D'UN POINT-A UN AUTRE DU EHAMP
Examimons d'abord dans quels cas la partie utilisée de la source peut dépendre du point du champ que l'on considère.
Soit 4 un point du plan focal de la lunette. Tous les rayons qui aboutissent en ce point ont passé par le point M' dont il est l'image. Mais pour qu'un rayon passant en M' puisse arriver en u, il faut qu'il tombe sur la partie découverte de l'objectif Imaginons un point lumineux placé en u. Tous les rayons qu'il émet sont, après avoir traversé l'objectif, contenus dans un cône ayant M° pour sommet et pour base l'ouverture de l'objectif. Après avoir traversé l'appareil interférentiel ils vont tous percer le plan P à l'intérieur d’une certaine courbe ©. Il est clair que réciproquement les points du plan P situés à l'intérieur de la courbe © pourront seuls envoyer de la lumière au point y.
Si la courbe Y contient à son intérieur toute la partie découverte de l'écran, ses ouvertures contribuent seules à limiter la source. Une légère déformation dans la courhe 5, et par suite un léger déplacement du point s, ne changera en rien la forme de la partie utilisée. Nous nous trouvons dans le cas étudié au chapitre précédent.
Si, au contraire, une portion desouverturesde l'écran est en dehors dela courbe Y, un déplacement de cette courbe modifiera la forme de la partie utilisée. La partie utilisée de la source dépendra done du point y choisi dans le plan focal. La théorie qui a été faite tombe en défaut, et nous allons voir que l’on est conduit à des résultats bien différents.
Remarquons d'abord que l'on: peut substituer les points M° aux
points u, à la condition de ne faire entrer en ligue de compte que les
rayons qui aboutissent réellement au point ». Le phénomène que
verra l'observateur sur l'image de celui que nous allons étudier. Reprenons l'expression de l'intensité au point M'(#",7°) du plan P :
1 144 |— | | (: + cos 27 AE) dæ dry,
A, est fonction des coordonnées à", y. Si l'on se borne à étudier ce qui se passe aux environs immédiats du milieu O° du champ, on peut poser
Aj—= 45 +02.
L'axe 0’ y’ est alors parallèle à la direction des franges que donnerait aux environs du point 0’, un pointlumineux placé en 0,2 a une signification analogue à celle de 4, et A,est la différence de marche des ondes envoyées par le point O au point O ; c'est une constante.
L'intégration doit être étendue à tonte la partie utilisée de la source. Le champ d'intégration dépend donc de æ' et y; les intéorales F, Get S dépendent de ces coordonnées, et il en est de même de l'intensité. Donc les franges ne sont pas en général parallèles à l'axe 0‘ : l'orientation des franges dépend de la forme des ouvertures.
Je me bornerai à l'étude du cas particulier le plus simple : celni d'une fente orientée d'une façon quelconque.
ly Prenons l'origine O des coordonnées sur la fente elle-même ; soit 4 l'angle qu'elle fait avec Ov.
Un de ses points, M, peut être défim par sa distance : à l'origine, et ses coordonnées sont alors
| — 9 Sin 6,
| y p COS 6,
Soient Pet P,les points où la courbe »
rencontre la fente (ces points ne seront
VISIBILITÉ ET ORIENTATION DES FRANGES D’INTERIÉRENCE Ch)
qu'au nombre de deux dans les exemples que nous traiterons). Le segment PP, est seul utilisé. Soient
OP, — Pi) Di 5e.
Posons en outre
pa — pi = / (longueur de la partie utilisée P,P,) . — p (distance du point O au milieu P de P,P,). Toutes ces quantités sont des fonctions de æ° et y’. On à alors
02 PT, = à
A6 + a'®" + ap Sin.6
I — (: + cos PRE) do.
Intégrant et mettant / en facteur :
7 TI SL cs NES A AN a'©" + ap Hi l L=t<i COST = 7 (| D Lt DS et À &i sin ge . « de Et prend une valeur un peu grande (quelques unités)
le facteur
Ni
sin 7 4 / Sin 6
À ralsin6 +
devient insensible, et comme le cosinus est plus petit que 1 on a sensiàlement I — /. L’éclairement sera en chaque point proportionnel à la longueur utilisée de la fente; il n’y aura pas de franges.
: asian + Supposons au contraire que * N soit tres petit. On peut
confondre le facteur (2) avec l'unité. Cela arrivera lorsque { ou h sera trés petit, par suite, lorsque la fente sera peu inclinée sur Oy, ou la courbe Y trés peu étendue.
L'équation (1) devient alors
14 (14 c08 27 SEE EAN),
On a des franges complètement sombres qui ont pour équation
! | à . l « A9 + a'& —+ ap Sin 8 — ( + 5)
Pour pouvoir pousser plus loin cette étude, il est nécessaire de calculer p en fonction de +4", ce qui va nous obliger à particulariser encore le problème.
Supposons que l'appareil interférentiel soit une lame d'air prismatique, dont l’arête soit normale au plan d'incidence. Nous négligegerons l'influence d’ailleurs très faible de la lame de verre à faces parallèles qui surmonte la lame d'air.
VRAI 1° 44 I Ï nn et ms (= " Jon] Î | Ï
DT ITI Hrrep is ri
Fig. 12.
Prenons le plan d'incidence pour plan de la figure. Soit L le plan moyen de la lame mince (plan bissecteur de ses faces). Le plan vertical P qui contient la fente sera placé perpendiculairement au rayon moyen envoyé par le point O RD guitar P La partie découverte de l'objectif sera
un cercle de rayon R.
Soit P, le symétrique de P par rapport au plan L. Le cône ayant pour sommet le point M'et pour base l'ouverture de l'objectif découpe sur le plan P, un cercle. La courbe Y est le symétrique,
de ce cercle par rapport à L. C'est donc un cercle de même rayon et placé dans le plan P comme le premier l'est dans le plan P.. Les axes oy et o y étant dans deux verticaux, le centre de > aura
pour coordonnées
; ASE pi UE KC Y=y —:
Ÿ HTC et son rayon sera OE 1 R OC En posant pie nn FC A NI Vo ru, Pr Li.
Le milieu de la partie utilisée P, P, étant le pied de la perpendiculaire abaissé du point X, Y sur la fente, on a:
p=Xsin6 + Y cos 6 — m7 (x sin 0 + y’ cos 6).
L'expression de l'intensité lumineuse devient
1 = 4 (14 008 2e A EE CE SN O g cost) sine)
Les franges sombres sont parallèles à la droite a'æ" + ma(x’ sin 8 + y’ cos 8) sin 8 — 0.
Elles font avec O’y un angle Ÿ donné par l'équation
cos 0 sin 0 er nu
: Ca?
Sin? 6 — + Ma
équation qui peut se mettre sous la forme plus simple tg (& — 8) —=— (: + m =) ty 0.
Nous avons déjà calculé : Si H est le point qu'il faudrait viser pour voir nettement les franges sans employer de fente, et < l'angle des lames, on a
nat KO.
Le même calcul donnerait Lo KIT KO’ Donc CS HO TOI El Posant
KG HO Dés JA ( or)" on aura
Les segments KG, O'G... qui entrent dans l'expression de g ont des signes ; tous sont comptés positivement dans le sens de la propaga— tion de la lumiére.
Pour que la théorie précédente soit applicable, il faut que le rayon r du cercle £ soit petit. Il faut donc viser à une petite distance de l'image K de la fente. On voit alors, dans le champ, une bande éclairée, image trouble de la fente, et cette bande fait, avec la verticale, l'angle 4 C'est sur elle que se détachent les franges. Si l'on visait à une grande distance du point K, les franges se troubleraient dès que l'on tournerait un tant soit peu la fente. Si même 7 était assez grand ou la fente assez courte, on n'observerait plus que les apparitions périodiques étudiées au chapitre précédent.
Les points O° et K étant très rapprochés l'un de l'autre, tandis qu'ils sont à une assez grande distance du point GC, on
; EC , HO KO” à | r6 res ES [ 4 dd N a —. ntmme — —— me peut faire 5 — 1, et par suite g — (1 +R) = 5%: En posant comme nous l’avons déjà fait KO — D FH,
il , nt [4 — ve
I est bon, pour pouvoir étudier tousles cas possibles, que le point
VISIBILITÉ ET ORIENTATION DES FRANGES D’INTERFÉRENCE Gif.
K puisse être placé à volonté en avant ou en arrière du point H, et prés de ce point. Or, le point H est la projection sur la droite OK de l’arête de la lame prismatique. Il faut donc que cette arête soit rejetée à une certaine distance. On y arrive facilement en maintenant les deux plans de verre écartés à leurs extrémités par deux fils de platine d'inégale épaisseur, par exemple de 1/10° et 1/20 de millimètre.
L'équation qui lie L et ÿ ayant déjà été discutée pour les diflérentes valeurs de 4 (!), il suffira d'examiner quelle est la valeur de ce coefficient pour les différentes positions des points H,K, 0’.
La discussion est résumée dans le tableau suivant : la 1'° colonne indique les conditions de l'expérience ; la 2", la valeur de g ; la 3e, une description sommaire de ce qui se passe lorsque l'on fait tourner la fente à partir de la verticale.
Conditions de l'expérience. 4. Description du phénomène. O' est au-delà de K. Gi >) Les franges tournent dans le même
sens que la fente, et plus vite
: qu’elle.
- Ofestentre K et H: 0 > g > — 1 Les franges tournent dans le même
T sens que la fente, moins vite
= qu'elle; leur inclinaison passe
5 par un maximum.
æ | O’ se confond avec H. g=—1 Les franges sont toujours verti-
2 cales.
4 | O’ est en deça de H. Ja Les franges tournent eu sens inverse de la fente ; leur inclinai-
son passe par un maximum.
MARDMESNENTeCAMIenR > Al \
an)
