A (2) MEET

L'équation (1) ou l'équation (2) qui peut la remplacer résout le problème suivant: Comment varie l'orientation de la fente lorsque l'on fait varier seulement sa distance à l'appareil interférentiel? Les franges pourront être rendues nettes soit par une orientation convenable de la fente si A est donné, soit en la déplaçant parallélement à elle-même si son orientation est donnée. La forme

de la relation qui lie 4 et A montre que les deux problèmes ont toujours une solution et une seule.

Il faut mettre à part le cas assez souvent réalisé où la surface réglée définie plus haut est un cône ou un cylindre ( nul ou infini), car alors la distance A n’a plus d'influence sur l'orientation de la fente. C’est ce qui arrive toutes les fois que le point P est l'image à travers l'appareil interférentiel d'un certain point de la droite SA”.

Supposons maintenant que la fente soit fixe en distance et en orientation.

Nous allons montrer que si l'on déplace le point P sur la droite PA on trouveraen général deux NUE de ce point pour lesquelles les franges seront nettes.

Les rayons issus des différents points de la fente et qui vont passer au point P forment à leur arrivée en ce point un élément de surface conique dont PA est une génératrice. Soit M le plan tangent à ce cône le long de la génératrice SA. Pour que les franges soient nettes, il faut que le plan M se confonde avec le plan F relatif au point P. Nous savons déjà suivant quelle loi lorientation du plan F dépend de la position du point P. Ileest nécessaire de résoudre la même questiou pour le plan M.

Prenons à cet effet un système de coordonnées dont l’axe des # soit la droite PA. Le point P sera défini par sa distance D à l'origine. Soient

æ — 43 + p, y —=bs+g,

les équations d’un rayon qui, issu d’un point de la fente infiniment voisin de S, aboutit en P. Cette droite devant passer en P on a:

(3) p—=—aD, (4) q = — bD.

Dire que ce rayon a rencontré la fente, cela revient à se donner une relation entre &,b, p,g. Gomme ces quantités sont infiniment petites, la relation qui les lie sera linéaire :

aa + $b + yp + ôg = 0.

Enfin, si 6 est l’angle que fait le plan M avec 50%, on aura b

Eliminant à, d,p,q entre les équations homogènes (3), (4), (5), (6), on a l'expression de # en fonction de D :

On sait d'ailleurs que l’azimut + du plan F est donné par une équation de même forme PD — A (8) ANT pes:

Ecrivant que : — 46, on a une équation du deuxième degré en D : (9) (YD — 2) (QD — B) — (D — 8) (PD — A) —0.

Il y a donc en général deux positions de visibilité. Deux cas exceptionnels méritent une mention spéciale. 1° Si l'appareil est tel que la fente ait une image, le plan M contient toujours cette image, et par suite 0 est indépendant de D. La condition de netteté se réduit à {g » — constante.

Elle s'abaisse au premier degré ; toutse passe comme dans le cas où la fente est du côté de l'observateur, ce qui était évident. Des deux racines de l'équation (9) l'une correspond à l'’immage ellemême de la fente, et il est clair que si l’on vise cette image aucune frange n’est visible.

SONT OI, — . — m, l'orientation du plan F ne dépend pas

de la position du point P. L'équation (9) devient : (D— ri) [cp 0 anES P| =,

Les franges sont nettes pour D—7#»; c'est la position pour laquelle les franges sont visibles sans employer de fente, et qui est indépendante de toutes les conditions relatives à la fente. Mais il

existe une autre position de visibilité, qui dépend au contraire de la position et de l'orientation de la fente.

Le premier de ces cas particuliers est réalisé lorsque l'on observe les franges du biprisme, des miroirs de Fresnel, d'une lame mince de verre à faces planes Il l’est à très peu près dans le cas d'une lame mince comprise entre deux lames de verre, pourvu que ces lames ne soient pas trop épaisses.

Pour réaliser le deuxième cas, prenons une lame mince dont l'arête soit normale au plan d'incidence ; elle sera éclairée par une source de lumière monochromatique limitée par une fente. Si l’on interpose entre la fente et la lame une lentille cylindrique dont les génératrices soient obliques sur le plan d'incidence, on trouvera les deux positions de visibilité dont nous venons de démontrer l'existence.

Pour étudier commodément la manière dont varie l'orientation de la fente avec sa distance j'ai employé l'appareil suivant :

Sur des supports du banc d'optique étaient placés une fente mobile sur un cercle gradué, éclairée par une lumière monochromatique ; une lentille cylindrique dont un cercle divisé donne l'orientation des génératrices ; un biprisme et enfin une loupe de Fresnel. La règle divisée donne les distances respectives de ces appareils ; les deux cercles divisés donnent l'orientation de la fente et des génératrices de la lentille, pourvu que l’on ait déterminé les zéros des cercles. Pour amener la fente à être parallèle à l’arête du biprisme, il suffit de supprimer la lentille et de faire tourner la fente jusqu'à ce que les franges soient nettes. On amèënera ensuite les génératrices de la lentille à être parallèles à la direction ainsi donnée à la fente: il suffit pour cela de supprimer le biprisme et de faire tourner la lentille jusqu'à ce qu’elle donne une image nette de la fente.

Cela posé, si la fente et la lentille sont orientées d’une manière quelconque, on trouve une position de la loupe et une seule pour laquelle les franges sont nettes (!). Les franges sont localisées. Elles

(1) La ?2me position (franges visibles sans fente) correspondrait au cas où la loupe serait au point sur l’arête même du biprisme ; il est clair que dans cette position les franges sont invisibles.

se troublent si l’on déplace la fente en direction ou en distance. La position de visibilité ne dépend pas de la distance du biprisme à lo lentille, pourvu qu'il reste en avant de celle-ci.

Soient M le point visé, Mx la droite qui le joint au milieu S de la fente, droite qui est normale au biprisme et à la lentille, et qui rencontre celle-ci en O0; B l'arète du biprisme que nous supposerons verticale pour fixer les idées ; OG la direction des génératrices de la lentille cylindrique, que nous supposerons infiniment mince. Cherchons la condition pour que la frange centrale soit nette. Il faut pour: cela quele point M ne recoive que des couples de rayons dont la diffé-

Ho M'

Fig. 6.

rence de marche soit nulle; les rayons moyens correspondants doivent rencontrer l'arête du biprisme. Avant la réfraction, les rayons qui concourent en M doivent donc rencontrer la parallèle B° menée par le point O à l’arête du biprisme. Ces rayons rencontrent en outre les deux lignes focales C et GC’ d'un pinceau de rayons issus de M et voisines de M. L'une de ces lignes est une perpendiculaire à G menée par M: l’autre est parallèle à G et passe par le conjugué M du point M par rapport à la lentille.

Les trois droites CG, C’ et B' parallèles à un même plan déterminent un paraboloïde. Tous les rayons qui aboutissent en M doivent, avant de traverser l'appareil, faire partie de ce paraboloïde. La fente doit donc lui être tangente, et, comme nous la supposons normale à oæ, elle sera l'une de ses génératrices.

Pour exprimer cette condition prenons trois axes de coordonnées rectangulaires, l’origine étant en O, l'axe des æ étant la droite Mx, et dirigé en sens inverse de la propagation de la lumière, enfin OB étant pris pour axe des z. Soient :

où CH. FABRY

— p l'abcisse du point M p' celle du point conjugué M° définie par la relation = + 7 =; a« l'angle de G& avec 03 PUIS

LS om ef à

les équations de la fente.

Il faut exprimer que les quatres droites :

DE p' : | + met L=="0, : =,

Y—=2195, Y—=—4COE &, | =’, y—=2tlgn,

sont sur une même paraboloïde.

Le calcul ne présente aucune difficulté et conduit à l’équation

p(a—p') t = CE EL à (1 (o a) p (a LE p) (9 4,

ou, en exprimant p' en fonction dep p(a—t)=af PPT TE CAN Cette équation résout complètement le problème. Elle permet de déterminer l’une des quantités v,«, p, a, lorsque les trois autres sont données.

Pour vérifier cette formule, j'ai laissé fixes deux des quantités qui y entrent, et j'ai étudié la variation de la troisième en fonction de la quatrième. Toutes les mesures ont donné des résultats conformes aux prévisions de la théorie. J’indiquerai seulement les résultats de quelques séries des mesures.

On avait f = 5°,14.

I. pet varient seuls ; on étudie suivant quelle lui varie l’orientation de la fente avec sa distance.

19 «= 0 p quelconque.

- est nul quel que soit &, résultat évident à priori,

VISIBILITÉ ET ORIENTATION DES FRANGES D'INTERFÉRENCE pl

PAS == 0,0 == 590) 507 a (obs.) ” (tale) 29c,00 299 PAL 24,00 97 26,7 19,00 ?4 LR 14,00 17 18,2 9,00 13 12,7 a° k 500,0 p— 32550, a (obs.) (eale.) 34c,00 99 990 4 29,00 97 96,1 24,00 91 91,8 19,00 85 85,2 14,00 15 74,2 9,00 54 55,0 - a — OÙ p quelconque.

La théorie montre que l'on doit avoir & = 0 quel que soit à, résultat que l'expérience confirme.

II. p et a sont constants ; on étudie la variation de l'orientation de la fente en fonction de l'orientation de la lentille. La formule qui lie ces deux quantités est de la forme £g (o — 4) = K éq «.

œ o (ohs.) © (cale. )

Oo go 00,0

8,5 20 19,8 28,5 64 64,4 48,5 106 105,0 68,5 tal 149,0 88,5 177 171,4 90 180 180,0

NI. Enfin, pour mettre en évidence la localisation des franges. j'ai fait une série de mesures dans laquelle p et : varient seuls : on

se donne la position de la loupe, et on cherche l'orientation de Fa fente qui rend les franges neîtes.

ax — 45° p = 19°,00,

hp (obs.) (cale.) LTe,77 830 820,2 92,50 89 90,8 27,50 DE 94,8 32,50 RL 98,2 42,50 103 102,3 52,50 105 104,7

Pour observer les deux positions de visibilité que prévoit la théorie dans le cas le plus général, il suffit de modifier un peu l'appareil précédent, en plaçant la lentille cylindrique entre le biprisme et la loupe. La théorie est absolument semblable à celle qui précède ; il suffira d'en donner le résultat.

. Sibest la distance du biprisme à la lentille, les autres lettres ayant la même signification que ci-dessus, les franges seront nettes si l’on a :

, (p+b)(a— p) LU LA HAT lg ( dE es DCR (ya, p' étant défini par l'équation

En éliminant p' entre ces deux équations, on aura une équation du 2"° degré en p.

La discussion complète de cette équation n'offrant pas un grand intérêt, je me bornerai à étudier un cas particulier, pour montrer l'allure générale. du phénomène.

Supposons données les longueurs &, b, f, ainsi que l'angle z et prenons + = 45° & = 8f b = 4f. Cherchons comment varient les positions de netteté, lorsqu'on fait varier l'orientation de la fente.

. 1) Ë Si nous posons 5 — æ, les seules variables seront æ et +, et ces

variables seront liées par l'équation

Le tableau suivant résume la discussion de cette équation.

Deux valeurs de æ nulles.

Une valeur de æ positive, une négative.

Une valeur de x infinie ; l’autre égale à 1,60. Deux valeurs positives.

Une seule valeur, æ — 3,20 (racine double).

Aucune valeur réelle de x.

Pour observer les franges, lorsque æ est négatif, il est nécessaire d'employer une lunette au lieu d'une loupe ; elles ne sont d’ailleurs observables que si les faisceaux interférents se superposent, ce qui n'a pas toujours lieu pour les valeurs négatives de .

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