|*'Bîn^)^>^^'<^>B^'

',-/<*/ iyi-

uy/f^'-^

/t»Hv

puiSf en mettant les facteurs communs en évidence,

(a) =8iD ô'[co8e'(co8ô +8înô)+8in6'(co86— sînô)] (b) = sin 6'[co8 ô'(co8 e — 8iD Q) — sin 6'(co8 $ + **d 6)] (c)=co8e'[cos6'(co8e+8în0)+sînô'(co8ô — sinô;] (d) =: ces ô'[cos 6'(cos B — sin 9) — sin ô'(cos B + sin 0)]

mais on a co89-{-sinO=:(/28inf 6-{-t) t

CO80 — 8ÎOÔ = j/8C08rô+^] J

substituant , il vient

(a) = j/i sin B' [cosB' sîn^ô +^ +sin ©'cos^ô + j)l

(b) = i/i sin 6' Fcos e^cos^ô + ï) ■" *'" ®' *'°(^ +s)l

(a)=^î8ln6'8inrô+6'+j) (6)= j/2 sin ô'cosrô+6'+ j) (c) = j/î ces B' sln^ô + 6'+ j^ (d)=: l/ieos û'ccs^ô +0'+ ^ J

Àuonoyen de ces valeurs, les équations (80) et (81) deviennent finalement

Cco8»=+*g>/î8lBô'8in(d+e'+j)

C8in*=— ikgj/âsinô'cosre+e'+j) C'cos*'=+*^ j/ico8e'8inrô+6'+ j) Csin ♦'= - * g i/leosB'coB(B+Bf+^

D sîn Y =— * j [/a Asin ô'cosrô+e'+ î j iy8inY'=— *g j/iAcoê6'coôro+6'+y

(En verttt de l'équation (35) , on pourrail remplacer le facteur i^gKâ» P^ Utàtif.) Les équations précédentes donnent facilement

C=+ikgr/â8ln6'

C'=:+ftgj/«C0S6'

D=+*gj/isin6'A iy=-{-*gj/âco86'A

Les seconds membres des équations (82) et (83) 8*aiinulent avec k , comme nous savions déjà que cela devait être. En outre , h étant supposé ne pas être nul ^ les quantités C et D , qui sont les coefficients des principales inégalités dans les équations [x] et (z) du n* 20 , s'anéantissent lorsque G^=o oudzTr, tandis que C et W^ qui se rapportent aax équations [je] et (âp), ne

disparaissent que pour 6'z=di-. Ces déductions offrent une

confirmation de nos calculs.

Puisque les coefficients C, D, C% D't représentent les demiamplitudes des variations des réactions et de leurs moments^ qui correspondent , d'une part aux mouvements de tan-gage et de la^etj de l'autre aux osctUaiionê normaUs et an

mouvement àe roulis ^iX est facile d'apprécier l'iefficacUé d'un système donné de contrepoids établi d'après les formules (74) , au point de vue de la tendance èi ces divers mouvements.

On y parviendra en calculant le rapport des coefficients (85) aux valeurs des coefficients C, G\ J>, D\ avant que la machine soit munie de ses contrepoids; on aura , si l'on peut s'exprimer ainsi I le rapport des perturbations restantes^ après l'application des contrepoids , à celles ()u1l s'agissait de détruire.

Désignons par Co^Co» I^o^I^^' '^^ valeurs absolues de Gf Cj D, D^ avant l'application des contrepoids. On obtiendra C,, etc., en égalant à zéro les quantités p, />,, dans les équations (53), et faisant la somme des carrés de ces équations prises deux à deux; il viendra de cette manière

C/ =± 2 (U^cos^ô + V'hïn^ e) D^«= SCV^cos^o + V'Vm^ô) C7= 2(lPsîû* Q + U'^cos^)

iy,2 2(yhW e + V'^cos^o) ,

et les rapports cherchés seront , en ne considérant que leur valeur absolue,

srsind' \

sinG'

cose'

Co B^'U^cos^ô-l-U'-'siû^O

D * Ar

Do ■" S j/ V2 cos^ô + V"siû='ô

^. Bl/v^Bin^ô^-V'^cos^ô

24. Pour montrer une application simple de ces formoles^ nous supposerons qu'il s'agisse d'une machine à cylindres horizontaux^ ce qui réduira les radicaux à U, V, U', V, (51). En

remontant aux formules (AS) et (49) y on aura dans ce cas

yy.

sinG'

sîne^

cosd'

cosô'

Prenons pour exemple une machine à roues indépendantes, qae M. Lechatelier étudie dans son ouvrage. En substituant, dans les précédentes équations , les poids aux masses y ce qui ne change pas les résultats , nous aurons (voir pages 52 et 5/i de cet ouvrage)»

La quantité H''^ — représente le poids du bouton de la manivelle , augmenté de ce que l'auteur appelle poûf< de la mantv^le rapportée à son bouton; nous prenons le signe -f « attendu que les rayons qui aboutissent au centre de gravité de ces masses sont de même sens que le rayon r de la manivelle^ ce terme est d'ailleurs le seul que comprenne ici la somme 2. La quantité A!'' doit différer très peu de A dans la machine dont s'occupe M. Lechatelier: pour plus de simplicité, nous pouvons, sans

erreur sensible, supposer — =i.

La situation du centre de gravité de la bielle n'est pas don-

née; mais doqs avons lieu de croire que H. Lechatelier désigne par poids de la biMe afférent à la manivelle ce qae nous défi' signons par H' ^ : noas poserons donc

d'où nous tirons :

w rtit

Il s'ensuit

Or, noas avons dit que les règlesdeM. Lechatelier, relativementaux machines b cy lind res horizoniaux, se tirent de nos équations (74) en y faisant d'=o. Introduisons cette valeur de b' dans les expressions précédentes, et nous reconnaîtrons que, dans le cas actuel, les contrepoids de M. Lechatelier, tout en détruisant à très peu près les tendances au mouvement de tangage et de lacety augmentent de 44 pour 1 00 les coefficients qui mesurent les tendances aux osetUaftons normalee et au mouvement de rùuU$*

Si les contrepoids étaient calculés avec une valeur de 6' = dz - ,

ces dernières seraient sensiblement détruites « et les premières se trouveraient réduites à 0,59 de leur intensité primitive.

Enfin , si Ton appliquait ici des contrepoids calculés avec une valeur de o' moyenne entre les deux précédentes , c'est-

à-dîre en faisant 6'=dz^, il viendrait, abstraction faite des signes,

En d'autres termes, les tendances aux mouvements de tanqaqt et de \acti seraient réduites aux \x dizièroes environ de ce qu'elles étaient avant rappHca^tion des contrepoids , tandis que les tendances aux oscillationê normaleê et au mouvement de rotUis ne subiraient pas de modifications sensibles.

Les valeurs numériques des quantités (86) et (87) doivent nécessairemenjt varier dans les différent^ systèmes de locomotives. Il est facile de voir que ces nombres seront moindres dans les mac)iines à roues accouplées où les bielles e| manivelles d'accouplement seraient de même sens que les manivelles principales ; les inconvénients inhérents à la valeur 9'=o y seront moindres que dans les machinas à rpues indépen-> dan tes.

Sans pousser pins loin les recherches numériques, on peut présumer , d'après les nombres précédents, que le mode d'application des contrepoids en usage aujourd'hui n'est pas étranger aux dégradations qu'éprouvent par places les bandages des roues motrices.

Quoi qu'il en soit , on ne doit pas raisonnablement préférer à priori un système qui détruit h peu près certains inconvénients et qui en aggrave d'autres. Nous venons de voir que le

système G'=:±:- ajiéantit ceux que le premier aggrave, et ré-

i\3fi ep même temps les autres» Ce ne secai^l cçp^epdaQt pi9f|.un motif sufi^nt de préférer ce système, attendu que le tangage et le laeet sont plus à redouter que les oseUlations narmales et le rouliê, h, cause des glissements qu'ils peuvent déterminer. Toute-

fois, on conçoit qiji'il existe entre 6'=o et 6'=:- une valeur in-

terro^é^iaire, àfi, cett§| indéteripinéç, qui (oi^^rnîsse les i;ësfilta^

le» fh» avantaeeos; pour ua syalème donné da loeomolive. Heis la mècanûtae expèrimeotale ne nous rournift pas aetoolmeot de doaaées (pi non» peraietteni d'appréeier la propor* lion dans laquelle le» aoiDnies de» oonposaotes et des momenta des réactions exercées par les rails concourent à la détériorer* tton locale des bandages. fi*nn autre cdté , Ton ignore k peu près la liaison qui existe entre le travail du frottement et l'usé des tourillons et des glissières. Ce travail lui-même ne saurait être déterminé d'une manière générale , à cause de la variété des appareils de distribution de la vapeur. S*il en était autrement, le calcul des inconvénients inhérents à un système donné de contrepoids serait accessible à Tanalyse mathématique. On sera donc obligé d'avoir recours à l'expérience pour fixer la valeur la plus convenable de l'angle ^^. et aussi pour déterminer la modification la plus avantageuse à apporter dans la. distribetion de la masse de la bielle, bcsque l'on consentira à modifier la forme et la masse de cet organe. En prè« sence de l'impossibilité de satisfaire à l'enseiabladeséquiitions' de condUioB provMiant de h>Of et qui permettent d'y déroger d*une infinité de manières différentes, nous sommes heureux d'avoir réussi k introduire l'indéterminée &' qui réduit considérablement le champ ouvert aux tâtonnements et systématise les recherches expérimentales , comme on le verra plus loin.

SOrrB OB LA BtSOCIJTIOff DXS ÉQUATIONS OB COlfUITlOir.

8r8. Au point od nous en sommes, il devient néoessaire de dévelopi^r les sommes S dans les. équations (74); nous rai^ellenons que leur dèfiaition est comprise dans la formule

nous isolerons le premier terme da< seoondi nomère^ qiit se refu porte k:la>roue dont Taxe a pourabseisae i, et nous poserons

^^f^cos f*rcos "'^'^ ces

en sorte que cette dernière somme ne contienne que les termes relatifs aux roues dont les abscisses des axes sont V et l". On aurait des expressions toutes pareilles en aifectant de l'indice , les quantités p et s , pour transformer les sommes £ qui sont relatives aux roues situées du côté des y négatifs.

En effectuant ces changements dans les équations (76), il viendra

P/>sîni+Vf>'sini'==---|rU--y)— ik^sinCô+ôOcosCô+ô'+e) fxpcosî +V/cose^ zz— jrU+Y)+&'sin(6+ô0sin(ô+6'+e) f-'P. sin i,+ 2f*'p\sln t\= + Vu — y) "^ *'«" (6 + 6')cos (6 + ô'— e) PP,cos f , + 2iifp\cos £', = — l^U +^^+ fc^sInC© +6') sîn(e + ô'— e)

Ces formules feront connattre pip, i et jip^ j t, , lorsque les quantités 2, qui sont relatives aux roues dont les abscisses sont V et l'\ seront connues.

Les équations (75) destinées aux vérifications numériques deviennent de la même manière

fitpsin £-|-pp,Rîn f,-f 2f*'p'sîn s'+S/p^sîn «',= — fc'sîn 2(ô-J-ô')cose pipcos ( — ptp.cos f j-|" 2|i'p'cos s' — Ifx'p'.cos e', = — ^sln 2(ô + ® ') **d ®

Il ne sera pas sans intérêt de présenter la remarque suivante concernant l'emploi des équations (88). Le sens des œ positifs pour lequel nous avons pris celui du mouvement de la machine, est arbitraire, puisqu'on peut toujours supposer à ce mouvement un sens contraire à celui que l'on aura choisi d'abord. Il faut donc que les équations (88) assignent les mêmes masses et les mêmes positions absolues aux contrepoids montés sur les mêmes roues, lorsquel'on applique les équations en partant d'un sens du mouvement opposé au sens primitif. Il est facile de vérifier qu'il en sera effectivement ainsi; en effet, cette inversion aura pour résultat de changer les p, !> c' en p., — s, et — c\; l'inclinaison $ des cylindres se changera en ir— d; et, comme l'angle B' est

censé affecté du double signe , l'angle ^O' peut toujours se changer en n — (O-f^O* Les quantités fx, U,y» V et e conser-

Teront d'ailleurs les mômes valeurs. Or, il est facile de vérifier qu'en effectuant ces changements dans la i'* et la 2* équation (88), on retombera sur la 3« et la &•, et réciproquement.

Nous allons maintenant nous occuper des équations de condition (5A). Ces équations, au nombre de deux seulement, sont destinées à faire disparaître les principales inégalités dans l'équation (y), qui est celle des moments autour de l'axe horizontal perpendiculaire à la voie. Elles répondent au mouvement de galop. (Les équations (53) comprennent bien quatre équations relatives à des inégalités du même genre; mais nous avons déjà fait remarquer qu'elles ne se rapportent qu'au poids des pièces et è la variation de vitesse, en sorte que les équations (5 A) peuvent être considérées comme les principales équations de condition relatives à la destruction de la tendance au mouvement de galop.)

Multiplions la 1'* équation (5ft) par cos 6 , et la 2* par sin 9 , puis ajoutons; d'autre part, multiplions la 1'* par sin 6, et la 2* par cosd, puis retranchons la l'« de la 2«; il viendra, en vertu do c=0-]-d, ff.=e.-|*'^ C^^'^ (4^)]f

fi»,(cos6 -|-*ioO — ^i^ 2f*/)/sin i — 2f»p,2eo8t,=o ) «',(cos6 — sinô) — w^.— 2fAflcosff-f 2f»/9,Isinf.=o |

Cette substitution de l'angle i à l'angle e ne suffit pas) il convient de séparer ici, comme nous l'avons fait plus haut, les termes qui se rapportent aux roues dont l'abscisse est I, en posant

et de même pour les sommes qui contiennent l'indice 1, et cela

afin d'éliminer les termes en {. Il vient de la sorte

^^o(<»8^+«nO)~«'.-fioWne---ft/),/co«f,— 2ttVrsîni'— 2ttV,rcosi',==o,

(P,(C0S9 — SiD9)~M'.— |tp{C0Sff-ffi/>./sin(,— 2fiVi'C08e^-}-2fA'/>'/«Qs'i=<^*

Ajoutons la V et la 4* équation (88), puis retranchons la 3*

de h 2*; il v^odra, en ajapt égard aox relations (78) \ui sont encore vrajes^ lorsqu'on y cbange 6' en. 0-^6', et aux équations (79) ,

fiosin t+po,cosf.+2uyshi e'+3py,eosi^=ii— r^-Jt^siart^i^^^^^^ >/>C08c —iipjB»mt,i'.I,iLYeoêt'^2ii'p\ûù t'.Œ-^U^ikjsInCS+ô'jÇco^e^f S^yfsinCô-j-ô';]

Multiplions maintenant ces deux équations par f, et ajoutons-les respectivement à la 1'* et la 2« des précédentes, nous aurons

»»'.(cos64^nô)-#.',^5p'p^(PwJ)sint^^2a'b^(J'^l)eosi'.=;-IJt-*^

^ Je

f«;,(cosô-sînô)-f^.-^2/^^4^^i>»SI'^r2/^^(r-.o»»tt*^=^

Ces équations ne contiennent plus les inconnues ftp, i, ni l^pi j >i 9 Qul se rapportent aux contrepoids de la roue dont l'abscisse est {. Les inconnues sont au nombre de deux pour chaque contrepoids : » les six roues sont accouplées^, les inconnue» que renferment nos doux équations sont av nombre de huit; si deux paires de roues seulement' sent accouplées, it resta encore quatre inconnues. On peut donc , dans les deux cas, y salisEai^a. d'una infinité de manières difléren4es<i Nous profiterais de cette indi^terminatlon pouy iptroidi^f re; une s^* pliGcaljk>i)f qui cpnaistiBra 1^ faire

py.=p.V, ,'.=.'; (92)

de sorte que les, contrepoids ap|>Uqué8 k deux-roues montées sur le. même essieu , autre que celui dont l'abscisse est (, seront identiques et disposés de. même, par rapport aux manivelles situées du même côté. Il n'en résultera aucune impossibilité physique de satisfaire aux équations (88) , puisque l^urs racines fA/Bsini, iipcou, fAjo^sinc, etfi/>,cose,, seront toujours des quantités réeUj98^.ces,éqi^^«%4UM)t4mNreinier degré$ et qiieies.i»-

leurs [t^, pp., ppurroM toajoqra 4t^e priBC^ positivoi^eat mpjoB-. m^t im çl^pU coAvenaj^l^ des apg^es.c ejt c^.

Les conditions (92) étant introduites dans.lea é4i|atiops,(91)» on ej^ tiijeca pf^r^spust^adion eti^ddition, puis.traasposant,

Tellç9 sofit le9. équations qu'il s'agissait d'obtenir. Le/itoroiea en l qu'elles renferment aux seconds membres disparaîtront partqiit ailleurs qpa.dans les maqhjnes. employées aif chemin de fer ()u I^prd . dout nous avons pQrl^ en commençant ; car on. pourra, tOMJours. faire 2=o en prenant pour abscisse l» l'abscisse, de l'axe de l'essieu moteur principal, lequel coïncide avec rori» gine des coordonnées»

La remarque, que nous avons présentée à l'occasion, des., équations (88) se reproduit à l'égard des équations (98); seulement les indices 1 ayant dis(|arn,,^ces équations doivent donner les mêmes valeurs de p'/)', et des valeurs égales et de signe contraire des angles t'^ lorsque l'on intervertit le sens primitif de Taxe des â?^ de sorte que , dans les deux cas , il en résulte pour chaque roue.un .mémo contrepoids occupant, une situation identique. Lorsque le sens primitif est interverti, les abscisses I, V et ^^ changent de signe, ainri que ^, ; les angles et s-f-G' se changent en tt— s et n — (d-f-O^ comme ci-dessus,

tandis que U,,fp. et k-^ conservent leurs signes. Il est facile de

voir que ces chapgements opérés, daps les équatjops. (98) n'ont pour résultat qye de. changer less^nçs des i\ coipjne cela doit être.

Les équations (98) serviront au^calcul des contrepoids antres que ceux des roues motrices principales; puis les équations (88) t simplifiées par les condition8X92) ^ fourniront les éléments des contrepoids des roues motrices principales elles-mêmes. La solution générale du problème de la détermination des contrepoids fournie par ces équations serait complète > s'il ne restait

à fixer convenablement la valeur de rindëtenninée 6'^ et la limite da décroissement de la fonction k, faute de pouvoir an- ' nuler cette dernière.

26. Les équations (95) suffiront, dans les machines à quatre roues accouplées , pour calculer les éléments des contrepoids identiques des deux roues portées sur l'essieu dont l'abscisse est r, au moyen de cette abscisse et des quantités h^^ et ft^.. Dans le cas des six roues accouplées , il faudra joindre à ces équations deux conditions arbitraires, sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

S'il s'agit de machines à roues indépendantes, les masses / et /' seront nulles, ainsi que l'abscisse I de l'essieu moteur; d'un autre côté, la fonction ^. (ft8) sera également nulle, parce qu'elle se réduit aux termes relatifs à la manivelle principale et à son bouton , et que l'abscisse U", qui leur est commune , est égale à zéro. Les deux équations (95) se réduisent alors à l'équation de condition unique

Pour interpréter cette condition et préciser en même temps la fonction m^, (A8) , nous la mettrons sous la forme

• Bcos^"- ' ■"

En vertu d'un théorème connu sur les moments d'inertie, la quantité H'B''-|-H'P est égale au moment d'inertie de la bielle par rapport à un axe perpendiculaire au plan du mouve* ment et passant par le point d'articulation de la bielle et de la tdte du piston. Soit B^^ la longueur du pendule simple qui accomplit ses oscillations dans le même temps que la bielle autour de cet axe , on aura

T désignant la durée des oscillations simples de ce pendule, B" se détermine en fonction de T, par la formule

B"=,(îy , (94)

et la valeur de w. deviendra

expression dans laquelle le facteor --^ peut être remplacé par

sa valear très approchée .— b. *

La condition k^.zso se traduit donc simplement par

c'est-ë-dire que la longoeor do pendule simple équivalent h la bielle devrait être égale à la longueur de celle-ci. En d'antres termes , les points où Taxe de la bielle coupe les axes du bouton de la manivelle et de la tête du piston doivent être des centres d'oscillation ou de percussion réciproques* Cette condition peut être remplie au moyen de formes très diverses données à la bielle \ mais on ne parvient à aucune forme admissible dans la pratique sans prolonger cetorgane. Dans le cas idéal où la bielle se réduirait à une simple ligne droite sans dimensions transversales , on sait que le centre d'oscillation serait situé aux deux tiers de sa longueur. Il faudrait donc, pour le faire coïncider avec le bouton de la manivelle, prolonger cette bielle idéale de moitié.

Nous allons faire voir que la condition m^.= o est incompa"* tible avec la condition ft = o (63), sans laquelle il est impossible de détruire.simultanément les tendances aux mouvements de tangage, de lacet, aux oêeUlations normales et au mouvement de rtmlii. En effet, la condition a^^zso donne

l'autre condition est

et ne peut être satisfaite que par une valeur positive de B' ; multipliant cette équation par B^ et ajoutant à la précédente ,

il Tient

condition incompatible avec une valeur positive de B^.

L*incompatibilit6 que nous rencontrons ici est la seule que présente la question de lia stabilité des machines locomotives envisagée au point de vue purement théorique. En supposant possible de satisfaire pratiquement 9 la condition kz=o, on se trouverait obligé, dans !e cas des machines à troues indépendantes, de décider laquelle de celie-ci ou de çt^^^o doit être sacrifiée à Vautre , ou mieux quelle serait la manière la plus avantageuse de 'déroger 2t tbutès deux à là fois. D'après les motifs exposés plus haut , on devi-aik encore Irëc'ourir à Tex- IJériëncie.

11 ^t tbutefbis Bigne de remai*qiie 4ùe ces deux conditions conduisent Vuhe et Vautre à prolonger la bielle; éi Von peut voir que, si Voii appliqué sur te plodgemènt âe la bielle, du côté de la manivelle , des masses successivement croissantes en un point donné; oh des masses constantes à ^es distances variablé^ , on àtrivera & obtenir le irésOltÀl f^«=o avant que la Ibnction h ne s'anniilé; en sotte que là première condition satisfaite peut être considérée comine uni achetïiinèment vers la iiecôtide.

Cet considérations nous amènent tout nâttirellement à dire îci quelques mots ië& ^eeherche'b auxquelles tiôus nous sommes livré à l'égard des thconvénienté que peuvent , en général , entraîner lès deux conditions dont il s'agit.

DIS AVANTACns XT INCOliVftmNtf 1)0 t>aOLON(ÏBMMt DB LA BIELLB A Vn POINT DB VUB ÀDTAB QÔÉ CÎLIJI 0B LA STABILITÉ.

37. Notre théorie de la stabilité suppose une rigidité des pièces toujours suffisante , et ne tient aucun compte de Vaction des ressorts do suspension. On conçoit que la rigidité soit réalisable à la rigueur, et que les mouvements du bAtis soient maintenus dans des limites données, par un serrage assez puis-

sont dés t*e8bort8 de Bbspeniion ; tnoii la rigidité el le serrage ont deé limites qn'on ne «aurait dépasser. D'an aâtre éôté , en supposant que par an fért serrage dn puisse rendre Insignifiantes les oseillations dès glissières, cellés-ei n'eiî seraient pas moins soumises è des pressions qui pourraient erottre éhbrméroent aveo la vitesse, et donner lien à un travail 4e frottertient et k une détérioratton deb diyérsei pièèes de la maebloe^ dodt il est fanpossible de fsire abstracttbn. Lira bbutone de manivelle devraient pouvoir aussi résister b des efforts bonsidérabiéB.

Ce neoteau point de tue ni*a conduit k examiner partiealièrement l'effet du mouvement de la bieiie et du ptoton sur lés glissières et lé bouton de la manivelle; Bans eette recberdhe, j*ai dû adtnattre ^ saul vérifieatioa intérieure ^ que le» dimensions fies j[>ièces prèsenlaSent utie résistance saflhanle> ëtlaissér de o6lé le travail dn frottement dans rartîéuiàliîen de la bidle et de la tête du piston , comme sans importance vi»4i-vis db éehii des glissières.

Le aysiènie formé par la bielle et te piston, indépeAdammeUt des poids de 6es dèax brganes et de la pression de la vapeur, est soumis à des forces e&térieares qui sont : 1« ractioo dh bouton dé la manivelle sur la bMIe; S* l'action déà glissières; S* les actions radins faeHement déterminflbiéfc exercées sur la Hge du piston par te collet du cyHndre^ et celles que le cylindre lui-même exerce sur le pistoUé J'ai omié ces dernières comme pien importâmes dans la Question qui nous occupe, fin appliquant à ce systèûie les équations du mouvement de trkWlation parallèlement et perpendicolaireiAeDft à l'axe dii cylindre , et l'équation des moments autour d'un axé perpendiculaire au pls^ du mouvement, en tout trois éîqi^tibas, nous avons pu déierûiinér la valear de la pression produite par léli gHssièreb et les deux composantes dé l'action exercée par leboaton de la manivelle. Voici maintenant c^ qui ressort des résu^ tats obtenus.

Lw pi^esiioik do fc vapeur ti^ansmise par te pistôftidonné lien b une adiion' normale aax glissières, et loojours de ihéme sentf,

lorsque les tiroirs n*ont pas d'avance. Le poids de la bielle et da piston donne aussi lieu à des composantes normales anx glissières dans les cylindres inclinés, et à des composantes taur gentielles qui se combinent avec le frottement des glissières. Ces diverses composantes pourraient être appelées composantes statiques, en ce sens que ce sont celles que Ton obtiendrait en les calculant comme si la bielle et le piston étaient au repos. Mais le mouvement de la bielle et du piston produisent en outre des actions normales aux glissières, qui varient avec la position de la manivelle, la vitesse angulaire et la variation de cette vitesse par unité de temps.

Les termes principaux des expressions analytiques des composantes normales aux glissières sont proportionnels au carré de la vitesse , et au nombre de deux. Le premier, et le plus important, a pour facteur la fonction w^ ; sa période est un tour de la roue motrice, en sorte qu'il augmente et diminue alternativement la pression statique. Le second terme a pour facteur la fonction /k, et la période de son action est d'un demi- tour de la roue motrice ; il augmente et diminue deux fois alternativement la pression due h la composante statique et au précédent terme, et pour cette raison devient moins important à considérer.

Si le sens de l'action de la vapeur sur les glissières n'était pas sensiblement constant, il y aurait quelque intérêt à disposer de la masse de la bielle dé manière que le terme en vp^ fût constamment de signe contraire à la pression statique de la vapeur transmise aux glissières. Hais il n'en est pas ainsi. Il convient donc d'annuler le facteur w^.

Quant au terme en h^ il serait convenable aussi, mais moins important, de l'annuler, au point de vue de l'action normale transmise aux glissières. Or nous avons vu, u? 26, que les conditions ^",=0 et ftno sont incompatibles, et qu'en satisfaisant à la première, qui est d'ailleurs exigée dans les machines à roues indépendantes, pour détruire la tendance au mouvement de gàlopf par un prolongement de la bielle du côté de la manivelle, on est cependant moins éloigné de satisfaire ë la seconde

qu*aveo la forme actuelle des bielles. Si Ton fait ^«=o dans les machines à roues accouplées, les termes provenant de la bielle dans les équations de condition relatives au mouvement de gahp seront détruits; et il n*y aura à équilibrer sous ce rapport que les masses des bielles et manivelles d'accouplement, au moyen de contrepoids appliqués aux roues autres que les roues motrices principales.

Il y a donc incontestablement avantage à faire m^^=o, c'està-dire à prolonger la bielle en sorte que la longueur du pendule simple équivalent soit égale à longueur B, Torsqu'on se propose de diminuer les variations des actions que la tête du piston transmet aux glissières et les oscillations qui en sont la conséquence.

Maintenant, il reste à savoir quelle pourra être Tinfluence de la condition tp^=zo sur les pressions auxquelles est soumis le bouton de la manivelle. J'ai calculé à cet effet la valeur maximum de ces pressions dans la machine citée n* 26, pour une vitesse de A tours par seconde; d'un autre côté, substituant

au poids 77^ de la bielle un poids de 125^, à cause du prolon-

B' gement , et supposant =r-=0,6 , puis faisant B"=B pour satis-

faire à l'équation t^^z^Of j'ai calculé do même la pression maximum exercée sur le bouton de la manivelle, avec la vitesse de h tours par seconde, et le résultat, comparé au précédent, s'est trouvé être une augmentation de pression tout à fait insigniBante. En sorte qu'il n'y aurait pas nécessité dans ce cas de renforcer le bouton de la manivelle, et que le travail du frottement sur ce bouton ne serait que faiblement augmenté. Après avoir examiné les principales conséquences de la condition it'„'=:20f je n'aurai que peu de mots à dire de celles qu'entraînerait la condition ft=o. Les pressions sur les glissières et le bouton de la manivelle deviendraient énormes pour les grandes vitesses, et nécessiteraient un grand accroissement de la résistance des pièces, en produisant un travail de frottement considérable. Ces inconvénients, qui tiennent à la grandeur des

— ioe —

massas, ne peuvent élre atténués que par une réductien de certaines parties des masses en mouvement. Ce serait le cas d'examiner s'il n'y aurait pas lieu de construire en acier le piston et ses accessoires, puis la partie de la bielle comprise entre le bouton de la manivelle et la tète du piston, le prolongement de la bielle pouvant être construit en fer. Tous les inconvénients inhérents à la difficulté d'annuler ft se trouveraient notablement réduits.

Do l'ensemble de ce qui vient d'être exposé il résulte évidemment que le prolongement de la bielle peut être avantageusement pratiqué jusqu'au point où l'équation fi^«=o (*) est satisfaite, et qu'il est nécessaire d'examiner jusqu'où ce proton*^ gement pourrait s*élendre utilement au-delà, dans le but de diminuer la valeur de' A;. L'expérience doit être consultée à cet égard.

tQOATlONS DB TBàNSLATION XT DB ROTATlOIf, XN ATANT ÈfiABD ACX ÉQUATIONS DB CONDITION BBLA11VBS A LA DfttBIMINATION DKS G0NTBBP0I08.

88. Nous avons trouvé, n"" 23, que, les équations {Ih) étant supposées satisfaites , les quatre angles «, ^\ Y et T^ acquièrent

une valeur commune égale à 9-|-d^ — -, alors que les coefficients C,C\ D, D\ se réduisent aux expressions (85). D'un autre côté, les équations (90), ou leurs équivalentes (98), qui sont relatives au mouvement degalop^ étant pareillement satis-

(*) On pourrait encore se proposer d'annuler ipa dans le cas des maehineft è cylindres inlérienrs, où la Melle ne peut pas être prolongée» an moyen d^ono masse aédiUonnelle fliée k la bielle près do bonton de la manivelle, on mê* me ayant son centre de gravité en ce point; maisie n^aipas examiné Pin^ inence de cette masse relativement a a frottement qu'elle produirait sur le bouton. Si cette disposition était impraticable, et si, d'ailleurs, le mode d'appileatton des contrepoids qui résulte de notre tbéorie présentait des avantages marques dans la pratique , on serait conduit à préférer les machin ■es à cylindres eitérieurs , qui se prêtent sans difficulté h des modificatioos^ flot, on moins considérabJes de lai forme de la bielle^

faites, annulent la valeur de J, équations (54). Nous allons substituer ces diverses valeurs dans les équations du n* 20, en remplaçant, pour plus dé simplicité, dans celles-ci, les termes du 2* ordre par leurs valeurs (59) (*), et négligeant les termes des ordres supérieurs. Le résultat de ces substitutions est :

Équation [a;] ,

— 2*siDy8inô'6inraJ+ô + 6'— j) —

— aifesinç 8inô'cosr«+«-f-ô'— j^ ^

Équation [y] , G + G'-f.G"=o

Équation [z] , .(H+H'+H")-(H.+H'.+H",)=— ^cos^'SM

dfi -|-2*sinçCos6'cosra+fi-f-6'— jjjl^

Équation (z),

-{-îAfsinycosô'sinf «+6+Ô' — -r)

dfi d^ di'

G{+GT+G"r— (F--F.)E==--2*6ino>sîn6'Acosr«+ô-|-6'--j)^

-f-SiksifirsinG^Asiora+d +6'— t)

d^à -{-0,0&0à077.ikAcos98iD2a ----

da^ +0,080 8i64.ftAcos6cos 2a -^

(*) II De faut pu perdre de Tue que ces valenrs lODt calcalées pour les

ri r

machines dans lesqneUes on a ^ » -. Dans le cas où % en diOérereit nota-

blement» il faudrait ealcnler les coelflcients des premiers termes des séries par les formules données dans la note du n« i3.

^ 108 — Équation (âp),