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Si nous supposons la partie découverte de la source peu étendue

autour du point O, on peut écrire A — A, + Ax + By.

A,, différence de marche des ondes envoyées par le point O au point M est une fonction des coordonnées æ', y’ de ce point.

L'orientation de l’axe Oy étant à notre choix, nons pouvons en profiter pour faire disparaître le terme en y dans l'expression de 4 : il suffit de choisir l'axe des y dans la direction qu’il faudrait donner à une fente étroite pour produire des franges nettes au point O ; 4 devant être le même pour tous les points de cette fente, cette quantité doit devenir constante lorsque æ est nul; donc B est nul et l'on a

(1) A — A, + an.

Le coefficient «a une signification physique simple: Si l'on imagine

un point lumineux placé en 0", il donnera sur l'écran P un système de franges parallèles à Oy ; si e désigne la distance de deux franges

consécutives. on aura æ—-", À étant la longueur d'onde de la

lumière employée.

Cela posé, un élément dx dy, voisin du point M, donnera au point M une intensité lumineuse

( LL cos 2x ) dx dy.

L'intensité totale en M' sera donc

TS + cos ?r :) dx dy.

A ayant la valeur (1) et l'intégrale étant étendue à toute la surface découverte du plan P.

Soit : S =f fax dy la surface totale des ouvertures. Nous pon-

vons sans inconvénient diviser par ce facteur constant l'expression de l'intensité et écrire :

PTE : 1 [ COS èr Si dx dy.

Développant le cosinus et posant

F = ff sin ?r ee dx dy, G th cos 27 = dax dy,

Cette expression peut se mettre sous la forme :

(3) I 1 + V cos (2 . + +), en posant (4) V ee EURE, Üq 2 — &

L'équation (3) indique d’une façon complète ce qui se passe autour du point 0’: elle donne, en effet, l'intensité lumineuse en chaque point du plan P” en fonction de ses coordonnées.

La forme même de cette équation va nous conduire à quelques conséquences.

1° Les maxima de lumière ont lieu pour

Les franges brillantes auront donc pour équation

si (K +) À.

Si le point O éclairait seul leur équation serait À, Ka

La différence consiste en un déplacement d'une fraction de frange

0 fraction qui dépend de la forme des ouvertures. On voit donc que l'orientation des franges ne dépend pas de la

forme des ouvertures, mais que la position des franges en dépend.

Les franges ont la même position que celles qui seraient fournies par un point lumineux pris dans le plan P et ayant une abscisse

? « À * * Lai égale à = ou par une fente parallèle à oy et ayant même abscisse.

2° L'intensité lumineuse varie entre 1 + V et 1 — V.

Les franges seront d'autant plus nettes que V sera plus voisin de l'unité. Elles n'existent pas si V — o et sont parfaites si V — 1, les minima étant alors complètement obscurs (!).

À cause de cette propriété, j'appellerai V le coefficient de visibilité des franges au point 0’.

Analogie avec les formules de diffraction des ondes planes. — Les quantités V et «se déduisent des intégrales F et G. Ces intéorales sont de même forme que celles que l’on rencontre dansla théorie de la diffraction des ondes planes. Pour bien montrer cette analogie, imaginons qu'une onde plane tombe normalement sur l'écran P, et prenons son amplitude égale à 1. Gherchons ce qui se passe dans une direction faisant un angle D avec la normale à l'écran et dont la projection sur ce plan soit parallèle à O æ.On aura un mouvement vibratoire d'amplitude A et de phase 4. Si l'on pose

EX = f fsin 2% 2507 dx dy,

(ER ff cos RE — 2 dE ay,

ces intégrales étant étendues à toute la surface libre du plan P,

on aura :

A—VFFEG, y

(1) V ne peut d’ailleurs dépasser l'unité en valeur absolue. Cela est évident, d'après la manière dont on l’a obtenue, car I, somme de quantités positives, ne saurait jamais être négatif. Il est d’ailleurs facile de le démontrer en partant de son expression (4).

CH. FABRY Si la direction a été prise de telle manière que sin D — 2, F" et G' sont respectivement égaux à F et G, et, par suite,

Vo = CRUE

Si donc le problème de diffraction a été résolu pour un certain écran, celui qui nous occupe le sera aussi, bien que les deux phénomènes n aient, au fond, rien de commun.

On peut déduire de cette analogie dans les formules l'existence générale de phénomènes périodiques dans la visibilité des franges, en s'appuyant sur les lois connues des phénomènes de diffraction.

Lorsque D varie, À passe par une série de maxima et de minima. De même si, dans l'expérience d'interférence, on fait varier le coeficient +, on verra les franges apparaître et disparaître périodiquement. Cette variation de « peut, dans certains cas, être obtenue par un simple déplacement de l'appareil d'observation, son axe optique restant fixe dans l’espace (!).

Si, laissant D constant, on modifie la forme des ouvertures en les laissant semblables à elles-mêmes, l'amplitude passera par une série de maxima et de minima. Si donc on laisse fixe le plan P° dans lequel on observe les franges, et si l’on modifie la forme des ouvertures du plan P en les laissant semblables à elles-mêmes, on verra se succéder une série d’apparitions et de disparitions des franges.

Nous allons appliquer la théorie qui précède aux formes d'ouvertures les plus simples.